尺規作圖題的歸類解析

文 /朱廣科

縱觀近幾年的中考作圖題，已不局限于對基本作圖技能的考查，取而代之的是設計新穎、富有創意的作圖題．現把各種題型歸類如下,供你復習時參考.

一、基本作圖型

例1 如圖1，A，B，C為某公園的三個景點，景點A和景點B之間有一條筆直的小路，現要在小路上建一個涼亭P，使景點B、景點C到涼亭P的距離之和等于景點B到景點A的距離，請用直尺和圓規在所給的圖中作出點P.（不寫作法和證明，只保留作圖痕跡）

解：如圖1，連接AC，作線段AC的垂直平分線MN，直線MN交AB于P.

圖1

點P即為所求的點.

點評：尺規作圖是指用無刻度的直尺和圓規來作圖，通常稱為基本作圖.解尺規作圖題時，要明確直尺和圓規的功能．理解圖形的本質特征，確定作圖順序是解題的關鍵，一定要保留作圖痕跡．

二、圖形剪拼型

例2七巧板是我國祖先的一項卓越創造.下列四幅圖中有三幅是小明用如圖2所示的七巧板拼成的，則不是小明拼成的那幅圖是（ ）

圖2

解：根據勾股定理，可判斷邊長之間的關系，不能構成C圖案，能構成A，B，D圖案.

選C.

點評：解答剪拼問題需要邏輯推理，要多方位、多角度、多層次地探索，觀察拼接前后的圖形，根據它們的邊、角、面積之間關系確定正確選項．

三、圖形變換型

例3在圖3和圖4中，4×4網格圖都是由16個相同小正方形組成，每個網格圖中有4個小正方形已涂上陰影，請在空白小正方形中，按下列要求涂上陰影．

（1）在圖3中選取2個空白小正方形涂上陰影，使6個陰影小正方形組成一個中心對稱圖形；

（2）在圖4中選取2個空白小正方形涂上陰影，使6個陰影小正方形組成一個軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形．

圖4

解：（1）選取2個小正方形涂上陰影（新涂的陰影用灰色表示），使6個陰影正方形成中心對稱圖形，如圖5所示.

（2）選取2個小正方形涂上陰影（新涂的陰影用灰色表示），使6個陰影小正方形成軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，如圖6所示.

圖5

圖6

點評：圖形變換主要包括圖形的平移、翻折、旋轉等幾種情況．解題的關鍵是觀察圖形并挖掘其中的變換條件，根據變換的性質確定圖形的位置．

四、利用網格的特征作圖

例4圖7、圖8、圖9都是由邊長為1的小等邊三角形構成的網格，每個小等邊三角形的頂點稱為格點．線段AB的端點在格點上．

（1）在圖7、圖8中，以AB為邊各畫一個等腰三角形，且第三個頂點在格點上（所畫圖形不全等）；

（2）在圖9中，以AB為邊畫一個平行四邊形，且另外兩個頂點在格點上．

解：（1）根據等腰三角形的定義作圖，以AB為底，△ABC為所求，如圖7，以AB為腰，△ABD為所求，如圖8.

（2）根據平行四邊形的判定定理作圖，如圖9所示，?ABCD即為所求．

圖7

圖8

圖9

點評：以三角形網格為背景的作圖題，不需要繁雜的計算和證明，憑借格點的特征，復雜的位置問題變得簡單而生動．利用網格線平行的結構特征，結合等腰三角形、平行四邊形的性質等，就能準確找出對應點的位置．

五、開放探究型

例5在平面直角坐標系中，我們把橫、縱坐標都為整數的點稱為整點，記頂點都是整點的三角形為整點三角形．如圖10，已知整點A（2，3），B（4，4），請在網格區域（含邊界）按要求畫整點三角形．

（1）在圖10中畫一個△PAB，使點P的橫、縱坐標之和等于點A的橫坐標；

（2）在圖11中畫一個△PAB，使點P，B橫坐標的平方和等于它們縱坐標和的4倍．

解：（1）設P（x，y），由題意x+y=2，

∴ P（1，1）或（2，0）或（0，2），但（0，2）不構成三角形，舍去，

△PAB，△P′AB符合題意，如圖10所示．

（2）設P（x，y），由題意得x2+42=4（4+y），x=2，y=1，符合題意，可得整點（2，1），△PAB符合題意，如圖11所示．

點評：分類討論是解題的關鍵.分類時，要認真思考，做到不重復不遺漏．

圖10

圖11

六、閱讀理解型

例6直角在初中幾何學習中無處不在.

如圖12，已知∠AOB，請仿照小麗的方式，再用兩種不同的方法判斷∠AOB是否為直角（僅限用直尺和圓規）.

小麗的方法：如圖13，在OA，OB上分別取點C，D，以C為圓心，CD長為半徑畫弧，交OB的反向延長線于點E，若OE=OD，則∠AOB=90°.

解：方法1：如圖14，在OA，OB上分別截 取 OC=4，OD=3， 若 CD=5，則∠AOB=90°.

圖12

圖13

圖14

圖15

方法2：如圖15，在OA，OB上分別取點C，D，以CD為直徑畫圓.若點O在圓上，則∠AOB=90°.