BR0代數的猶豫模糊濾子與理想

彭家寅

PENG Jiayin

內江師范學院 數學與信息科學學院，四川 內江 641199

School of Mathematics and Information Science,Neijiang Normal University,Neijiang,Sichuan 641199,China

1 引言

現實世界中存在著許許多多的不確定型與不精確問題，而建立在Contor集合論上的經典數學工具卻很難甚至無法處理這類問題。1965年，Zadeh對Contor的集合進行了推廣，提出模糊集理論[1]，在某種程度上有效地解決了一些不確定問題。隨后，模糊集理論得到了迅速發展，研究者們提出了直覺模糊集理論[2]、vague理論[3]、區間數理論[4]等等作為數學工具來處理嵌入在系統中不同類型的不確定性和不精確性問題，豐富和發展了經典的模糊集理論。然而，這些理論都存在一定的局限性[5]，在較多決策問題中，許多決策者在做決策時常常是猶豫的，在幾個可能方案之間徘徊，并且不同決策者的可能方案數目通常是不同的，像這樣的問題用上述理論模型很難準確描述。為此，Torra[5]引入了猶豫模糊集，從一個新的角度擴展了Zadeh經典模糊集理論，它允許其元素的隸屬度有多個可能值。猶豫模糊集引起了國內外研究者們的濃厚興趣，其理論與應用得到了快速發展[6-14]。

1993年C.Elkan博士在美國第十一屆人工智能年會上的一篇報告“模糊邏輯似是而非的成功”引起了學者們關于模糊邏輯的意義和應用的一場激烈的爭論。這場爭論的各方都或多或少，有意無意地觸及到了模糊控制的核心“部件”——“模糊推理”。為了將模糊推理納入到嚴格的邏輯框架之中，王國俊教授[15]建立了一種模糊命題演算的形式演繹系統L?和與之在語義上相匹配的R0代數。吳洪博教授在此基礎上提出了基礎L?系統和基礎R0代數，即BL?系統和BR0代數[16]，文獻[17-18]進一步探究基礎L?系統和基礎R0代數問題。從文獻[16-18]可以看出MV代數是BR0-代數的特例，Lukasiewicz模糊命題演算系統是BL?系統的擴張，并且BR0代數與Hajek[19-20]提出的BL代數有本質的不同，這就意味著對BR0代數的研究是很有意義的工作。眾所周知，濾子理論與理想理論在邏輯代數系統的結構研究中扮演著十分重要的角色。文獻[21]引入了BR0代數的模糊濾子與模糊素濾子的概念，研究了其相關性質。文獻[22]提出了BR0代數的模糊理想和模糊素理想的概念，研究了它們的基本性質，給出了BR0代數的模糊集構成模糊理想的條件。本文，將猶豫模糊集應用于BR0代數中，建立擬BR0代數的猶豫模糊濾子與理想理論，研究其性質和結構特征。

2 預備知識

定義1[5]設X為一個給定的集合，一個X上的猶豫模糊集的定義如下：

其中是由區間[0，1]上若干個不同值構成的集合，表示X中的元素x屬于集合的若干種可能隸屬度。

設為X上的猶豫模糊集，P([0,1])為區間[0,1]的冪集。稱集合

為猶豫水平集，其中γ∈P([0,1])。

定義2[16]設 X是(?,∨,→)型代數，如果 X 上有偏序≤使(X,≤)成為有界分配格，且∨是關于序≤的上確界運算，?是關于序≤的逆序對合對應，且

其中1是(X,≤)的最大元，則稱X為基礎R0代數，記為BR0代數，并記0=?1。以下用符號'表示?，并在BR0代數 X 中引入圈乘運算：?:x?y=(x→y′)′，可以證明圈乘運算?和蘊涵算子→構成伴隨對。

定義3[23]設X為BR0代數且F?X，稱F為X的濾子，如果對任意x,y∈X，有

若F為X的濾子且F≠X，則稱F為X的真濾子。

定義4[23]設X為BR0代數且I?X，稱I為X的理想，如果對任意x,y∈X，有

若I為X的理想且1?I，則稱I為X的真理想；進一步，當 x∧y∈I有 x∈I或 y∈I，則稱I為X的素理想。

3 BR0代數的猶豫模糊濾子

定義5BR0代數X上的一個猶豫模糊集叫作X的一個猶豫模糊濾子，如果它滿足

設為X的一個猶豫模糊濾子，若存在x∈X使得，則稱為 X 的一個猶豫模糊真濾子。

定理1設為BR0代數X的一個猶豫模糊濾子，如果 x,y∈X 使得 x≤y ，那么。

證明設 x,y∈X使得 x≤y，則 x→y=1。由為 X 的一個猶豫模糊濾子，所以

定理2設為BR0代數X的猶豫模糊真濾子，則

證明若，因1是X 的最大元及?為逆序對合的，故對任意 x∈X ，x′≤1，0=1′，進而 x′→1=1，

0′=1 。由定理1和定義5（2）可以得知，。結合定義 5（1）有，，這與為 X 的猶豫模糊真濾子矛盾，所以。

定理3設為BR0代數X上的猶豫模糊集，則為X的猶豫模糊濾子的充要條件是對任意γ∈P([0,1])，當時，X,γ)為 X 的濾子。

證明假設為X的猶豫模糊濾子，γ∈P([0,1])且，則存在 x∈X 使得。由定義5（1）知，，故 γ ? h(1)，即。假設且，則且。由定義5（2）知，。按定義3，X(,γ)為 X 的濾子。

反之，假設對任意 γ∈P([0,1])，當時，X(,γ)為 X 的濾子。對任意 x∈X ，記，則 x∈X(,γ)且 X(,γ)為 X 的濾子。于是 1∈X(,γ)，也就是，即定義5（1）成立。對任意 x,y ∈X ，記，，則

且為 X 的濾子。由定義3可知，y∈X(,α?β)，進而

即定義5（2）成立。綜上所述，為X的猶豫模糊濾子。

推論1設為BR0代數X的猶豫模糊濾子，則為 X 的濾子。

推論2設為BR0代數 X的猶豫模糊濾子且a∈X ，則為 X 的濾子。

推論3設A為BR0代數X的濾子，且α,β∈P([0,1])使得α?β。定義X上的猶豫模糊集如下：

則為X的猶豫模糊濾子。

定理4設和為BR0代數X的猶豫模糊濾子，則?是X的猶豫模糊濾子。

證明對任意x∈X，

又任意x,y∈X，都有：

所以?是X的猶豫模糊濾子。

定義6設X和Y都是BR0代數，f是BR0代數X到BR0代數Y的同態映射，與分別是X和Y上的猶豫模糊集，則由 f可誘導出兩個猶豫模糊集f()和 f-1()：

注：hf()的定義等價于：對于任意

定理5設X和Y都是BR0代數，f是BR0代數X到BR0代數Y的同態映射。

（1）若為X的猶豫模糊濾子，且 f是同構映射，則 f()為Y的猶豫模糊濾子。

（2）若為Y 的猶豫模糊濾子，則 f-1()為 X 的猶豫模糊濾子。

證明（1）?y∈Y ，因 f同構，故

這里1X和1Y分別是X和Y中的最大元。對任意y1,y2∈Y，因 f為同構映射，所以分別存在 x1,x2∈X使得f(x1)=y1，f(x2)=y2。于是 f(x1→x2)=y1→y2，故

所以 f()為Y的猶豫模糊濾子。

（2）因 f為同態映射，f(1X)=1Y。對任意x∈X都有，。對任意 x1,x2∈X ，令 f(x1)=y1，f(x2)=y2，則 y1,y2∈Y且

故

所以 f-1()為X的猶豫模糊濾子。

4 BR0代數的猶豫模糊理想

定義7設為BR0代數X的猶豫模糊集，稱為X的猶豫模糊理想，如果它滿足

設為 X的猶豫模糊理想，若存在 x∈X使得，則稱為 X 的猶豫模糊真理想。

定理6設為BR0代數X的猶豫模糊理想，若x,y∈X 使得 x≤y ，則。

證明設 x,y∈X 且 x≤y，則 x→y=1。又為X的猶豫模糊理想，依定義7有：

所以結論成立。

定理7設為 X的猶豫模糊真理想，則

證明若，則對任意 x∈X ，由定義 7知 ，h(0)=h(0)，結合定義7（1）知，h(x)=h(0)對任意 x ∈X都成立，這與為X的猶豫模糊真理想矛盾，所以h(1)≠h(0)。

定理8設為BR0代數X的猶豫模糊集，則為X的猶豫模糊理想的充要條件是：對任意γ∈P([0,1])，當 X(,γ)≠? 時，X(,γ)為 X 的理想。

證明假設為X的猶豫模糊理想，γ∈P([0,1])且 X(,γ)≠? ，則存在 x∈X 使得 h(x)? γ ，由定義7（1）知，h(0)? h(x)?γ ，所以 0∈X(,γ)。假設 y∈X(,γ)，(x → y)′∈ X(,γ)，則 h(y)? γ 且 h((x → y)′)?γ 。 由 定 義 7（2）知 ，h(x)? h(y) ?h((x → y)′)?γ?γ=γ ，所以 x∈X(,γ)，因此 X(,γ)為 X 的理想。

反 之 ，設 任 意 γ∈P([0,1])，當 X(,γ)≠? 時 ，X(,γ)為 X 的理想。對任意 x∈X ，記 h(x)=γ ，則x∈X(,γ)且 X(,γ)為 X 的理想。由定義 4（1）知，0∈X(,γ)，于是 h(0)?γ=h(x)，即定義 7（1）成立。對 任 意 x,y∈X ，記 h(y)=α ，h((x→y)′)=β ，則y∈X(,α?β)且 (x→y)′∈ X(,α?β)。因 X(,α?β)為 X 的理想，則 x∈ X(,α?β)，從而 h(x)?α?β=h(y)? h((x → y)′)，即定義7（2）成立。綜上所述，為X的猶豫模糊理想。

推論4設I為BR0代數X的理想，且α,β∈P([0,1])使得α?β。定義X上的猶豫模糊集如下：

則為X的猶豫模糊理想。

推論5設為BR0代數X的猶豫模糊理想，則{x ∈ X|h(x)=h(0)}為 X 的理想。

推論6設為BR0代數 X的猶豫模糊理想且a∈X ，則 {x∈X|h(a)?h(x)}為 X 的理想。

定理9設和都是BR0代數X的猶豫模糊理想，則?也是X的猶豫模糊理想。

證明對任意x∈X，有

對任意x,y∈X，有

這就表明?是X的猶豫模糊理想。

注若和都是BR0代數X的猶豫模糊理想，但?未必是X的猶豫模糊理想。例如，令X={a,b,c}，則(2X;?,∨,→)為 BR0代數，其中2X為 X 的冪集，任意A,B?X，?A=X-A，A∨B=A?B，A→B=?A∨B。定義2X的猶豫模糊集和為：

可以驗證和都是BR0代數2X的猶豫模糊理想，但?不是2X的猶豫模糊理想，這是因為，因此

定理10設X和Y都是BR0代數，f是BR0代數X到BR0代數Y的同態映射。

（1）若為X的猶豫模糊理想，且 f是同構映射，則 f()為Y的猶豫模糊理想。

（2）若為Y 的猶豫模糊理想，則 f-1()為 X 的猶豫模糊理想。

證明（1）對任意y∈Y，總有

這里0X∈X，0Y∈Y。又對任意y1,y2∈Y，因為 f為同態映射，所以存在x1,x2∈X使得f-1(y1)={x1}，f-1(y2)={x2}并且

于是

所以 f()為Y的猶豫模糊理想。

（2）因f為同態映射，所以f(0X)=0Y。對任意x∈X,有即定義7（1）成立。對任意x1,x2∈X，因為Y的猶豫模糊理想，故因 f是同態映射，所以

按照定義6關于猶豫模糊集 f-1()的定義知，。 綜 上 所 述 ，f-1()為X的猶豫模糊理想。

定義8設為BR0代數X的猶豫模糊真理想，如果滿足：對任意 x,y∈X ，都有 h(x∧y)?h(x)?h(y)，則稱為 X 的猶豫模糊素理想。

定理11設為BR0代數X的猶豫模糊真理想，則為X的猶豫模糊素理想的充要條件是：對任意x,y ∈ X ，有 h(x ∧y)=h(x)? h(y)。

證明充分性：顯然成立。

必要性：由定義8知，h(x∧y)? h(x)? h(y)對任意x,y∈X成立。又因為X的猶豫模糊理想，依定理6知，h(x ∧y)? h(x)且 h(x ∧y)? h(y)，故

所以

定理12設為BR0代數X的猶豫模糊素理想，則 h(x ∨ y)=h(x ∧ y)。

證明因為X的猶豫模糊素理想，由定義7（2）知，

結合定理6有，h(x ∨ y)? h(x)且h(x ∨ y)? h(y)，所以 h(x ∨ y)? h(x)? h(y)=h(x ∧ y)，故 h(x ∨y)=h(x ∧y)。

定理13設為BR0代數X的猶豫模糊素理想，則對任意 γ ∈P([0,1])，當 X(,γ)≠? 時，X(,γ)為 X的素理想。

證明因為X的猶豫模糊理想，由定理8知，對任意 γ ∈P([0,1])，當 X(,γ)≠? 時，X(,γ)為 X 的理想。設 x∧y∈X(,γ)，則h(x∧y)?γ，由定理11知，h(x)?h(y)? γ ，故 h(x)? γ 且 h(y)? γ ，即 x ∈ X(,γ)，y∈X(,γ)，因此 X(,γ)是 X 的素理想。

注定理13的逆命題不真。對任意γ∈P([0,1])，當X(,γ)≠? 時，X(,γ)為 X 的素理想。由定理8知，為X的猶豫模糊理想。令X={0,a,b,1}，X上的序關系為0≤a≤b≤1，可以證明X為BR0代數。定義X上的猶豫模糊集:X → P([0,1])，滿足 h(0)? h(a)? h(b)?h(1)，令 γ =h(a)，則 X(,γ)={0,a}為 X 的素理想。但h(a ∧ b)=h(a)? h(b)，所以 h(a ∧ b)? h(a)? h(b)，故為X的猶豫模糊素理想。

定理14設為BR0代數X的猶豫模糊素理想，記 F={x∈X|h(x)=h(0)}，則 F 為 X 的素理想。

證明由推論5知，F為X的理想。設x∧y∈F，則 h(x∧y)=h(0)。因為 BR0代數 X 的猶豫模糊素理想，所以 h(x)∧ h(y)=h(x ∧ y)=h(0)，于是 h(x)?h(0)且 h(y)? h(0)。由定義7（1）知，h(x)? h(0)且h(y)? h(0)，因此h(x)=h(0)=h(y)，故 x ∈ F，y ∈ F，這表明F為X的素理想。

類似于定理10的證明，可以得到如下定理。

定理15設X和Y都是BR0代數，f是BR0代數X到BR0代數Y的同態映射。

（1）若為X的猶豫模糊素理想，且 f是同構映射，則 f()為Y 的猶豫模糊素理想。

（2）若為Y 的猶豫模糊素理想，則 f-1()為 X的猶豫模糊素理想。

5 結論

不確定性常常出現在現實世界的許多問題中，模糊集及其擴展為處理這些不同問題的不確定性提供了成功理論與方法。猶豫模糊集就是其中一個為處理猶豫情境下不確定性問題的拓展版，并且已成功地應用于決策問題中，然而用之探究代數結構的文獻不多。另一方面，BR0代數中模糊理想理論的研究在技術上是比較困難的，到目前為止研究文獻很少。為此，本文將猶豫模糊集應用于BR0代數的理想理論中，引入了猶豫模糊濾子、猶豫模糊理想和猶豫模糊素理想的概念，研究它們基本性質，給出了BR0代數的猶豫模糊集成為猶豫模糊濾子、猶豫模糊理想和猶豫模糊素理想條件。說明了猶豫模糊素理想的任何非空子集是素理想，但反之不然。證明了猶豫模糊濾子、猶豫模糊理想及猶豫模糊素理想在交運算及BR0代數同構運算下的不變性。用猶豫模糊集去研究BR0代數結構的這一思想方法，也可以用于研究MV-代數、格蘊涵代數、MTL-代數、Heyting代數、BCK-代數等邏輯代數結構，乃至群、環、域等一般代數結構討論中。

參考文獻：

[1]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and Control，1965，8：338-353.

[2]Atanassov K.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy Sets and Systems，1986，20（1）：87-96.

[3]Gau W L，Buehrer D J.Vague sets[J].IEEE Transactions on Systems，Man，and Cybernetics，1993，23（2）：610-614.

[4]Zadeh L A.The concept of a linguistic variable and its application to approximate reasoning[J].Information Sciences，1975，8（2）：199-249.

[5]Torra V.Hesitant fuzzy sets[J].International Journal of Intellignt Systems，2010，25：529-539.

[6]Xu Z S，Xia M M.Distance and similarity measures for hesitant fuzzy sets[J].Information Sciences，2011，181：2128-2138.

[7]Chen N，Xu Z，Xia M M.Correlation coefficients of hesitant fuzzy sets and their applications to clustering analysis[J].Applied Mathematical Modelling，2013，37：2197-2211.

[8]Xia M M，Xu Z S.Hesitant fuzzy information aggregation in decision making[J].International Journal Approximate Reasoning，2011，52：395-407.

[9]Yu D，Wu Y，Zhou W.Generalized hesitant fuzzy geometric Bonferroni mean and its application in multi-criteria group decision making[J].Journal of Information&Computational Science，2012，9：267-274.

[10]Zhang Z M.Hesitant fuzzy power aggregation operators and their application to multiple attribute group decision making[J].Information Sciences，2013，234：150-181.

[11]Yue L，Sun M，Shao Z.The probabilistic hesitant fuzzy weighted average operators and their application in strategic decision making[J].Journal of Information&Computational Science，2013，10：3841-3848.

[12]Bedregal B，Reiser R，Bustince H，et al.Aggregation functions for typical hesitant fuzzy elements and the action of automorphisms[J].Information Sciences，2014，255：82-99.

[13]Qian G，Wabg H，Feng X.Generalized of hesitant fuzzy sets and their application in decision support system[J].Knowledge-Based Systems，2013，37：357-365.

[14]Ye J.Correlation coefficient of dual hesitant fuzzy sets and its application to multiple attribute decision making[J].Applied Mathematical Modelling，2014，38：659-666.

[15]王國俊.數理邏輯引論與歸結原理[M].2版.北京：科學出版社，2006.

[16]吳洪博.基礎R0代數與基礎L?系統[J].數學進展，2003，32（5）：565-576.

[17]胡明娣，王國俊.基礎代數的結構研究[J].紡織高校基礎科學學報，2006，19（3）：205-209.

[18]吳洪博，文秋梅.基礎L?系統的一種擴張——Lukasiewicz系統[J].模糊系統與數學，2002，16（2）：52-57.

[19]Hajek P.Metamathematics of fuzzy logic[M].Dordrecht，The Netherlands：Kluwer Academic Publishers，1998.

[20]Hajek P.Basic fuzzy logic and BL-algebras[J].Soft Computing，1998，2：124-128.

[21]龔加安，吳洪博.BR0代數的模糊濾子與模糊素濾子[J].安康學院學報，2009，21（6）：91-93.

[22]李海霞，張修彥，吳洪博.BR0代數的Fuzzy理想與Fuzzy素理想[J].紡織高校基礎科學學報，2008，21（1）：1-3.

[23]程國勝.R0代數中的濾子與理想[J].模糊系統與數學，2001，15（1）：58-61.