大跨度鋼拱橋H型吊桿水平抗風索耦合系統扭轉自振特性分析

汪志昊 徐凱 趙洋

摘要： 將水平抗風索對鋼拱橋H型剛性吊桿的約束作用簡化為水平彈簧的彈性支承作用，推導了一對水平抗風索的等效扭轉彈簧彈性支承剛度計算公式，基于建立的H型吊桿水平抗風索耦合系統扭轉振動理論模型，相應提出了耦合系統扭轉自振特性求解理論方法，并通過有限元法驗證了該方法的準確性；分析了抗風索位置、剛度參數對H型吊桿扭轉自振特性的影響規律，據此提出了水平抗風索對H型吊桿第1階扭轉模態振動控制的參數設計方法。研究表明：抗風索安裝位置不同，其等效扭轉剛度對耦合系統扭轉自振特性的影響程度也不同，且抗風索位置決定了耦合系統扭轉自振頻率增長極限值；抗風索等效扭轉剛度決定了吊桿扭轉振型結點個數；當僅考慮H型吊桿第1階扭轉振動模態控制時，宜將抗風索設置在吊桿中心位置處，此時隨著抗風索等效扭轉剛度的逐漸增大，吊桿第1階扭轉自振頻率將超越第2階，相應扭轉振型在抗風索位置處的振型節點坐標逐漸趨于0，即吊桿變為幾乎完全獨立的兩段。該文研究成果可為H型吊桿的水平抗風索減振優化設計提供重要依據。關鍵詞： 水平抗風索；鋼拱橋； H型吊桿； 等效扭轉剛度； 扭轉自振特性

中圖分類號： TU311.3； TU312+.1文獻標志碼： A文章編號： 10044523（2017）04062010

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.013

引言

制作和養護方便的H型剛性吊桿，在鋼拱橋中應用較為普遍。然而，這種具有鈍體截面形式的開口薄壁鋼結構桿件，長細比大，阻尼小，且扭轉基頻偏低，在風荷載下易發生風致扭轉顫振等多種有害振動，嚴重影響橋梁正常運營甚至危及橋梁整體安全[12]。工程界常采用調諧質量阻尼器[34]、氣動措施[5]或水平抗風索[67]等方法抑制H型吊桿的風致振動。其中水平抗風索減振措施，通過抗風索將各吊桿串聯形成索桿耦合系統，使各吊桿運動相互牽連，增加吊桿整體剛度，提高吊桿自振頻率從而抑制吊桿振動。2006年中國某鋼桁架拱橋遭遇臺風襲擊后，橋上多根H型吊桿發生強烈扭轉振動，導致吊桿上下端翼緣板普遍破壞，最嚴重的幾乎斷裂，事后采用了水平抗風索減振抑振[6]，國外也早有類似的應用實例[7]。雖然抗風索在H型吊桿振動控制已有應用，但相關理論研究偏少，已有抗風索減振主要集中于斜拉索的輔助索[89]減振領域。據目前所調研的公開發表文獻所示，未發現有關H型吊桿水平抗風索（簡稱：抗風索）耦合系統自振特性的解析或半解析方法，且相應的抗風索參數優化設計方法也尚未建立。

本文提出了求解H型吊桿水平抗風索耦合系統扭轉自振特性的理論方法，結合所建立的H型吊桿水平抗風索耦合系統扭轉振動理論模型和提出的抗風索位置處吊桿扭轉振動相容連續性條件，可求解耦合系統扭轉自振頻率和吊桿扭轉振型，通過與有限元結果對比驗證了方法的準確性。此外，通過抗風索參數分析，明確了抗風索位置、剛度參數對H型吊桿扭轉自振特性的影響規律，得到了抗風索對吊桿前2階扭轉振動模態的優化布置與剛度參數取值。最后，提出了抗風索對H型吊桿第1階扭轉振動模態控制的參數優化設計方法。

1H型吊桿抗風索耦合系統扭轉振動理論模型〖*2〗1.1H型吊桿抗風索耦合系統為提高細長H型吊桿的自振頻率，實橋工程一般采用1道水平抗風索串接多根吊桿，本文初步研究以風振問題尤其突出的最長吊桿與抗風索組成的耦合系統作為研究對象，分析抗風索對單根H型吊桿扭轉自振特性的影響規律。H型吊桿與橋面及拱肋一般均采用高強螺栓連接，邊界條件處于鉸接和固結之間，與固結更為接近。為簡化計算，將H型剛性吊桿簡化為受軸向拉力的兩端固結梁，水平抗風索對吊桿的扭轉剛度貢獻簡化為一對水平彈簧的等效扭轉彈性支承作用，由此建立的H型吊桿水平抗風索耦合系統如圖1所示，其中位于X1位置的一對水平抗風索采用水平彈簧彈性支承描述，相應4個彈簧彈性支承剛度記為k1，k2，k3，k4，由此組成的等效扭轉彈簧記為S（圖1虛線所示）。以彈性支承位置X1處為分割點，吊桿全長L被分為2段，長度分別記為L1和L2。各段吊桿扭轉角位移用i（x，t）表示，其中Xi-1

圖1H型吊桿水平抗風索耦合系統

Fig.1The coupled system with Hsection hangers and horizontal windresistant cables第4期汪志昊，等： 大跨度鋼拱橋H型吊桿水平抗風索耦合系統扭轉自振特性分析振 動 工 程 學 報第30卷1.2H型吊桿扭轉振動微分方程

H型吊桿屬開口薄壁桿件，根據符拉索夫開口薄壁約束扭轉理論[10]，取圖1中x方向H型吊桿微元段dx，其扭轉受力[1112]如圖2所示：

圖2H型吊桿微元扭轉受力

Fig.2Torsional force in the microunit of a Hsection hangerT=Ts+Tω

Ts=-GJi（x，t）x

Tω=E′Cω3i（x，t）x3

TP=-PIPAi（x，t）x

fI=-ρIP2i（x，t）t2（1）式中T，Ts，Tω，TP與fI分別為截面總扭矩、自由扭轉扭矩、約束扭轉扭矩、軸向力產生的扭轉方向的扭矩與截面扭轉慣性力；G為剪切彈性模量；J=∑13bs3[13]為自由扭轉慣性矩，b和s分別為截面線段長度、寬度；E′=E1-μ2[10]為H型吊桿折算彈性模量，E和μ分別為楊氏彈性模量、材料泊松比；Cω=32t124[14]為翹曲扭轉常數，和參數與圖1相同；P為軸向力（拉力為正）；IP為吊桿極慣性矩；A為吊桿截面面積；ρ為吊桿材料密度。

通過圖2吊桿扭轉受力分析，可得吊桿微元扭轉平衡方程Tω+Tωx+Ts+Tsx+TP+TPx-

Ts-Tω-TP=fI（2）將式（1）代入式（2）可得各段吊桿扭轉振動微分方程E′Cω 4i （x，t）x4i -（GJ + PIP A）2i （x，t）x2i =

-ρIP 2i （x，t）t2（3）式中E′Cω表示約束扭轉剛度，GJ為自由扭轉剛度，t為時間。

1.3水平抗風索等效扭轉彈簧剛度

圖3給出H型吊桿在抗風索位置處的橫截面受力。由圖可知，可將同一截面處4個水平彈簧等效為單個扭轉彈簧。令S為一對水平抗風索的等效扭轉彈簧剛度，扭轉角記為θ。H型吊桿受到抗風索的彈性支承作用力為：F1=F3=kδx3

F2=F4=kδx1（4）式中k=2E1A1l為單側水平抗風索彈性支承剛度，E1，A1與l分別為抗風索材料楊氏彈性模量、抗風索截面面積和抗風索長度；δx1，δx2與δx3為吊桿在抗風索彈性支承方向位移，有δx1=δx3=δx2，且δx2=2sinθ。

圖3H型吊桿橫截面受力

Fig.3Crosssectional torsional force of a Hsection hanger

則H型吊桿在抗風索位置處受到彈性支承作用的等效扭轉彈簧平衡方程為Sθ=（F1+F3）=（F2+F4）=2kδx2（5）θ較小時，有θ≈sinθ，式（5）化簡可得抗風索等效扭轉彈簧剛度S=2E12A1l（6）1.4H型吊桿扭轉模態自振頻率與振型求解

由結構動力學分離變量法，吊桿扭轉角位移i（x，t）可以表示為n，i（x，t）=θn，i（x）ejωnt（7）式中n為吊桿扭轉振動階次（n=1，2，3，…）；j=-1為虛數單位；n，i（x，t）和θn，i（x）分別為第i段吊桿的第n階扭轉振動角位移和轉角模態位移函數（i=1，2）；ωn為H型吊桿水平抗風索耦合系統第n階扭轉自振圓頻率。將式（7）代入式（3）可得θn，i（x）=An，isin（cLi）+Bn，icos（cLi）+

Cn，isinh（dLi）+Dn，icosh（dLi）（8）式中c=[（a4+g44）12-g22]12，d=[（a4+g44）12+g22]12，a4=ω2ρIPE′Cω，g2=GJ+PIPA-1E′Cω。An，i，Bn，i，Cn，i和Dn，i為第i段吊桿的第n階扭轉振型實常數。

令θn（x）為整段吊桿第n階轉角模態位移函數，有θn（x）=θn，1（x）·（x≤X1）+

θn，2（x）·（x>X1）（9）參考中間彈性支承連續梁彎曲振動存在的位移、轉角等相容連續性條件[15]，提出H型吊桿在抗風索位置X1處的扭轉振動相容連續性條件分別為：扭轉角，扭轉角變化率，雙力矩與總扭矩，相應表達式分別為：n，1（XD1，t）=n，2（XU1，t）（10）

′n，1 （XD1，t） = ′n，2 （XU1，t）（11）

E′Cω ″n，1 （XD1，t） = E′Cω ″n，2 （XU1，t）（12）

E′Cω n，1 （XD1，t）-（GJ + PIP A） ′n，1 （XD1，t） =

Sn，2 （XU1，t） + E′Cω n，2 （XU1，t）-

（GJ + PIP A） ′n，2 （XU1，t）（13）式中 ′n，i（x，t），″n，i（x，t）與n，i（x，t）分別表示n，i（x，t）對x的第1階、第2階與第3階導數；XU1和XD1分別表示吊桿在抗風索位置處的上、下側截面。

將式（7）代入式（10）～（13）定義的扭轉振動相容連續性條件，化簡得到：θn，1 （L1 ） = θn，2 （0）

θ′n，1 （L1 ） = θ′n，2 （0）

θ″n，1 （L1 ） = θ″n，2 （0）（14）

E′Cω θn，1 （L1 ）-（GJ + PIP A）θ′n，1 （L1 ） =

Sθn，2 （0） + E′Cω θn，2 （0）-（GJ + PIP A）θ′n，2 （0） 吊桿兩端固結邊界條件，扭轉角n，i（x，t）與扭轉角變化率 ′n，i （x，t）皆為0[11]，相應表達式為：x=0 n，1 （0，t）=0→θn，1 （0）=0

′n，1 （0，t）=0→θ′n，1 （0）=0

x=L2 n，2 （L2 ，t）=0→θn，2 （L2 ）=0

′n，2 （L2 ，t）=0→θ′n，2 （L2 ）=0（15）將式（8）代入式（15）可得：Bn，1+Dn，1=0Dn，1=-Bn，1

cAn，1+dCn，1=0Cn，1=-cdAn，1

An，2sin（cL2）+Bn，2cos（cL2）+

Cn，2sinh（dL2）+Dn，2cosh（dL2）=0

An，2ccos（cL2）-Bn，2csin（cL2）+

Cn，2dcosh（dL2）+Dn，2dsinh（dL2）=0（16）式（18）代入式（14），并與式（16）聯立寫為矩陣形式RΦ=0（17）式中R為系數矩陣，

R=R11R12

R21R22，R11=0101

cd010

0000

0000，R12=0000

0000

sin（cl2）cos（cl2）sinh（dl2）cosh（dl2）

ccos（cl2）-csin（cl2）dcosh（dl2）dsinh（dl2），R21=sin（cl1）cos（cl1）sinh（dl1）cosh（dl1）

ccos（cl1）-csin（cl1）dcosh（dl1）dsinh（dl1）

-c2sin（cl1）-c2cos（cl1）d2sinh（dl1）d2cosh（dl1）

-（αc3+βc）cos（cl1）（αc3+βc）sin（cl1）（αd3-βd）cosh（dl1）（αd3-βd）sinh（dl1），R22=0101

c0d0

0-c20d2

（αc3+βc）ε（βd-αd3）ε。其中，α=E′CωLGJ，β=（1+PIPGJ）L；ε=SLGJ為抗風索等效扭轉彈簧無量綱剛度；Φ為待定參數向量，表示為Φ=[An，1 Bn，1 Cn，1 Dn，1 An，2 Bn，2 Cn，2 Dn，2]T式（17）若存在Φ≠0，則需滿足detR=0（18）式（18）中僅有ωn一個未知量，通過MATLAB軟件利用弦截法進行數值計算可得到H型吊桿抗風索耦合系統各階扭轉自振圓頻率ωn的數值，將ωn代回式（17）中可得Φ，再將Φ帶入式（8）即可得到各段吊桿扭轉振型，求解全過程如圖4所示。

圖4H型吊桿抗風索耦合系統扭轉自振特性求解流程圖

Fig.4The calculation flowchart to solve the torsional dynamic characteristics of coupled system with Hsection hanger and windresistant cables

圖5H型吊桿橫截面尺寸（單位：mm）

Fig.5Crosssectional dimension of a Hsection hanger（Unit：mm）

2有限元分析與驗證〖*2〗2.1H型吊桿與抗風索基本參數某大跨度鋼桁架拱橋H型吊桿原型截面如圖5所示，基本參數如表1所示。水平抗風索采用fpk=1860 MPa，7s15.2 mm規格鋼絞線，彈性模量E1=1.95×105 MPa，泊松比γ=0.3，密度ρ1=8600 kg/m3。由于抗風索（鋼絞線）初張力對吊桿動力特性影響極小[16]，本文暫時忽略初張力影響，張拉應力統一取為0.75fpk。

2.2H型吊桿抗風索耦合系統有限元模型

吊桿壁厚與特征尺寸比值很小，有限元模型（圖6）采用SHELL63殼單元；為模擬吊桿軸力，吊桿邊界條件處理為高強螺栓區一端固結，另一端釋放軸向自由度并施加軸向荷載模擬軸力幾何剛度對扭轉自振頻率的影響。抗風索采用LINK10桿單元模擬，通過設置初應變實常數模擬抗風索初張力，錨固端邊界條件設為固結。實橋工程抗風索與吊桿一般采用索卡連接，有限元建模忽略兩者的接觸摩擦作用，以共節點方式處理。

表1H型吊桿基本參數

Tab.1Basic parameters of a Hsection hanger

截面幾何參數取值吊桿參數/m0.5吊桿參數/m1.182吊桿長度L /m40.212截面面積A /m22.964×10-2慣性矩IZ /m43.751×10-4慣性矩IY /m47.602×10-3極慣性矩IP/m47.977×10-3自由扭轉慣性矩J/m42.8065×10-6翹曲常數Cω/m6 1.310×10-4楊氏彈性模量E /（N·m-2）2.0×1011剪切彈性模量G/（N·m-2）7.692×1010材料密度ρ/（kg·m-3）7850軸向拉力（拉為正）P/kN 2107圖6H型吊桿抗風索耦合系統有限元模型

Fig.6Finite element model of the coupled system with a Hsection hanger and windresistant cables2.3H型吊桿扭轉模態自振頻率與振型驗證

由公式（6）可知，抗風索等效扭轉彈簧剛度與抗風索長度、彈性模量和截面面積相關，其中較為容易改變的是抗風索長度和截面面積。分別改變抗風索長度和截面面積使得抗風索等效扭轉彈簧無量綱剛度ε變化，其中截面面積通過改變抗風索根數實現。

取長度l=100 m，截面面積A1=27.8 mm2（0.25根前述鋼絞線）對應的抗風索等效扭轉彈簧無量綱剛度K=35作為ε的基準值，分別取ε=0及ε=20K時不同抗風索安裝位置L1/L=0.1，0.3，0.5的情況，計算并比較各工況下H型吊桿扭轉自振頻率和振型的理論解與有限元結果。吊桿前2階扭轉自振頻率如表2所示，對應的各階扭轉振型如圖7所示。

表2H型吊桿扭轉自振頻率對比（Hz）

Tab.2Comparisons of torsional natural frequencies of the Hsection hanger（Hz）

εX1/L頻率

階次理論值有限元

結果相對

誤差/%0—第1階2.092.110.95第2階4.935.011.600.1第1階2.232.261.33第2階5.275.371.8620K0.3第1階3.193.251.85第2階7.907.991.130.5第1階5.795.881.53第2階4.995.030.80

圖7吊桿第1，2階扭轉振型對比

Fig.7Comparisons of firsttwo order mode shapes between theoretical values and finite element method

值得注意的是，若抗風索等效扭轉彈簧無量綱剛度ε為0，則H型吊桿抗風索耦合系統退化為普通吊桿。由式（18）可得2cd（[1-cos2cLcosh2dL]+

（d2-c2）sin2cLsinh2dL=0（19）公式（19）與文獻[17]結果完全一致。同時，由表2可知，各工況下對比發現H型吊桿前2階扭轉自振頻率理論值與有限元結果吻合良好，誤差均不超過2%。由圖7可見，吊桿第1和2階扭轉振型的理論解與有限元結果也高度吻合。可見，本文理論方法對求解H型吊桿抗風索耦合系統扭轉自振頻率與吊桿扭轉振型具有較高的精度。因此，后文均基于本節H型吊桿及抗風索參數信息，采用提出的H型吊桿抗風索耦合系統扭轉自振特性求解理論方法進行抗風索參數分析。

3抗風索位置、剛度參數對H型吊桿扭轉自振特性影響規律3.1扭轉自振頻率

分析了抗風索位置、剛度參數對H型吊桿扭轉自振頻率的影響規律。前2階吊桿扭轉自振頻率理論值與有限元計算結果見圖7，不同抗風索扭轉剛度下吊桿扭轉自振頻率最大值見表3，其中fn為H型吊桿第n階扭轉振動工程自振頻率，有fn=ωn/（2π），據此可得如下規律：

（1）圖8（a）可知：同一抗風索位置處，隨著抗風索等效扭轉彈簧無量綱剛度ε的增大，第1階扭轉自振頻率均隨之增大；ε不變時，抗風索安裝位置越靠近吊桿端部，扭轉基頻變化越小，越靠近吊桿中點，其扭轉基頻增幅越大，存在較為明顯的分區現象，在0.45≤L1/L≤0.55且ε≥10K時，吊桿扭轉基頻曲線斜率變化較大，且各曲線在L1/L=0.5處取得極值；在ε增大至一定值時（ε≥50K），同一抗風索安裝位置處，吊桿扭轉基頻變化極小，并逐漸趨于穩定極限值fu1（ε=50K，500K時兩曲線近乎重合）。

（2）由圖8（b）可知：隨著ε的增大，吊桿第2階扭轉自振頻率隨之增大，并逐漸趨于極限值fu2，扭轉自振頻率變化曲線關于L1/L=0.5對稱；不同ε下，吊桿第2階扭轉自振頻率取得極值時的抗風索位置（L1/L）不同，ε=K→500K時，各曲線極值對應的橫坐標在L1/L=（0.3→0.35）或（0.7→0.65）兩區間內，并不同于第1階扭轉自振頻率只存在一個極值橫坐標（L1/L=0.5）；抗風索位于吊桿振型結點處對扭轉自振頻率無影響（L1/L=0.5時第2階扭轉自振頻率保持不變）。

（3）考慮到實際工程中控制第1階扭轉振動模態，宜將抗風索設置在吊桿中心位置處；對第2階扭轉振動模態的控制，宜采用較大的抗風索扭轉剛度，且其安裝位置建議設置在吊桿長度的0.35或0.65處。

（4）由表3可見，吊桿第1階扭轉自振頻率最大可提高為原值的3.10倍（ε=500K，L1/L=0.5）；第2階扭轉自振頻率最大可提高為原值的1.80倍（ε=50K，500K，L1/L=0.35，0.65），扭轉自振頻率大幅增加。

圖8抗風索不同位置時吊桿第1，2階扭轉自振頻率隨ε的變化規律

Fig.8First and second order torsional natural frequencies of the hanger connected by the windresistant cables with different locations versus ε

表3吊桿前2階扭轉自振頻率最大值（Hz）

Tab.3The maximum natural frequencies of the first two order torsional mode of the hanger（Hz）

εf1 f202.09 4.93 K（1.41×103）2.97 5.39 5K（7.05×103）4.49 6.87 10K（1.41×104）5.28 7.54 20K（2.82×104）5.798.7450K（7.05×104）6.34 8.86 500K（7.05×105）6.488.86自振頻率極限提高百分比

（ε=500K） 210.05% 79.66%3.2扭轉振型

由3.1節可知，抗風索位于吊桿中心位置處對1階扭轉自振頻率提高最大，當L1/L=0.35或0.65且ε>5 K時對2階扭轉自振頻率提高最大。因此，特別針對L1/L=0.5，0.35時2個特殊位置，研究吊桿前2階扭轉振型隨抗風索等效扭轉彈簧無量綱剛度ε的變化規律（圖9，10），可見：

（1）對吊桿第1階扭轉振型，當L1/L=0.5且等效扭轉剛度較小時（ε=0，K），第1階扭轉振型表現為振型幅值最大值在0.5L，隨著ε的增大，第1階扭轉振型在0.5L處的振型節點坐標逐漸趨于0，此時出現了2個振型幅值位置，分別在0.25L和0.75L處；當L1/L=0.35時，隨著ε的增大，振型幅值出現反相位，且在抗風索位置L1/L=0.35處扭轉角位移逐漸變為0。ε越大，抗風索對吊桿的約束作用越強，最終在此處趨于固結。

（2）對吊桿第2階扭轉振型，當L1/L=0.5時，第2階扭轉振型隨著ε的增大并無變化，這與3.1節圖7（b）中抗風索位于吊桿中心位置處的第2階扭轉自振頻率保持不變相一致；當L1/L=0.35，隨著ε的增大（ε=20 K，50 K，500 K），第2階扭轉振型與吊桿軸線有兩個交點。

（3）在ε達到一定數值時，吊桿前2階扭轉振型均會由于抗風索過強的扭轉約束作用而在此處趨于固結，扭轉角位移為0，此時吊桿被完全分為2段。

圖9H型吊桿第1階扭轉振型圖

Fig.9Firstorder torsional mode shapes of the Hsection hanger圖10H型吊桿第2階扭轉振型圖

Fig.10Secondorder torsional mode shapes of the Hsection hanger

4水平抗風索對H型吊桿扭轉模態減振參數設計由3.1小節可知，對工程中優先控制的吊桿第1階扭轉振動模態，宜將抗風索設置在吊桿中心位置處，此時扭轉基頻增幅可達到最優值。因此，可固定該最優抗風索位置，研究吊桿第1和2階扭轉自振頻率的相關關系。吊桿前2階扭轉自振頻率隨ε變化規律如圖11所示，可得如下規律：

（1）隨著抗風索等效扭轉彈簧無量綱剛度ε的增大，吊桿第1階扭轉自振頻率（f1）開始增長較快、增幅較大，后期逐漸變緩并進入平臺期，頻率趨于穩定；由于抗風索安裝位置在吊桿中點位置處，第2階扭轉自振頻率保持定值并無變化，即為無抗風索時的吊桿第2階扭轉自振頻率（f2）。

（2）觀察吊桿第1，2階扭轉自振頻率曲線，隨著ε的增大，第1階扭轉自振頻率在a點后超越了第2階，此時雖然第1階扭轉自振頻率在a點之后仍隨抗風索扭轉剛度的增大繼續增加，但第2階扭轉自振頻率先于第1階出現，改變了吊桿首次出現的扭轉自振頻率階次。

（3）第1階扭轉自振頻率在ε大于某一闕值時不再變化，達到極限值fu1，即為1/2吊桿長度的第1階扭轉自振頻率，此時吊桿在抗風索位置處趨于固結，吊桿被分為完全獨立且長度相等的兩段，整段吊桿的第1階扭轉自振頻率即為各段吊桿扭轉基頻。

由于在a點后第2階扭轉自振頻率先于第1階出現（見圖11）。因此，對于優先控制第1階扭轉振動模態來說，可將a點對應的扭轉自振頻率作為吊桿的扭轉目標頻率，對應的抗風索扭轉剛度作為目標剛度。同時，實橋抗風索一般錨固于主拱肋或與相鄰吊桿串聯，其安裝位置決定了抗風索長度基本為定值。從而可根據公式（6）反算抗風索截面面積，確定抗風索參數取值A1-aim=Saimlaim2E12（20）式中A1-aim為所需抗風索截面面積；Saim為抗風索扭轉目標剛度，即a點（圖11）對應橫坐標；laim為對應的抗風索長度。

圖11吊桿抗風索（吊桿中心位置）耦合系統扭轉自振頻率隨ε的變化

Fig.11Natural frequencies of the coupled system with a hanger and midpoint windresistant cables versus ε5結論

（1）建立了H型吊桿水平抗風索耦合系統扭轉振動理論模型，推導了抗風索等效扭轉彈簧剛度計算公式，提出了H型吊桿在抗風索位置處的扭轉振動相容連續性條件（扭轉角、扭轉角變化率、雙力矩和總扭矩），同時結合吊桿兩端邊界條件，推導了H型吊桿抗風索耦合系統扭轉自振特性求解理論方法，并通過有限元法驗證了其正確性。

（2）H型吊桿第1階扭轉自振頻率隨抗風索位置、剛度的變化存在分區現象：當抗風索安裝位置靠近吊桿端部時，吊桿扭轉自振頻率變化很小，當抗風索安裝位置L1/L=0.45～0.55且等效扭轉彈簧剛度ε≥10K時，扭轉基頻變化較大，并于吊桿中心位置處達到極限值，該值為1/2吊桿長度的第1階扭轉自振頻率。吊桿第2階扭轉自振頻率取得極值時的抗風索位置存在特定區間：隨著抗風索等效扭轉彈簧剛度的增大（ε=K→500K），取得極值時的抗風索安裝位置L1/L由0.3→0.35，0.7→0.65轉移。本文算例H型吊桿第1階扭轉自振頻率最大可提高為原值的3.10倍，第2階扭轉自振頻率最大可提高為原值的1.80倍，扭轉自振頻率大幅增加。

（3）建立了H型吊桿第1階扭轉模態振動控制的水平抗風索布置位置與剛度參數設計方法，即以吊桿第1，2階扭轉自振頻率曲線交點作為吊桿扭轉目標頻率可反算抗風索參數取值。

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