將軍飲馬問題與中考題

文 /劉永中

傳說亞歷山大城有一位精通數學和物理的學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪海倫，向他請教一個百思不得其解的問題：將軍每天騎馬從城堡A出發，到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次.問怎樣走路程最短？

這就是廣為流傳的將軍飲馬問題.海倫略作思考,利用作對稱點的方法解決了這個問題.

我們把將軍飲馬問題抽象成一個幾何模型：條件：如圖1，A，B是直線同旁的兩個定點．

問題：在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最小．

方法：作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B，交l于點P，則PA+PB=A′B，PA+PB的最小值為A′B（證明略）．

若能熟練利用將軍飲馬模型，則能輕松解決一些路程最短問題.

圖1

一、四邊形中的最短距離

例 1 如圖2，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中點，P是對角線AC上的一個動點，則PE+PB的最小值是______.

解：如圖2，連接DE交AC于P，連接BD，BP，

由菱形的對角線互相垂直平分，可得B，D關于AC對稱，

則PD=PB，

∴PE+PB=PE+PD=DE，

即DE就是PE+PB的最小值.

∵∠BAD=60°，AD=AB，∴△ABD是等邊三角形，

∵AE=BE，∴DE⊥AB.

在Rt△ADE中

故PE+PB的最小值為

圖2

二、一次函數中的最短距離

例3矩形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖3所示，點B的坐標為（3，4），D是OA的中點，點E在AB上，當△CDE的周長最小時，點E的坐標為（ ）

解：如圖3，作點D關于直線AB的對稱點H，連接CH，交AB于E，此時△CDE的周長最小.

又∵C（0，4），∴直線

∴當x=3時，∴點E的坐標

選B．

圖3

三、二次函數中的最短距離

例4如圖4，已知拋物線y=-x2+mx+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點B的坐標為（3，0）.

（1）求m的值及拋物線的頂點坐標；

（2）點P是拋物線的對稱軸上的一個動點，當PA+PC最小時，求點P的坐標.

解：（1）將B（3，0）代入y=-x2+mx+3得m=2，

y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以頂點坐標為（1，4）.

（2）如圖4，點A的對稱點是點B，連接CB，交對稱軸l于點P，連接AP，此時PA+PC最小.

∵y=-（x-1）2+4，∴對稱軸為x=1，C點坐標為（0，3）.

設直線BC為y=kx+b（k≠0），把（3,0），（0，3）代入得

∴y=-x+3,

當x=1時，y=-1+3=2.

當PA+PC的值最小時，點P的坐標為（1，2）.

圖4