基于緊框架的二階總廣義變分圖像修復(fù)模型

董衛(wèi)東，彭宏京

DONG Weidong,PENG Hongjing

南京工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，南京 211816

Computer Science and Technology,Nanjing University of Technology,Nanjing 211816,China

1 引言

圖像是現(xiàn)實(shí)生活傳遞信息的重要媒介，對獲取的圖像信息進(jìn)一步處理是人類正確認(rèn)識客觀世界的必要途徑。圖像修復(fù)是圖像處理和分析領(lǐng)域的一個(gè)重要應(yīng)用，其目的在于提高圖像獲取和傳輸過程中受到破損的圖像質(zhì)量。該類問題在數(shù)學(xué)意義下為典型的反問題，需要通過建立合適的數(shù)學(xué)模型，并設(shè)計(jì)求解優(yōu)化算法得到最終的修復(fù)結(jié)果。Chan等人提出著名的TV修復(fù)模型[1]，比傳統(tǒng)各向同性擴(kuò)散方法更加有效地保持圖像的邊緣結(jié)構(gòu)，且模型數(shù)值計(jì)算簡單，并具備嚴(yán)格的收斂性。但TV模型在修復(fù)過程中將圖像建模為分片光滑的，會(huì)出現(xiàn)明顯的“階梯效應(yīng)”。 小波及其多分辨分析理論的興起，很大程度上推動(dòng)了圖像表示方式的發(fā)展。Chan等人[2]研究了基于變分的小波修復(fù)方法，在修復(fù)圖像的同時(shí)，一定程度上改善了圖像邊緣信息模糊且平坦區(qū)域過光滑的現(xiàn)象，但模型仍采用基于時(shí)間迭代的處理算法，收斂較慢，導(dǎo)致模型運(yùn)算效率較低。Chan R等[3]提出一種利用交替迭代的小波域修復(fù)優(yōu)化算法，大大提升了圖像處理效率。然而這類方法仍是基于有界變差函數(shù)空間的正則化模型，“階梯效應(yīng)”現(xiàn)象無法避免。 2010年，Bredies等提出了一種新的數(shù)學(xué)變分模型[4]，即總廣義變分（TGV），其是傳統(tǒng)有界變分的繼承與發(fā)展。不同于傳統(tǒng)TV模型將圖像建模為分片常數(shù)函數(shù)，TGV能夠有效地逼近任意階的多項(xiàng)式函數(shù)，并具有凸性和旋轉(zhuǎn)不變等優(yōu)良特性，能夠很好地對圖像進(jìn)行建模分析。許建樓等在TV小波修復(fù)模型的基礎(chǔ)上，采用TGV對圖像正則化項(xiàng)進(jìn)行約束，建立基于TGV的小波修復(fù)模型[5]。該模型能夠有效減輕傳統(tǒng)TV模型易產(chǎn)生階梯效應(yīng)的不足，但對于細(xì)節(jié)信息較多且含有紋理成分的圖像修復(fù)效果并不理想。近年來緊框架系統(tǒng)理論及其優(yōu)化算法的快速發(fā)展[6]使其在圖像處理領(lǐng)域的應(yīng)用獲得重視，Cai等[7]利用緊框架變換的冗余特性建立圖像去卷積正則化模型，并采用分裂算法對模型求解，有效改善了圖像恢復(fù)過程細(xì)節(jié)信息易產(chǎn)生模糊的現(xiàn)象。Rosemin等[8]對小波變換和緊框架變換在CT與MRI圖像融合中的應(yīng)用進(jìn)行了對比分析，盡管小波變換是圖像信號處理分析方面的重要工具，但其冗余和平移不變等特性的缺失，大大限制了其在圖像稀疏表示中的作用。與經(jīng)典小波變換不同，緊框架系統(tǒng)由一組對稱或反對稱的小框架函數(shù)共同構(gòu)成，當(dāng)應(yīng)用到圖像變換中時(shí)，其能夠根據(jù)不同圖像或同一圖像不同區(qū)域的具體結(jié)構(gòu)特征來獲得圖像最佳的稀疏表達(dá)方式，從而準(zhǔn)確地描述圖像信息。

鑒于緊框架系統(tǒng)具備的優(yōu)良特性，本文提出一種新的基于緊框架變換的TGV圖像修復(fù)模型，并給出了結(jié)合分裂技術(shù)和原始-對偶方法的優(yōu)化求解算法。一方面該模型兼具了TGV模型的優(yōu)點(diǎn)，克服了有界變差空間不滿足人眼“連通性原則”的缺陷，避免了圖像平坦區(qū)域過光滑的現(xiàn)象。另一方面，通過緊框架下圖像的稀疏表示，降低了圖像數(shù)據(jù)處理的規(guī)模，提高了模型計(jì)算效率。多層緊框架分解后，圖像不同尺度多個(gè)方向的特征信息使得原圖像不同區(qū)域的結(jié)構(gòu)信息都能得到完備表達(dá)，進(jìn)而圖像修復(fù)過程中一些微小紋理及細(xì)節(jié)信息能夠獲得有效保護(hù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，本文模型的修復(fù)效果、峰值信噪比、平均絕對誤差和結(jié)構(gòu)相似測度的計(jì)算結(jié)果與TV小波修復(fù)模型[9]及二階TGV小波修復(fù)模型[10]相比均有提升。

2 緊框架變換

對于一個(gè)可數(shù)集合X?L2(R)，被稱為L2(R)上的緊框架[11]，當(dāng)且僅當(dāng)：

且，稱為小框架函數(shù)。緊框架系統(tǒng)X(ψ)由多個(gè)ψi通過伸縮平移得到，即：

不同于小波變換只有唯一的小波函數(shù)，緊框架系統(tǒng)具有一組小框架函數(shù)。

緊框架變換可以根據(jù)UEP原則通過多分辨分析獲得[12]，由多分辨率分析的理論可知，要構(gòu)造一個(gè)緊支撐的框架系統(tǒng)，首先需要一個(gè)緊支撐的尺度函數(shù)φ∈L2(R)，對應(yīng)于一個(gè)尺度模板函數(shù)（即低通濾波器組）ζφ，并且滿足二尺度方程：（傅里葉變換），ζφ是一個(gè)三角多項(xiàng)式，且ζφ(0)=1。緊支撐的小框架函數(shù)，對應(yīng)于一個(gè)高通濾波器組，滿足為三角多項(xiàng)式。由UEP可以得到，生成框架系統(tǒng)所需要的尺度函數(shù)和小框架函數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足：

若尺度函數(shù)對稱，則生成的框架系統(tǒng)也是對稱的，且具有線性相位，該特性十分重要[13]。在圖像數(shù)據(jù)分析中，當(dāng)尺度函數(shù)和小波函數(shù)作為濾波函數(shù)，且濾波器具有線性相位時(shí)，能有效避免圖像信號在分解與重構(gòu)中的失真，最終保證圖像修復(fù)效果的改善。

對離散圖像序列進(jìn)行處理時(shí)，W∈?m×n,m≥n代表分解算子，即緊框架變換，WT代表重構(gòu)算子，根據(jù)UEP原則，有WTW=I，但WWT≠I，對應(yīng)的圖像重構(gòu)過程：u=WTWu。為更完備地描述圖像的細(xì)節(jié)信息，需對圖像進(jìn)行多層框架分解，得到圖像不同尺度多個(gè)方向的特征信息。記圖像序列u的L層框架分解為：

其中Γ代表每一層框架分解所包含的不同方向，Wl,ju代表第l層分解的第 j個(gè)方向的子帶圖像小波框架系數(shù)。

傳統(tǒng)的TV模型對圖像像素的處理只是基于垂直方向和水平方向，而小波變換后則能得到圖像小波域中水平、垂直及對角線三個(gè)方向的子帶圖像；當(dāng)采用本文的緊框架對圖像進(jìn)行變換時(shí)，則可獲得八個(gè)不同方向的子帶圖像。如圖1和圖2，分別對圖像做四層雙正交小波分解與緊框架分解的對比實(shí)驗(yàn)。相比于傳統(tǒng)雙正交小波變換，本文的四層緊框架變換能夠獲取圖像每一層八個(gè)不同方向上的特征信息來對圖像進(jìn)行約束，可更好地完備表達(dá)圖像特征，從而實(shí)現(xiàn)對圖像細(xì)節(jié)及一些紋理信息的保護(hù)。

3 基于TGV的小波圖像修復(fù)

利用TV作為正則化項(xiàng)，建立能量泛函進(jìn)行圖像修復(fù)時(shí)，易在圖像平滑區(qū)域產(chǎn)生虛假邊緣，這是TV在對圖像建模時(shí)的不足。Bredies等人發(fā)現(xiàn)了一種新的變分?jǐn)?shù)學(xué)形式，即總廣義變分（TGV）。TGV的定義形式如下：

其中Symk(?d)代表?d上的k階對稱張量積，αl為固定的正常數(shù)，為緊支撐的向量空間。對于div1v，div2v散度分別定義為：

v的∞范數(shù)定義為：

因此TGV可以看作TV模型的一般化。Bredies等通過理論推導(dǎo)得到式（5）的另一種表達(dá)形式[12]：

圖1 四層雙正交小波分解

其中ε(ul-1)為對稱梯度算子，且

許建樓等提出了一種基于二階總廣義變分的小波修復(fù)模型：λ為調(diào)整參數(shù)，χi,j代表正交小波基，αi,j為待修復(fù)圖像的小波系數(shù)，βi,j為恢復(fù)圖像的小波系數(shù)。

與傳統(tǒng)TV小波修復(fù)模型相比，它不僅兼具TV模型的優(yōu)點(diǎn)，而且能夠在修復(fù)過程中有效減輕“階梯效應(yīng)”。但其模型中選擇的都是單一的小波基變換，無法實(shí)現(xiàn)對圖像中不同區(qū)域結(jié)構(gòu)信息的完備稀疏表達(dá)，因此極易造成圖像中一些重要的細(xì)節(jié)信息無法得到有效修復(fù)。

4 本文模型及算法

4.1 本文模型

傳統(tǒng)小波修復(fù)模型中只采用單一小波變換，由于自然圖像特征的多樣性，不同圖像之間或同一圖像不同區(qū)域間的結(jié)構(gòu)特征也不盡相同，因此很難利用一種單一的小波基變換對所有圖像進(jìn)行完備描述。另外不同小波表達(dá)圖像特征的方式各異，很難保證對傳統(tǒng)小波修復(fù)模型中所選擇的小波進(jìn)行簡單的替換而不影響模型算法的收斂性和穩(wěn)定性，進(jìn)而對圖像修復(fù)效果產(chǎn)生影響。針對TGV小波修復(fù)模型存在的不足，提出了一種緊框架域下的二階TGV圖像修復(fù)模型，令，則：

圖2 四層緊框架分解

其中為緊框架變換，λ為調(diào)節(jié)參數(shù)，gl,j，vl,j為原始圖像與觀測圖像的框架系數(shù)。模型中第一項(xiàng)為緊框架域下的擬合項(xiàng)，能夠反映修復(fù)圖像與原始圖像之間的逼近程度。第二項(xiàng)為緊框架域下的二階TGV正則化項(xiàng)，一方面緊框架變換后框架系數(shù)的低階導(dǎo)數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)得到有效平衡，另一方面緊框架的冗余性保證了其完備稀疏表達(dá)圖像特征的能力。該模型不僅能夠有效去除傳統(tǒng)有界變差空間引入的不連通現(xiàn)象，保持邊緣，而且對于一些重要紋理及細(xì)節(jié)信息的保護(hù)也比傳統(tǒng)小波修復(fù)模型更為理想。

4.2 模型算法——PDSBA

由于模型（11）中的擬合項(xiàng)與正則化項(xiàng)都是非光滑函數(shù)，很難直接對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行最小化求解。模型通過引入輔助變量ξ，將式（11）轉(zhuǎn)換為約束優(yōu)化問題，即：

由簡單罰函數(shù)方法將式（12）轉(zhuǎn)化為易于處理的無條件約束最優(yōu)化問題，即：

其中γ為大于0的參數(shù)。當(dāng)γ→∞時(shí)，式（12）與式（13）等價(jià)。

對目標(biāo)能量泛函表達(dá)式（13）的求解，近幾年發(fā)展較快的基于變量分裂交替迭代的算法十分有效[14]。該算法的主要思想是將目標(biāo)函數(shù)分裂為兩個(gè)或多個(gè)易于處理的子問題，然后再進(jìn)行交替迭代求解。

采用分裂技術(shù)將式（13）分裂為兩個(gè)子問題：

式（14）的求解，通過得到對應(yīng)的歐拉-拉格朗日方程：

令，W 為緊框架變換，將式（15）轉(zhuǎn)換到圖像域進(jìn)行求解：

因此求解式（15），即可等價(jià)為求解：

根據(jù)Legendre-Fenchel對偶變換理論[15]，給出式（18）的對偶形式：

表示一階向后差分算子。

綜上所述，可以得到模型式（11）的PDSBA算法：

（1）初始化參數(shù) δ0,δ1,ω0,ωˉ0=0,p0,q0=0,τ,γ ，迭代次數(shù)MaxIt，迭代誤差err；

（2）通過式（16）計(jì)算 ξk+1；

（3）式（20）計(jì)算 (pk+1,qk+1,fk+1,ωk+1,fˉk+1,ωˉk+1)，從而得到 fk+1；

（4）vk+1=Wfk+1；

（5）n=n+1；

（6）直到滿足終止條件。

5 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)中采用“Lena”和“Cameraman256”等圖像進(jìn)行測試。為比較不同算法圖像恢復(fù)的能力，將本文算法與文獻(xiàn)[9]基于TV的小波修復(fù)算法與文獻(xiàn)[10]基于TGV的小波修復(fù)算法進(jìn)行比較。為確保算法比較的有效性，對不同算法恢復(fù)質(zhì)量的評價(jià)，本文不僅采用峰值信噪比（PSNR）、平均絕對誤差（MAE）及結(jié)構(gòu)相似測度（SSIM）的大小進(jìn)行定量評價(jià)，也對圖像修復(fù)結(jié)果中一些紋理與細(xì)節(jié)信息的復(fù)原情況進(jìn)行定性分析。PSNR、SSIM值越大，MAE的值越小，則說明圖像失真越小。

對于小波修復(fù)中的小波均選取Db7-9雙正交小波，本文則采用緊框架變換。本文算法中的緊框架系統(tǒng)采用分段三次B樣條的形式進(jìn)行構(gòu)造，得到一組低通與高通濾波器：

遵循UEP原則得到對應(yīng)的尺度函數(shù)與小框架函數(shù)，如圖3。

圖3 基于分段三次B樣條的緊框架系統(tǒng)尺度函數(shù)與小框架函數(shù)

雙正交小波變換與緊框架變換的分解層數(shù)L=4，實(shí)驗(yàn)迭代終止條件設(shè)為，迭代次數(shù)100。將圖像中隨機(jī)丟失像素的比例記為PR，即圖像破損率。實(shí)驗(yàn)評價(jià)指標(biāo)PSNR、MSE、SSIM分別定義為：

m，n代表圖像長和寬，μX,μY為圖像均值，σX,σY為圖像方差，σXY為圖像協(xié)方差。

5.1 實(shí)驗(yàn)1

Cameraman256圖像修復(fù)實(shí)驗(yàn)。圖4（a）為原始圖像，邊緣以及細(xì)節(jié)信息較多，圖4（b）為待修復(fù)圖像，原始圖像隨機(jī)丟失40%的像素，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為20。實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置 γ=0.1，δ0=1，δ1=2，δ=0.1，τ=0.1。圖4（c）為文獻(xiàn)[9]基于TV的小波修復(fù)模型的結(jié)果，圖4（d）為文獻(xiàn)[10]基于TGV的小波修復(fù)模型，圖4（e）為本文模型的修復(fù)結(jié)果。圖5（a）到（e）分別為圖4（a）到（e）的邊緣信息。

圖4 不同模型對Cameraman256圖像的恢復(fù)性能比較

圖5 不同模型對Cameraman256圖像恢復(fù)結(jié)果的邊緣信息對比

從圖4的恢復(fù)結(jié)果中可以看出，圖4（c）的恢復(fù)結(jié)果在相機(jī)支架及人衣服的邊緣有明顯的“階梯效應(yīng)”，而且對于地上的草地恢復(fù)十分模糊，大量信息丟失。圖4（d）的恢復(fù)效果“階梯效應(yīng)”現(xiàn)象已基本消失，邊緣信息也得到了很好的保護(hù)，但是對于一些明顯細(xì)節(jié)信息，例如草地信息的修復(fù)較為模糊。而本文的修復(fù)結(jié)果圖4（e）不僅可以有效去除“階梯效應(yīng)”，而且對于細(xì)節(jié)信息的恢復(fù)效果也較好。從圖5的邊緣恢復(fù)信息來看，圖5（c）和圖5（d）與原始邊緣信息圖5（a）相比，丟失了較多細(xì)節(jié)信息，而本文算法恢復(fù)的效果則與圖5（a）比較接近。從定量方面分析，由表1可以得出，本文模型較文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]的模型都能獲得較大的PSNR和SSIM以及較小的MAE，從而能夠說明本文算法的優(yōu)勢。

表1 不同模型對圖Cameraman256的修復(fù)效果對比

5.2 實(shí)驗(yàn)2

Lena圖像修復(fù)實(shí)驗(yàn)。圖6（a）為原始圖像，邊緣以及紋理信息較多，圖6（b）為待修復(fù)圖像，即原始圖像隨機(jī)丟失40%的像素，噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為20。實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置γ=0.1,δ0=1,δ1=2，δ=0.1，τ=0.1 。圖 6（c）為基于TV的小波修復(fù)模型[10]的結(jié)果，圖6（d）為基于TGV的修復(fù)模型[11]，圖6（e）為本文模型的修復(fù)結(jié)果。圖7（a）到（e）分別對應(yīng)于圖6（a）到（e）的邊緣信息。

圖6 不同模型對Lena圖像的恢復(fù)性能比較

從圖6的恢復(fù)結(jié)果中分析，圖6（c）的恢復(fù)結(jié)果在左側(cè)較粗的豎條、人肩膀處及鏡子的邊緣均出現(xiàn)“階梯效應(yīng)”。圖6（d）的恢復(fù)效果“階梯效應(yīng)”現(xiàn)象已基本消失，邊緣信息也得到了保持，但對于一些細(xì)節(jié)信息，例如帽子上的一些細(xì)小紋理的恢復(fù)效果不夠好。而本文的恢復(fù)結(jié)果圖6（e）不僅有效去除了“階梯效應(yīng)”，而且對于像帽子上的細(xì)微紋理等細(xì)節(jié)信息的修復(fù)效果也很好。從圖7的邊緣恢復(fù)信息分析，文獻(xiàn)[9]的方法和文獻(xiàn)[10]的方法和本文模型對比，一定程度上都會(huì)丟失較多的細(xì)節(jié)信息。由表2可以得到，本文模型與文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]模型相比，都能獲得較優(yōu)的評價(jià)指標(biāo)值，從而驗(yàn)證本文算法在邊緣及細(xì)節(jié)信息恢復(fù)性能上的優(yōu)勢。

圖7 不同模型對Lena圖像恢復(fù)結(jié)果的邊緣信息對比

表2 不同算法對圖Lena修復(fù)效果的性能比較

5.3 實(shí)驗(yàn)3

為更好地說明本文算法的有效性和穩(wěn)定性，原始圖像丟失不同比例的像素值，即采用不同PR值時(shí)（30%～50%），將本文算法與文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]算法進(jìn)行對比，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3。從表3中可以看出，一方面當(dāng)取不同PR值時(shí)，本文算法獲得的PSNR和SSIM值都高于文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]的結(jié)果，MAE值則較小；另一方面通過比較發(fā)現(xiàn)當(dāng)PR值提高時(shí)，本文算法受影響程度要比文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]算法小，從而驗(yàn)證了本文算法的有效性與穩(wěn)定性。

算法復(fù)雜性分析：TGV模型的數(shù)值實(shí)現(xiàn)中采用的是圖像的二階微分，相比于傳統(tǒng)TV模型的一階微分運(yùn)算稍微復(fù)雜一些。但一方面本文緊框架域下的圖像稀疏表示，大大降低了圖像數(shù)據(jù)的處理規(guī)模，一定程度上降低了算法處理的復(fù)雜性；另一方面通過采用基于分裂技術(shù)的快速算法，也能夠有效提高算法的運(yùn)行效率。如表4為本文算法與文獻(xiàn)[9]和文獻(xiàn)[10]算法對不同圖像進(jìn)行修復(fù)所需時(shí)間的對比。

表3 不同PR時(shí)不同模型圖像修復(fù)性能的比較

表4 不同模型圖像修復(fù)的消耗時(shí)間對比s

由表4可以看出，本文算法消耗時(shí)間最長，主要由于四層緊框架分解后，每一層有8幅不同方向的子帶圖像，相比于四層小波分解后處理的12幅子帶圖像，本文算法實(shí)現(xiàn)時(shí)總共需對32幅圖像進(jìn)行處理，因此算法消耗時(shí)間相對較長。但時(shí)間的消耗得到了更加理想的圖像修復(fù)效果，而且相比其他模型的消耗時(shí)間仍在可接受范圍內(nèi)，最終本文模型重在對于圖像修復(fù)效果的提升。

6 結(jié)束語

由于自然圖像特征的多樣性，單一的小波基變換已經(jīng)很難滿足對圖像信息的完備稀疏表達(dá)，從而導(dǎo)致修復(fù)過程中圖像一些重要結(jié)構(gòu)信息的丟失。具備冗余、平移不變等優(yōu)良特性的緊框架系統(tǒng)的引入，有效地解決了這一問題，通過對圖像的多層緊框架分解，得到圖像不同尺度多個(gè)方向的特征信息，進(jìn)而使得原圖像不同區(qū)域的結(jié)構(gòu)信息得到完備表達(dá)，最終建立合適的正則化模型。為有效求解該模型，采用分裂技術(shù)與原始-對偶方法相結(jié)合的算法，交替迭代求解兩個(gè)易于處理的子問題，大大降低了算法的復(fù)雜度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，新模型不僅保邊性能好，穩(wěn)定性高，而且對于圖像中一些重要的紋理和細(xì)節(jié)信息也能較好地修復(fù)。

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