載荷時變的雙層隔振系統自適應滑?？刂?/h1>
2018-05-31 12:38:00崔明月劉紅釗屈重年孫棣華
振動工程學報 2017年4期
崔明月 劉紅釗 屈重年 孫棣華
摘要： 針對實際應用雙層隔振系統載荷時變的特性，設計了基于正交函數近似法的自適應滑?？刂破鞯恼駝涌刂撇呗?。首先，將系統的參考坐標置于名義載荷下的靜態位移處，同時考慮到彈簧剛度的非線性特性，建立系統的非線性模型。其次，將系統的不確定部分用兩個未知時變函數來描述，應用一系列加權正交函數的和來近似未知函數，基于滑模控制理論設計自適應滑模控制律，結合Lyapunov直接法推導正交函數序列系數的自適應更新律，同時可以保證系統的穩定性。與傳統PID控制的對比仿真與實驗結果表明，提出的自適應滑模控制策略能夠更好地克服載荷時變的影響，提高了系統的控制性能。關鍵詞： 主動控制； 雙層隔振系統； 正交函數近似法； 自適應滑?？刂?/p>
中圖分類號： O328； TP183文獻標志碼： A文章編號： 10044523（2017）04061010
DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.012
引言
雙層隔振系統具有結構簡單、易于實現的優點，在車輛工程、船舶工程、航空航天等領域有著廣泛的應用。雙層隔振裝置能夠顯著降低機械設備振動向外界的傳遞，是隔離振動和結構噪聲的有效措施。然而，傳統被動式的隔振方式對于低頻振動，尤其是隔振裝置自身固有頻率附近的振動，難以進行有效隔離[1]。主動振動控制需外界供給能量，它是利用外界能量產生控制振動所需要的力。這種控制效果較好、原結構改變不大、調整方便。目前，在阻振、吸振和隔振領域，均已開展了相應的主動控制技術研究[13]。
楊鐵軍[3]等將CMAC神經網絡與PID控制相結合設計了應用于雙層隔振系統的復合控制器，實驗結果表明適用于不同低頻正弦激勵信號下的振動控制。袁紹軍、楊鐵軍[4]等針對常規模糊控制器量化因子難以自適應在線調整的問題，提出一種量化因子模糊自調整控制策略，應用于柴油機雙層隔振系統控制，顯著提高了隔振效果。C S Zhao[5]等將PID控制與模糊控制相結合應用于雙層隔振系統控制。N Yagiz[6]針對七自由度汽車主動懸架的控制問題，運用反步控制策略設計了振動控制器。J M Rodriguez等[7]針對包含壓電制動器的阻尼減振系統，基于微分平坦理論設計前饋控制律。然而，現有的振動主動控制方法通常只集中在削減有限模態的振動，并基于理想化的數學模型，在工程實際中的適用范圍十分有限。隨著現代控制技術的發展，自適應控制技術在主動振動控制中得到了越來越廣泛的應用。在文獻[1]中，研究者應用多點自適應有源控制策略應用于柴油機的雙層隔振系統控制。文獻[810]運用自適應控制理論進行主動控制研究，運用最小誤差均方算法對系統誤差通道進行在線辨識，取得了一定的控制效果。在文獻[11]中，將自適應前饋補償方法應用于機械耦合系統的振動控制，效果明顯。遺憾的是，上述研究成果大都是以線性定常系統模型為基礎，且沒有考慮隔振系統載荷與參數的時變，這與工程實際中的系統特性并不相符。
第4期崔明月，等： 載荷時變的雙層隔振系統自適應滑?？刂普?動 工 程 學 報第30卷由于滑?？刂破骶哂恤敯粜詮?、可靠性高與結構簡單的優點，已在主動隔振系統中得到廣泛應用。曾強洪等[12]提出應用滑模變結構控制實現隔振系統和混沌系統投影同步的新方法，在保持原有隔振系統隔振性能的前提下有效地消除了線譜。劉延斌等[13]基于系統的動力學模型，綜合運用反演控制設計方法、自適應以及滑?？刂萍夹g，制定了系統的低頻主動控制策略。在文獻[14]中，針對帶有電流變液智能阻尼器的半主動汽車懸架模型，運用滑模變結構方法設計了半主動懸架滑模控制器。在文獻[15]中，設計了系統逆模型與滑模控制策略相結合的車輛懸架主動控制控制新方法。但是，上述研究都沒考慮系統載荷時變的影響，并且所設計控制器不具有自適應性，這不利于其在實際工程中的應用。
鑒于此，針對實際工程中雙層隔振系統載荷時變的特性，建立系統的非線性模型，提出一種正交函數近似方法與滑?？刂葡嘟Y合的復合自適應控制策略。運用正交函數近似方法對系統的不確定部分進行在線辨識，自適應滑?？刂瓶刂破髟诰€產生控制力，并與常規PID控制算法進行對比仿真研究，結果表明基于正交函數近似法的自適應滑?？刂撇呗栽陔p層隔振系統主動控制中具有更好的減振效果。
1問題描述
利用柴油機作為初級振源，采用特殊中間質量形式加入作動器，構建雙層隔振系統。圖1為雙層隔振系統結構示意圖。m1（t）為時變的隔振對象—柴油機的質量，m2為中間質量塊的質量，Fg為隔振對象工作時產生的豎直方向振動激擾力，Fk表示控制器產生的主動控制力。整個模型的控制原理是通過位移傳感器測得m2的位移，送入控制器，然后通過控制器控制作動器A使其產生滿足一定條件的主動作動力Fk來抵消m1的振動，從而達到隔振的目的。為使問題簡化，在此僅考慮豎直方向的振動，將雙層隔振系統簡化為一個兩自由度的彈簧阻尼質量系統。
圖1隔振系統模型
Fig.1Model of vibration isolation system
柴油機工作時產生的振動主要是由機座向外傳播，因此，只要根據中間質量的振動信號計算出使其振動趨于零所需要的施加到中間質量上的最優控制力Fk，則向機座傳播的振動就趨于零，從而達到隔振的目的。
選取隔振對象m1（t）與中間塊質量m2坐標分別為x1和x2，對于上層彈簧，采用一個非線性彈簧，其彈簧力位移之間關系為Fk1=k11（x1-x2）+k12×（x1-x2）3。k11與k12分別為彈簧k1的線性與非線性彈性系數，x1-x2為彈簧發生彈性形變的位移。
由牛頓定律可得雙層隔振系統的振動方程：m1（t）1+c1（t）（1-2）+k11（x1-x2）+
k12（x1-x2）3=Fg+Fk-m1（t）g
m22-c1（t）（1-2）+c22-k11（x1-x2）-
k12（x1-x2）3+k2x2=-Fk-m2g（1）式中k2為下層彈簧的彈性系數，c1（t）為時變的上層阻尼器的阻尼系數，c2為下層阻尼器的阻尼系數。
在實際應用中，被隔振對象的質量往往是變化的，所以考慮載荷的時變性更具有工程意義。假設被隔振對象的質量m1（t）有界，且其范圍可以估計。那么，m1（t）可以表示為m1（t）=m1m+Δm1（t），m1m表示m1（t）的名義值，Δm1（t）為m1（t）的不確定部分，假設其有界。定義中間質量塊m2的參考位置為x2r=（-m2-m1m）g/k2（g為重力加速度），是名義載荷m1mg與中間質量塊重力m2g引起的彈簧k2的位移。
定義隔振對象m1（t）的參考位置為x1r=x2r+δ0，δ0<0為靜態時彈簧變形。定義狀態變量1=x1-x1r，2=x2-x2r，則式（1）可變為··1=1m1（t）[-k11（1-2）-k12[（1-2+
δ0）3-δ30]-c1（t）（·1-·2）-
Δm1（t）g+Fg+Fk]
··2=1m2[k11（1-2）+k12[（1-2+δ0）3-
δ30]+c1（t）（·1-·2）-c2·2-k22-Fk]（2）若取狀態變量為x=12〖〗·1·2T，系統輸出y=1，控制輸入u=Fk，則振動方程（2）可寫為：y…=f（x，t）+g（t）u
y=1（3）式中系統參數m1和c1是時變的，f（x，t）與g（t）是未知時變的函數，由式（2）與（3）可得f（x，t）與g（t）的表達式如下：f（x，t）=11（t）[-k11（1-2）-
k12[（1-2+δ0）3-δ30]-
c1（t）（·1-·2）-Δm1（t）g+Fg]+
1m1（t）[-k11（·1-·2）-k12[3（1-2+δ0）2·
（·1-·2）-δ30]-1（t）（·1-·2）-
c1（t）（··1-··2）-Δ1（t）g+g+k]
g（t）=11（t）-[m1（t）+m2]c1（t）m2m1（t）其中，f（x，t）表達式中的··1與··2由式（2）所決定。
由系統方程（3）可以看到，由于系統函數f（x，t）與g（t）是非線性函數，從控制角度看，系統輸出y=1與控制輸入u之間不滿足齊次性與疊加性原理，是典型的嚴格非線性關系。再者，系統的兩個狀態1與2之間不是獨立的，具有強耦合性，所以式（3）所描述的雙層隔振系統是一個非線性、強耦合與多變量系統，常規線性控制器已不能滿足其控制要求，這就要求設計一種魯棒性強，且具有自適應能力的非線性控制器來克服系統函數時變的影響。同時，由于系統（3）中的函數f（x，t）和g（t）是時變未知的，不能直接利用式（3）進行控制器的設計。因此，必須對式（3）所映射的系統輸出y與控制輸入u之間的關系進行辨識。
2正交函數近似方法的隔振系統辨識
要進行控制器的設計，必須對雙層隔振系統模型（3）中的未知函數f（x，t）與g（t）進行在線辨識。下面論述利用正交函數近似法對f（x，t）與g（t）進行在線辨識的方法。
正交實函數集合zi（t），i=1，2，…，n在區間t1，t2內滿足以下條件∫t2t1zi（t）zj（t）dt=0，i=j
≠0，i≠j（4）進一步地，如果此函數集合滿足∫t2t1z2idt=1，則稱其為正則化函數集合。若定義在區間t1，t2內的實函數集合zi（t），i=1，2，…，n滿足下式[16]∫t2t1ω（t）zi（t）zj（t）dt=0，i=j
≠0，i≠j（5）則zi（t），i=1，2，…，n在區間t1，t2內為相對于加權函數ω（t）的正交函數集合。如果ω（t）>0，將正交函數集合的每一項均乘上ω（t），則任何相對于加權函數ω（t）的正交函數集合均可轉換為相對于1的正交函數集合。
任意函數h（t）在區間t1，t2內，可被無限級數的正交函數集合zi（t），i=1，2，…，n展開如下式h（t）=w1z1（t）+w2z2（t）+…+
wnzn（t）+…（6）此級數被稱為廣義Fourier級數，其系數稱為h（t）相對于zi（t），i=1，2，…，n的Fourier系數。將h（t）乘以zn（t）并在區間t1，t2內積分，同時考慮zi（t）的正交性，可得∫t2t1h（t）zn（t）dt=wn∫t2t1z2n（t）dt（7）由上式可得系數wn為wn=∫t2t1h（t）zn（t）dt∫t2t1z2n（t）dt（8）由式（7）和（8）可以證明函數h（t）在區間t1，t2內滿足如下關系[16]limn→∞∫t2t1h（t）-∑ni=1wizi2dt=0（9）由式（6）～（8），函數h（t）可表示為h（t）=∑ni=1wizi（t）+ε（t）（10）式中ε（t）=∑∞i=n+1wizi為近似誤差。式（10）可表示為向量的形式h（t）=WTZ（t）+ε（t）（11）式中W=w1，w2，…，wnT為系數向量。假設選取的項數n足夠多，ε（t）→0，則式（11）可近似表示為h（t）≈WTZ（t）（12）在工程實際中，通常選取Fourier級數作為正交函數，Fourier級數的定義如下：
一個定義在區間[t0，t0+T]內的函數h（t），若滿足Dirichlet條件，則函數h（t）可展開為如下Fourier級數[17]：
h（t）=a0+∑∞n=1[ancos2nπt〖〗T+bnsin2nπtT]（13）
式中a0=1T∫t0+Tt0h（t）dt， an=2T∫t0+Tt0h（t）·cos2nπtTdt，bn=2T∫t0+Tt0h（t）sin2nπtTdt。
其中，a0，an，bn為Fourier系數。
在使用正交函數近似法設計自適應滑模控制器時，將利用式（12）來近似估計雙層隔振系統（3）的不確定項f（x，t）與g（t），其中Z（t）為已知的時變向量，并結合未知常系數向量W來擬合未知函數。其中基底函數向量Z（t）選擇Fourier級數，亦即Z（t）=[1， cosω1t， sinω1t， cosω2t， sinω2t，…，
cosωnf， sinωnft]T（14）式中ωi=2πi/T；i=1，2，…，nf；nf為基底函數向量的個數。
應用正交函數近似法可以將雙層隔振系統（3）中未知的時變函數f（x，t）和g（t）表示成未知常數與已知Fourier級數的組合函數，進一步通過選擇適當的Lyapunov函數，可以推導出未知常數的更新律，就能夠達到運用函數近似法在線辨識的目的。
3自適應滑?？刂坡傻脑O計3.1控制律的設計隔振系統的振動控制的目的是根據質量塊的振動位移，計算出使其振動趨于零所需要的施加到質量塊上的最優控制力Fk，使質量塊的振動趨于零從而達到隔振的目的。
在控制系統中，利用滑?？刂破髟诰€計算控制力Fk。根據第2節中的研究結果，先利用正交函數近似法對雙層隔振結構模型的時變未知函數進行辨識?；诤瘮到品ǖ淖赃m應滑?？刂葡到y結構如圖2所示。該控制系統充分融合了滑?？刂破黥敯粜詮娕c正交函數近似法計算簡單、實時性強的優點，達到對雙層隔振系統實時控制的目的。
圖2函數近似法辨識的自適應滑?？刂葡到y
Fig.2Adaptive sliding mode control system based on function approximation method定義滑動面s=+λ1+λ2y（15）式中λ1>0與λ2>0是設計參數，決定被隔振對象位移量x1在滑動面上的收斂速率。上式對時間t求導得=y···+λ1+λ2（16）將式（3）代入式（16），得=f（x，t）+g（t）u+λ1+λ2=
g（t）[f（x，t）g-1（t）+u+
g-1（t）λ1+g-1（t）λ2]（17）采用指數趨近律=-λ3sgn（s）-λ4s（18）式中λ3>0，λ4>0為設計參數，sgn（s）為符號函數定義如下sgn（s）=-1，s<0
+1，s>0為使控制系統的輸出收斂至滑動面，根據式（17）與式（18），可設計雙層隔振系統的滑?？刂坡扇缦聈=1g^（t）[-f^（x，t）-λ1-λ2-
λ3sgn（s）-λ4s]（19）式中f^（x，t）和g^（t）分別為f（x，t）和g（t）的估計值。
由式（19）可知，當g^（t）接近于零時，控制量u會趨于無窮大，所以g^（t）必須有一個最小值的限制，假設g（t）>g>0，g為g（t）下限值。
令fa=f（x，t）g-1（t），將式（19）代入式（17），得
=g（t）[（fa-f^a）+λ1（g-1-g^-1）+
λ2（g-1-g^-1）-λ3g^-1sgn（s）-λ4g^-1s]（20）
式中g-1=1/g（t），f^a為fa的估計值。上式中函數fa，f^a，g-1及g^-1均假設為有界的未知連續函數且滿足Dirichlet條件，這些函數可應用函數近似法表示如下：fa=WTfaZfa
f^a=TfaZfa
g-1=WTgZg
g^-1=TgZg（21）式中Wfa，W^fa，Wg，W^g∈Rn為時變系數向量，而Zfa，Zg∈Rn是基底Fourier函數向量。因此，式（20）可寫為=g（t）[TfaZfa+λ1TgZg+λ2TgZg-
λ3W^TgZgsgn（s）-λ4W^TgZgs]（22）式中Tfa=WTfa-W^Tfa
Tg=WTg-W^Tg（23）3.2 系統的自適應律設計
為證明雙層隔振控制系統的穩定性及求得W^fa與W^g的更新律，選取如下的Lyapunov函數V（s，fa，g）=12s2+12g（t）（TfaQfafa+
TgQgg）（24）式中Qfa，Qg∈Rn×n為正定矩陣。
假設控制量增益g（t）是一個變化緩慢的函數，即（t）≈0。將式（24）所示的Lyapunov函數對時間t求導，得（s，fa，g）=s+g（t）（TfaQfa·fa+
TgQg·g）（25）因為Wfa及Wg為未知的常系數向量，由式（23）可知·Tfa=-W^·Tfa
·Tg=-W^·Tg（26）將式（22）與（26）代入式（25）可得（s，fa，g）=g（t）[TfaZfa+λ1TgZg+λ2TgZg-λ3W^TgZgsgn（s）-λ4W^TgZgs]s-g（t）（TfaQfaW^·fa+
TgQgW^·g）=g（t）{[TfaZfa+λ1TgZg+λ2TgZg-λ1W^TgZgsgn（s）-λ2W^TgZgs]s-TfaQfaW^·fa-
TgQgW^·g}=g（t）{Tfa（Zfas-QfaW^·fa）+Tg[Zgs（λ1+λ2）-QgW^·g]-W^TgZg（λ3s+λ4s2）}=
g（t）{Tfa（Zfas-QfaW^·fa）+Tg[Zgs（λ1+λ2）-QgW^·g]-（WTg-Tg）Zg（λ3s+λ4s2）}=
g（t）{Tfa（Zfas-QfaW^·fa）+Tg[Zg（λ1s+λ2s+λ3s+λ4s2）-QgW^·g]-WTgZg（λ3s+λ4s2）}（27）根據式（27），可選擇W^fa與W^g的更新律如下：fa= Qf-1aZfas（28）
W^·g=Q-1gZg（λs+λ1|s|+λ2s2），（t）>g>0
Q-1gZg（λ1s+λ2s+λ3|s|+λ4s2，
0>（t）≤g & λ1s+λ2s+
λ3|s|+λ4s2<0
0，0<（t）≤g & λ1s+λ2s+
λ3|s|+λ4s2≥0（29）在式（29）中，W^fa更新律的設計是為了確保g（t）的估計值g^（t）滿足g^（t）>g>0（g為g（t）的下界值）。如果選擇適當的g，可保證式（19）中的控制量u趨于無窮大的情況不會發生。式（21）中各時變系數向量Wfa，W^fa，Wg，W^g可由式（28）與（29）來確定。
綜上所述，所設計自適應滑模控制器工作過程為：
步驟1：由實際檢測到的雙層隔振系統的被隔振對象的振幅y=x1-x1r，根據式（15）計算滑動面函數s；
步驟2：由式（21），（28），29）來計算系統函數的估計值g^（t）和f^（x，t）；
步驟3：由滑?？刂坡桑?6）計算出作用于中間質量上的最優控制力：u=Fk。
3.3控制系統的穩定性分析
定理：雙層隔振系統模型（3）在滑?？刂坡桑?9）及自適應律（28）和（29）的作用下，隔振對象的豎直方向位移y=1收斂到零。
證明：將式（28）和（29）代入式（27）可得（s，fa，g）=-g（t）WTgZg（λ3s+λ4s2）=
-g（t）g-1（t）（λ3s+λ4s2）=
-（λ3s+λ4s2）≤0（30）Lyapunov函數V（s，fa，g）是一個關于時間t的單調非增函數，所以V（s，fa，g）≤V（0）<∞，由式（25）可知s∈L∞，fa∈L∞，g∈L∞。因為
（s，fa，g）=-（λ3s+λ4s2）≤-λ4s2（31）
根據定積分性質，不等式兩邊同時積分，得∫∞0s2dt≤-1λ4∫∞0（s，fa，g）dt=
1λ4（V（0-V（∞））<∞（32）故s∈L2，所以s∈L2∩L∞。再者，由式（22）可知∈L∞，由Barbalat引理[18]，可知當t→∞時，有s→0。由式（15）可知，當t→∞時，有+λ1+λ2y=0（33）此時有y=c1exp（-λ1+λ21-4λ22t）+
c2exp（-λ1-λ21-4λ22t）（34）式中c1與c2是由y的初始值所決定的常數。由上式可知，當設計參數滿足λ21-4λ2>0時，當t→∞時，y→0，即雙層隔振系統的隔振對象的豎直方向位移1→0。
在實際應用中，為削弱抖振，用飽和函數sat（s，δ）代替符號函數sgn（s），飽和函數定義如下sat（s，δ）=-1，s<-δ
sδ，-δ≤s<δ
1，s≥δ（35）式中δ為飽和函數邊界層厚度。雙層隔振系統的滑?？刂坡桑?9）就變為u=1g^（t）[-f^（x，t）-λ1-λ2-
λ3sat（s，δ）-λ4s]（36）4數值仿真
為了驗證所設計的雙層隔振系統主動控制方法的有效性，在相同的條件下對設計的基于函數近似法的自適應滑?？刂疲ˋSMC， Adaptive Sliding Mode Control）算法與常規PID控制算法進行對比仿真。仿真所選取的系統參數如表1所示。經反復試驗，ASMC控制器參數選擇如下：λ1=2.1，λ2=1.0，λ3=λ4=1.2，飽和函數邊界層厚度δ=0.06。反復試驗后選擇一組最佳的PID控制參數：比例系數kp=1.4，積分系數ki=0.2，微分系數kd=0.06。正交函數的基函數項數選取對系統模型中的系統函數f（x，t）與g（t）的辨識精度會產生重要的影響，如果正交函數的基函數的項數選的太少，運算速度快，但辨識精度低；反之，如果項數選的多，辨識精度高，但是運算速度慢，導致控制的實時性降低。
表1系統參數
Tab.1System parameters名稱符號標稱值上層質量塊m1（t）/kg50+9sint上層質量塊不確定部分Δm1（t）/kg10中間質量塊m2/kg105.42上層彈簧線性系數k11/（N·m-1）5.7×106上層彈簧非線性系數k12/（N·m-3）1.6×105下層彈簧系數k2/（N·m-1）1.90×106上層阻尼器系數c1（t）/
（N·s·m-1）0.1+
0.05e-0.1t下層阻尼器系數c2/（N·s·m-1）0.1靜態時彈簧變形δ0/m-0.165為了解決這個矛盾，只有在辨識精度與控制的實時性之間做一個折中，進行反復多次實驗，找到二者之間一個最佳結合點。在仿真中，混合非隨機激勵的情況下，項數n=26，而偽隨機信號激勵的情況下，項數n=32。
4.1混合非隨機激勵的振動控制仿真
在工程實際中，常見的激勵信號有脈沖激勵、階躍激勵、三角波以及簡諧激勵等，為驗證文中提出的方法在各種常規激勵作用下的控制效果，采用一組由方波、三角波和簡諧波組成的混合信號作為系統的激勵信號[1920]Fg（t）=1000，t∈[2，4）
500（8-t），t∈[6，8）
1000sin0.2π（t-10），t∈[10，18）
0，其他隔振系統在混合非隨機激勵作用下的控制效果如圖3所示。
4.2偽隨機信號激勵的振動控制仿真
隨機激勵是振動工程領域常見的激勵方式，在振動控制實驗中能夠充分激勵隔振系統的各種模態。在保持系統物理參數與控制器參數不變的情況下，得到如圖4所示的雙層隔振系統在偽隨機激勵作用下的控制效果。
由圖3（c）～（d）和4（c）～（d）可知，基于正交函數的辨識方法能夠很好地辨識系統時變參數與未知載荷，對未知函數f（x，t）與g（t）具有較強的估計能力。但是，系統對未知函數的估計精度隨著外激勵信號的不同而不同，隨機激勵由于前后時刻之間的信號不相關導致其估計精度比非隨機激勵信號低。
由圖3（e）～（f）和4（e）～（f）可知，傳統PID控制方法對系統的控制效果十分有限，而基于正交函數近似方法的自適應滑?？刂品椒梢允瓜到y控制后的位移由常規PID控制時的80%～85%降低到40%以內。同時，由圖3與4可以看出，系統的控制精度隨著外激勵信號的不同而有所不同，隨機激勵由于前后時刻之間的信號不相關導致其控制精度比非隨機激勵信號要低一些。
圖3與4反映了雙層隔振系統未知載荷估計和控制效果，該系統分別受到規則簡諧信號和隨機輸入信號的激勵作用，采用正交函數近似方法可以很好地估計出系統的不確定部分，辨識精度較高。由于控制系統具有不確定部分在線估計功能，所設計的自適應滑?？刂品椒ǖ目刂菩Ч黠@優于常規PID控制方法。圖3混合非隨機激勵作用下的振動控制結果
Fig.3Vibration control results for mixed and nonstochastic excitation signal
圖4隨機激勵作用下的振動控制結果
Fig.4Vibration control results for the stochastic vibration excitation5雙層隔振系統實驗驗證
雙層隔振主動控制系統的實驗平臺與結構原理框圖如圖5所示。實驗裝置主要有兩部分組成：一個是振源模擬單元，主要模擬振源產生的激振信號，也就是迫使隔振系統振動的外激擾力；另一個是隔振系統的檢測與控制單元，主要是振動信號檢測與控制力產生。由IPC工業控制計算機產生的激振信號經A/D轉換器送入由電磁閥、液壓機與滾轉機組成的激振器，模擬初級振源的振動。在未實施控制前，先由安裝于下層質量的加速度傳感器測量并記錄下層質量的響應，以了解被動隔振的情況。實施主動控制時，由傳感器測得的位移與加速度信號
圖5雙層隔振系統控制模擬實驗平臺
Fig.5Experiment platform of twostage vibration isolating system經過低通濾波及A/D轉換后作為自適應滑?？刂破鞯妮斎?。控制器輸出分別驅動兩個液壓缸作動器對系統進行控制?？刂破饔布晒I控制計算機IPC610H以及研華PCM3718高速智能數據采集卡構成，控制軟件用C++語言編制。
在進行振動控制實驗時，由振源模擬單元產生頻率為5 Hz的單位正弦信號作為初級振源輸入進行主動控制模擬試驗。實驗平臺參數如下：上層質量塊m1=105 kg，上層質量塊不確定部分Δm1=10 kg，中間質量塊m2=55 kg，上層彈簧線性系數k11=5.7×106 N/m，上層彈簧非線性系數k12=1.6×105 N/m3，下層彈簧系數k2=1.90×106 N/m，上下層阻尼器系數c1=c2=170 N·s/m。實驗中，ASMC控制器參數選擇如下：λ1=2.0，λ2=1.0，λ3=λ4=1.5，飽和函數邊界層厚度δ=0.08。PID控制器參數：比例系數kp=2.5，積分系數ki=0.3，微分系數kd=0.08。正交函數的基函數項數n=20。兩種控制方法的實驗對比結果如圖6所示。
圖6振動控制的實驗結果
Fig.6Experimental results of the vibration control
由圖6可知，施加主動控制后，應用自適應滑?？刂品椒軌蚴股舷聦淤|量塊的振動衰減量達75%～80%左右，采用常規PID控制可以使質量塊的振動衰減量達30%～35%左右。由此可見，所設計的自適應滑?？刂撇呗詫﹄p層隔振系統進行控制時具有較強的抑制單頻信號的能力，控制效果明顯優于常規PID控制，適用于工程應用。
6結論
針對雙層隔振系統載荷與參數不確定的特性，提出了將正交函數近似方法與滑模控制相結合應用于雙層隔振系統有源控制的新方法。該方法利用正交函數近似法對系統的不確定部分進行在線估計，通過自適應滑模控制器在線計算控制力。仿真與實驗結果都表明這種自適應滑模有源振動控制策略是行之有效的。另外，系統誤差是評價一個振動控制系統控制效果的重要指標，其分析方法是振動控制評價的重要研究內容，作者正在做振動系統的誤差分析與減振效果評價等方面開展相關研究。
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Adaptive sliding mode control for twostage vibration
isolating system with timevarying loads
CUI Mingyue1，2， LIU Hongzhao1，2， QU Chongnian1，2， SUN Dihua3
（1.School of Mechatrionics Engineering， Nanyang Normal University， Nanyang 473061， China；
2.Oil Equipment and Intelligent Control Engineering Laboratory of Henan Province， Nanyang 473061， China；
3.College of Automation， Chongqing University， Chongqing 400044， China）
Abstract： An adaptive sliding controller is proposed in this paper for controlling a twostage vibration isolating system with timevarying loads. The reference coordinate is placed at the static position under the nominal loading so that the system dynamic equation is derived. Due to spring nonlinearities， the system property becomes asymmetric after coordinate transformation. Besides， in practical cases， system parameters are not easy to be obtained precisely for controller design. Therefore， in this paper， system uncertainties are lumped into two unknown timevarying functions. To estimate the unknown timevarying functions online， the orthogonal function approximation technique is employed to represent the unknown function as a finite combination of basis functions. The Lyapunov's direct method is used to derive adaptive laws for updating coefficients in the approximating series and to prove stability of the closedloop system. The simulation and experiment results demonstrate that the control performance of the present method for structure greatly compensates the effects of timevarying load sand parameter uncertainties and improves control effectiveness， in comparison with the conventional PID approach.Key words： active control； twostage vibration isolation system； orthogonal function approximation method； adaptive sliding mode control作者簡介： 崔明月（1974—），男，博士，講師。電話：（0377）63525159；Email：cuiminyue@sina.com
崔明月 劉紅釗 屈重年 孫棣華
摘要： 針對實際應用雙層隔振系統載荷時變的特性，設計了基于正交函數近似法的自適應滑?？刂破鞯恼駝涌刂撇呗?。首先，將系統的參考坐標置于名義載荷下的靜態位移處，同時考慮到彈簧剛度的非線性特性，建立系統的非線性模型。其次，將系統的不確定部分用兩個未知時變函數來描述，應用一系列加權正交函數的和來近似未知函數，基于滑模控制理論設計自適應滑模控制律，結合Lyapunov直接法推導正交函數序列系數的自適應更新律，同時可以保證系統的穩定性。與傳統PID控制的對比仿真與實驗結果表明，提出的自適應滑模控制策略能夠更好地克服載荷時變的影響，提高了系統的控制性能。關鍵詞： 主動控制； 雙層隔振系統； 正交函數近似法； 自適應滑?？刂?/p>
中圖分類號： O328； TP183文獻標志碼： A文章編號： 10044523（2017）04061010
DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.012
引言
雙層隔振系統具有結構簡單、易于實現的優點，在車輛工程、船舶工程、航空航天等領域有著廣泛的應用。雙層隔振裝置能夠顯著降低機械設備振動向外界的傳遞，是隔離振動和結構噪聲的有效措施。然而，傳統被動式的隔振方式對于低頻振動，尤其是隔振裝置自身固有頻率附近的振動，難以進行有效隔離[1]。主動振動控制需外界供給能量，它是利用外界能量產生控制振動所需要的力。這種控制效果較好、原結構改變不大、調整方便。目前，在阻振、吸振和隔振領域，均已開展了相應的主動控制技術研究[13]。
楊鐵軍[3]等將CMAC神經網絡與PID控制相結合設計了應用于雙層隔振系統的復合控制器，實驗結果表明適用于不同低頻正弦激勵信號下的振動控制。袁紹軍、楊鐵軍[4]等針對常規模糊控制器量化因子難以自適應在線調整的問題，提出一種量化因子模糊自調整控制策略，應用于柴油機雙層隔振系統控制，顯著提高了隔振效果。C S Zhao[5]等將PID控制與模糊控制相結合應用于雙層隔振系統控制。N Yagiz[6]針對七自由度汽車主動懸架的控制問題，運用反步控制策略設計了振動控制器。J M Rodriguez等[7]針對包含壓電制動器的阻尼減振系統，基于微分平坦理論設計前饋控制律。然而，現有的振動主動控制方法通常只集中在削減有限模態的振動，并基于理想化的數學模型，在工程實際中的適用范圍十分有限。隨著現代控制技術的發展，自適應控制技術在主動振動控制中得到了越來越廣泛的應用。在文獻[1]中，研究者應用多點自適應有源控制策略應用于柴油機的雙層隔振系統控制。文獻[810]運用自適應控制理論進行主動控制研究，運用最小誤差均方算法對系統誤差通道進行在線辨識，取得了一定的控制效果。在文獻[11]中，將自適應前饋補償方法應用于機械耦合系統的振動控制，效果明顯。遺憾的是，上述研究成果大都是以線性定常系統模型為基礎，且沒有考慮隔振系統載荷與參數的時變，這與工程實際中的系統特性并不相符。
第4期崔明月，等： 載荷時變的雙層隔振系統自適應滑?？刂普?動 工 程 學 報第30卷由于滑?？刂破骶哂恤敯粜詮?、可靠性高與結構簡單的優點，已在主動隔振系統中得到廣泛應用。曾強洪等[12]提出應用滑模變結構控制實現隔振系統和混沌系統投影同步的新方法，在保持原有隔振系統隔振性能的前提下有效地消除了線譜。劉延斌等[13]基于系統的動力學模型，綜合運用反演控制設計方法、自適應以及滑?？刂萍夹g，制定了系統的低頻主動控制策略。在文獻[14]中，針對帶有電流變液智能阻尼器的半主動汽車懸架模型，運用滑模變結構方法設計了半主動懸架滑模控制器。在文獻[15]中，設計了系統逆模型與滑模控制策略相結合的車輛懸架主動控制控制新方法。但是，上述研究都沒考慮系統載荷時變的影響，并且所設計控制器不具有自適應性，這不利于其在實際工程中的應用。
鑒于此，針對實際工程中雙層隔振系統載荷時變的特性，建立系統的非線性模型，提出一種正交函數近似方法與滑?？刂葡嘟Y合的復合自適應控制策略。運用正交函數近似方法對系統的不確定部分進行在線辨識，自適應滑?？刂瓶刂破髟诰€產生控制力，并與常規PID控制算法進行對比仿真研究，結果表明基于正交函數近似法的自適應滑?？刂撇呗栽陔p層隔振系統主動控制中具有更好的減振效果。
1問題描述
利用柴油機作為初級振源，采用特殊中間質量形式加入作動器，構建雙層隔振系統。圖1為雙層隔振系統結構示意圖。m1（t）為時變的隔振對象—柴油機的質量，m2為中間質量塊的質量，Fg為隔振對象工作時產生的豎直方向振動激擾力，Fk表示控制器產生的主動控制力。整個模型的控制原理是通過位移傳感器測得m2的位移，送入控制器，然后通過控制器控制作動器A使其產生滿足一定條件的主動作動力Fk來抵消m1的振動，從而達到隔振的目的。為使問題簡化，在此僅考慮豎直方向的振動，將雙層隔振系統簡化為一個兩自由度的彈簧阻尼質量系統。
圖1隔振系統模型
Fig.1Model of vibration isolation system
柴油機工作時產生的振動主要是由機座向外傳播，因此，只要根據中間質量的振動信號計算出使其振動趨于零所需要的施加到中間質量上的最優控制力Fk，則向機座傳播的振動就趨于零，從而達到隔振的目的。
選取隔振對象m1（t）與中間塊質量m2坐標分別為x1和x2，對于上層彈簧，采用一個非線性彈簧，其彈簧力位移之間關系為Fk1=k11（x1-x2）+k12×（x1-x2）3。k11與k12分別為彈簧k1的線性與非線性彈性系數，x1-x2為彈簧發生彈性形變的位移。
由牛頓定律可得雙層隔振系統的振動方程：m1（t）1+c1（t）（1-2）+k11（x1-x2）+
k12（x1-x2）3=Fg+Fk-m1（t）g
m22-c1（t）（1-2）+c22-k11（x1-x2）-
k12（x1-x2）3+k2x2=-Fk-m2g（1）式中k2為下層彈簧的彈性系數，c1（t）為時變的上層阻尼器的阻尼系數，c2為下層阻尼器的阻尼系數。
在實際應用中，被隔振對象的質量往往是變化的，所以考慮載荷的時變性更具有工程意義。假設被隔振對象的質量m1（t）有界，且其范圍可以估計。那么，m1（t）可以表示為m1（t）=m1m+Δm1（t），m1m表示m1（t）的名義值，Δm1（t）為m1（t）的不確定部分，假設其有界。定義中間質量塊m2的參考位置為x2r=（-m2-m1m）g/k2（g為重力加速度），是名義載荷m1mg與中間質量塊重力m2g引起的彈簧k2的位移。
定義隔振對象m1（t）的參考位置為x1r=x2r+δ0，δ0<0為靜態時彈簧變形。定義狀態變量1=x1-x1r，2=x2-x2r，則式（1）可變為··1=1m1（t）[-k11（1-2）-k12[（1-2+
δ0）3-δ30]-c1（t）（·1-·2）-
Δm1（t）g+Fg+Fk]
··2=1m2[k11（1-2）+k12[（1-2+δ0）3-
δ30]+c1（t）（·1-·2）-c2·2-k22-Fk]（2）若取狀態變量為x=12〖〗·1·2T，系統輸出y=1，控制輸入u=Fk，則振動方程（2）可寫為：y…=f（x，t）+g（t）u
y=1（3）式中系統參數m1和c1是時變的，f（x，t）與g（t）是未知時變的函數，由式（2）與（3）可得f（x，t）與g（t）的表達式如下：f（x，t）=11（t）[-k11（1-2）-
k12[（1-2+δ0）3-δ30]-
c1（t）（·1-·2）-Δm1（t）g+Fg]+
1m1（t）[-k11（·1-·2）-k12[3（1-2+δ0）2·
（·1-·2）-δ30]-1（t）（·1-·2）-
c1（t）（··1-··2）-Δ1（t）g+g+k]
g（t）=11（t）-[m1（t）+m2]c1（t）m2m1（t）其中，f（x，t）表達式中的··1與··2由式（2）所決定。
由系統方程（3）可以看到，由于系統函數f（x，t）與g（t）是非線性函數，從控制角度看，系統輸出y=1與控制輸入u之間不滿足齊次性與疊加性原理，是典型的嚴格非線性關系。再者，系統的兩個狀態1與2之間不是獨立的，具有強耦合性，所以式（3）所描述的雙層隔振系統是一個非線性、強耦合與多變量系統，常規線性控制器已不能滿足其控制要求，這就要求設計一種魯棒性強，且具有自適應能力的非線性控制器來克服系統函數時變的影響。同時，由于系統（3）中的函數f（x，t）和g（t）是時變未知的，不能直接利用式（3）進行控制器的設計。因此，必須對式（3）所映射的系統輸出y與控制輸入u之間的關系進行辨識。
2正交函數近似方法的隔振系統辨識
要進行控制器的設計，必須對雙層隔振系統模型（3）中的未知函數f（x，t）與g（t）進行在線辨識。下面論述利用正交函數近似法對f（x，t）與g（t）進行在線辨識的方法。
正交實函數集合zi（t），i=1，2，…，n在區間t1，t2內滿足以下條件∫t2t1zi（t）zj（t）dt=0，i=j
≠0，i≠j（4）進一步地，如果此函數集合滿足∫t2t1z2idt=1，則稱其為正則化函數集合。若定義在區間t1，t2內的實函數集合zi（t），i=1，2，…，n滿足下式[16]∫t2t1ω（t）zi（t）zj（t）dt=0，i=j
≠0，i≠j（5）則zi（t），i=1，2，…，n在區間t1，t2內為相對于加權函數ω（t）的正交函數集合。如果ω（t）>0，將正交函數集合的每一項均乘上ω（t），則任何相對于加權函數ω（t）的正交函數集合均可轉換為相對于1的正交函數集合。
任意函數h（t）在區間t1，t2內，可被無限級數的正交函數集合zi（t），i=1，2，…，n展開如下式h（t）=w1z1（t）+w2z2（t）+…+
wnzn（t）+…（6）此級數被稱為廣義Fourier級數，其系數稱為h（t）相對于zi（t），i=1，2，…，n的Fourier系數。將h（t）乘以zn（t）并在區間t1，t2內積分，同時考慮zi（t）的正交性，可得∫t2t1h（t）zn（t）dt=wn∫t2t1z2n（t）dt（7）由上式可得系數wn為wn=∫t2t1h（t）zn（t）dt∫t2t1z2n（t）dt（8）由式（7）和（8）可以證明函數h（t）在區間t1，t2內滿足如下關系[16]limn→∞∫t2t1h（t）-∑ni=1wizi2dt=0（9）由式（6）～（8），函數h（t）可表示為h（t）=∑ni=1wizi（t）+ε（t）（10）式中ε（t）=∑∞i=n+1wizi為近似誤差。式（10）可表示為向量的形式h（t）=WTZ（t）+ε（t）（11）式中W=w1，w2，…，wnT為系數向量。假設選取的項數n足夠多，ε（t）→0，則式（11）可近似表示為h（t）≈WTZ（t）（12）在工程實際中，通常選取Fourier級數作為正交函數，Fourier級數的定義如下：
一個定義在區間[t0，t0+T]內的函數h（t），若滿足Dirichlet條件，則函數h（t）可展開為如下Fourier級數[17]：
h（t）=a0+∑∞n=1[ancos2nπt〖〗T+bnsin2nπtT]（13）
式中a0=1T∫t0+Tt0h（t）dt， an=2T∫t0+Tt0h（t）·cos2nπtTdt，bn=2T∫t0+Tt0h（t）sin2nπtTdt。
其中，a0，an，bn為Fourier系數。
在使用正交函數近似法設計自適應滑模控制器時，將利用式（12）來近似估計雙層隔振系統（3）的不確定項f（x，t）與g（t），其中Z（t）為已知的時變向量，并結合未知常系數向量W來擬合未知函數。其中基底函數向量Z（t）選擇Fourier級數，亦即Z（t）=[1， cosω1t， sinω1t， cosω2t， sinω2t，…，
cosωnf， sinωnft]T（14）式中ωi=2πi/T；i=1，2，…，nf；nf為基底函數向量的個數。
應用正交函數近似法可以將雙層隔振系統（3）中未知的時變函數f（x，t）和g（t）表示成未知常數與已知Fourier級數的組合函數，進一步通過選擇適當的Lyapunov函數，可以推導出未知常數的更新律，就能夠達到運用函數近似法在線辨識的目的。
3自適應滑?？刂坡傻脑O計3.1控制律的設計隔振系統的振動控制的目的是根據質量塊的振動位移，計算出使其振動趨于零所需要的施加到質量塊上的最優控制力Fk，使質量塊的振動趨于零從而達到隔振的目的。
在控制系統中，利用滑?？刂破髟诰€計算控制力Fk。根據第2節中的研究結果，先利用正交函數近似法對雙層隔振結構模型的時變未知函數進行辨識?；诤瘮到品ǖ淖赃m應滑?？刂葡到y結構如圖2所示。該控制系統充分融合了滑?？刂破黥敯粜詮娕c正交函數近似法計算簡單、實時性強的優點，達到對雙層隔振系統實時控制的目的。
圖2函數近似法辨識的自適應滑?？刂葡到y
Fig.2Adaptive sliding mode control system based on function approximation method定義滑動面s=+λ1+λ2y（15）式中λ1>0與λ2>0是設計參數，決定被隔振對象位移量x1在滑動面上的收斂速率。上式對時間t求導得=y···+λ1+λ2（16）將式（3）代入式（16），得=f（x，t）+g（t）u+λ1+λ2=
g（t）[f（x，t）g-1（t）+u+
g-1（t）λ1+g-1（t）λ2]（17）采用指數趨近律=-λ3sgn（s）-λ4s（18）式中λ3>0，λ4>0為設計參數，sgn（s）為符號函數定義如下sgn（s）=-1，s<0
+1，s>0為使控制系統的輸出收斂至滑動面，根據式（17）與式（18），可設計雙層隔振系統的滑?？刂坡扇缦聈=1g^（t）[-f^（x，t）-λ1-λ2-
λ3sgn（s）-λ4s]（19）式中f^（x，t）和g^（t）分別為f（x，t）和g（t）的估計值。
由式（19）可知，當g^（t）接近于零時，控制量u會趨于無窮大，所以g^（t）必須有一個最小值的限制，假設g（t）>g>0，g為g（t）下限值。
令fa=f（x，t）g-1（t），將式（19）代入式（17），得
=g（t）[（fa-f^a）+λ1（g-1-g^-1）+
λ2（g-1-g^-1）-λ3g^-1sgn（s）-λ4g^-1s]（20）
式中g-1=1/g（t），f^a為fa的估計值。上式中函數fa，f^a，g-1及g^-1均假設為有界的未知連續函數且滿足Dirichlet條件，這些函數可應用函數近似法表示如下：fa=WTfaZfa
f^a=TfaZfa
g-1=WTgZg
g^-1=TgZg（21）式中Wfa，W^fa，Wg，W^g∈Rn為時變系數向量，而Zfa，Zg∈Rn是基底Fourier函數向量。因此，式（20）可寫為=g（t）[TfaZfa+λ1TgZg+λ2TgZg-
λ3W^TgZgsgn（s）-λ4W^TgZgs]（22）式中Tfa=WTfa-W^Tfa
Tg=WTg-W^Tg（23）3.2 系統的自適應律設計
為證明雙層隔振控制系統的穩定性及求得W^fa與W^g的更新律，選取如下的Lyapunov函數V（s，fa，g）=12s2+12g（t）（TfaQfafa+
TgQgg）（24）式中Qfa，Qg∈Rn×n為正定矩陣。
假設控制量增益g（t）是一個變化緩慢的函數，即（t）≈0。將式（24）所示的Lyapunov函數對時間t求導，得（s，fa，g）=s+g（t）（TfaQfa·fa+
TgQg·g）（25）因為Wfa及Wg為未知的常系數向量，由式（23）可知·Tfa=-W^·Tfa
·Tg=-W^·Tg（26）將式（22）與（26）代入式（25）可得（s，fa，g）=g（t）[TfaZfa+λ1TgZg+λ2TgZg-λ3W^TgZgsgn（s）-λ4W^TgZgs]s-g（t）（TfaQfaW^·fa+
TgQgW^·g）=g（t）{[TfaZfa+λ1TgZg+λ2TgZg-λ1W^TgZgsgn（s）-λ2W^TgZgs]s-TfaQfaW^·fa-
TgQgW^·g}=g（t）{Tfa（Zfas-QfaW^·fa）+Tg[Zgs（λ1+λ2）-QgW^·g]-W^TgZg（λ3s+λ4s2）}=
g（t）{Tfa（Zfas-QfaW^·fa）+Tg[Zgs（λ1+λ2）-QgW^·g]-（WTg-Tg）Zg（λ3s+λ4s2）}=
g（t）{Tfa（Zfas-QfaW^·fa）+Tg[Zg（λ1s+λ2s+λ3s+λ4s2）-QgW^·g]-WTgZg（λ3s+λ4s2）}（27）根據式（27），可選擇W^fa與W^g的更新律如下：fa= Qf-1aZfas（28）
W^·g=Q-1gZg（λs+λ1|s|+λ2s2），（t）>g>0
Q-1gZg（λ1s+λ2s+λ3|s|+λ4s2，
0>（t）≤g & λ1s+λ2s+
λ3|s|+λ4s2<0
0，0<（t）≤g & λ1s+λ2s+
λ3|s|+λ4s2≥0（29）在式（29）中，W^fa更新律的設計是為了確保g（t）的估計值g^（t）滿足g^（t）>g>0（g為g（t）的下界值）。如果選擇適當的g，可保證式（19）中的控制量u趨于無窮大的情況不會發生。式（21）中各時變系數向量Wfa，W^fa，Wg，W^g可由式（28）與（29）來確定。
綜上所述，所設計自適應滑模控制器工作過程為：
步驟1：由實際檢測到的雙層隔振系統的被隔振對象的振幅y=x1-x1r，根據式（15）計算滑動面函數s；
步驟2：由式（21），（28），29）來計算系統函數的估計值g^（t）和f^（x，t）；
步驟3：由滑?？刂坡桑?6）計算出作用于中間質量上的最優控制力：u=Fk。
3.3控制系統的穩定性分析
定理：雙層隔振系統模型（3）在滑?？刂坡桑?9）及自適應律（28）和（29）的作用下，隔振對象的豎直方向位移y=1收斂到零。
證明：將式（28）和（29）代入式（27）可得（s，fa，g）=-g（t）WTgZg（λ3s+λ4s2）=
-g（t）g-1（t）（λ3s+λ4s2）=
-（λ3s+λ4s2）≤0（30）Lyapunov函數V（s，fa，g）是一個關于時間t的單調非增函數，所以V（s，fa，g）≤V（0）<∞，由式（25）可知s∈L∞，fa∈L∞，g∈L∞。因為
（s，fa，g）=-（λ3s+λ4s2）≤-λ4s2（31）
根據定積分性質，不等式兩邊同時積分，得∫∞0s2dt≤-1λ4∫∞0（s，fa，g）dt=
1λ4（V（0-V（∞））<∞（32）故s∈L2，所以s∈L2∩L∞。再者，由式（22）可知∈L∞，由Barbalat引理[18]，可知當t→∞時，有s→0。由式（15）可知，當t→∞時，有+λ1+λ2y=0（33）此時有y=c1exp（-λ1+λ21-4λ22t）+
c2exp（-λ1-λ21-4λ22t）（34）式中c1與c2是由y的初始值所決定的常數。由上式可知，當設計參數滿足λ21-4λ2>0時，當t→∞時，y→0，即雙層隔振系統的隔振對象的豎直方向位移1→0。
在實際應用中，為削弱抖振，用飽和函數sat（s，δ）代替符號函數sgn（s），飽和函數定義如下sat（s，δ）=-1，s<-δ
sδ，-δ≤s<δ
1，s≥δ（35）式中δ為飽和函數邊界層厚度。雙層隔振系統的滑?？刂坡桑?9）就變為u=1g^（t）[-f^（x，t）-λ1-λ2-
λ3sat（s，δ）-λ4s]（36）4數值仿真
為了驗證所設計的雙層隔振系統主動控制方法的有效性，在相同的條件下對設計的基于函數近似法的自適應滑?？刂疲ˋSMC， Adaptive Sliding Mode Control）算法與常規PID控制算法進行對比仿真。仿真所選取的系統參數如表1所示。經反復試驗，ASMC控制器參數選擇如下：λ1=2.1，λ2=1.0，λ3=λ4=1.2，飽和函數邊界層厚度δ=0.06。反復試驗后選擇一組最佳的PID控制參數：比例系數kp=1.4，積分系數ki=0.2，微分系數kd=0.06。正交函數的基函數項數選取對系統模型中的系統函數f（x，t）與g（t）的辨識精度會產生重要的影響，如果正交函數的基函數的項數選的太少，運算速度快，但辨識精度低；反之，如果項數選的多，辨識精度高，但是運算速度慢，導致控制的實時性降低。
表1系統參數
Tab.1System parameters名稱符號標稱值上層質量塊m1（t）/kg50+9sint上層質量塊不確定部分Δm1（t）/kg10中間質量塊m2/kg105.42上層彈簧線性系數k11/（N·m-1）5.7×106上層彈簧非線性系數k12/（N·m-3）1.6×105下層彈簧系數k2/（N·m-1）1.90×106上層阻尼器系數c1（t）/
（N·s·m-1）0.1+
0.05e-0.1t下層阻尼器系數c2/（N·s·m-1）0.1靜態時彈簧變形δ0/m-0.165為了解決這個矛盾，只有在辨識精度與控制的實時性之間做一個折中，進行反復多次實驗，找到二者之間一個最佳結合點。在仿真中，混合非隨機激勵的情況下，項數n=26，而偽隨機信號激勵的情況下，項數n=32。
4.1混合非隨機激勵的振動控制仿真
在工程實際中，常見的激勵信號有脈沖激勵、階躍激勵、三角波以及簡諧激勵等，為驗證文中提出的方法在各種常規激勵作用下的控制效果，采用一組由方波、三角波和簡諧波組成的混合信號作為系統的激勵信號[1920]Fg（t）=1000，t∈[2，4）
500（8-t），t∈[6，8）
1000sin0.2π（t-10），t∈[10，18）
0，其他隔振系統在混合非隨機激勵作用下的控制效果如圖3所示。
4.2偽隨機信號激勵的振動控制仿真
隨機激勵是振動工程領域常見的激勵方式，在振動控制實驗中能夠充分激勵隔振系統的各種模態。在保持系統物理參數與控制器參數不變的情況下，得到如圖4所示的雙層隔振系統在偽隨機激勵作用下的控制效果。
由圖3（c）～（d）和4（c）～（d）可知，基于正交函數的辨識方法能夠很好地辨識系統時變參數與未知載荷，對未知函數f（x，t）與g（t）具有較強的估計能力。但是，系統對未知函數的估計精度隨著外激勵信號的不同而不同，隨機激勵由于前后時刻之間的信號不相關導致其估計精度比非隨機激勵信號低。
由圖3（e）～（f）和4（e）～（f）可知，傳統PID控制方法對系統的控制效果十分有限，而基于正交函數近似方法的自適應滑?？刂品椒梢允瓜到y控制后的位移由常規PID控制時的80%～85%降低到40%以內。同時，由圖3與4可以看出，系統的控制精度隨著外激勵信號的不同而有所不同，隨機激勵由于前后時刻之間的信號不相關導致其控制精度比非隨機激勵信號要低一些。
圖3與4反映了雙層隔振系統未知載荷估計和控制效果，該系統分別受到規則簡諧信號和隨機輸入信號的激勵作用，采用正交函數近似方法可以很好地估計出系統的不確定部分，辨識精度較高。由于控制系統具有不確定部分在線估計功能，所設計的自適應滑?？刂品椒ǖ目刂菩Ч黠@優于常規PID控制方法。圖3混合非隨機激勵作用下的振動控制結果
Fig.3Vibration control results for mixed and nonstochastic excitation signal
圖4隨機激勵作用下的振動控制結果
Fig.4Vibration control results for the stochastic vibration excitation5雙層隔振系統實驗驗證
雙層隔振主動控制系統的實驗平臺與結構原理框圖如圖5所示。實驗裝置主要有兩部分組成：一個是振源模擬單元，主要模擬振源產生的激振信號，也就是迫使隔振系統振動的外激擾力；另一個是隔振系統的檢測與控制單元，主要是振動信號檢測與控制力產生。由IPC工業控制計算機產生的激振信號經A/D轉換器送入由電磁閥、液壓機與滾轉機組成的激振器，模擬初級振源的振動。在未實施控制前，先由安裝于下層質量的加速度傳感器測量并記錄下層質量的響應，以了解被動隔振的情況。實施主動控制時，由傳感器測得的位移與加速度信號
圖5雙層隔振系統控制模擬實驗平臺
Fig.5Experiment platform of twostage vibration isolating system經過低通濾波及A/D轉換后作為自適應滑?？刂破鞯妮斎?。控制器輸出分別驅動兩個液壓缸作動器對系統進行控制?？刂破饔布晒I控制計算機IPC610H以及研華PCM3718高速智能數據采集卡構成，控制軟件用C++語言編制。
在進行振動控制實驗時，由振源模擬單元產生頻率為5 Hz的單位正弦信號作為初級振源輸入進行主動控制模擬試驗。實驗平臺參數如下：上層質量塊m1=105 kg，上層質量塊不確定部分Δm1=10 kg，中間質量塊m2=55 kg，上層彈簧線性系數k11=5.7×106 N/m，上層彈簧非線性系數k12=1.6×105 N/m3，下層彈簧系數k2=1.90×106 N/m，上下層阻尼器系數c1=c2=170 N·s/m。實驗中，ASMC控制器參數選擇如下：λ1=2.0，λ2=1.0，λ3=λ4=1.5，飽和函數邊界層厚度δ=0.08。PID控制器參數：比例系數kp=2.5，積分系數ki=0.3，微分系數kd=0.08。正交函數的基函數項數n=20。兩種控制方法的實驗對比結果如圖6所示。
圖6振動控制的實驗結果
Fig.6Experimental results of the vibration control
由圖6可知，施加主動控制后，應用自適應滑?？刂品椒軌蚴股舷聦淤|量塊的振動衰減量達75%～80%左右，采用常規PID控制可以使質量塊的振動衰減量達30%～35%左右。由此可見，所設計的自適應滑?？刂撇呗詫﹄p層隔振系統進行控制時具有較強的抑制單頻信號的能力，控制效果明顯優于常規PID控制，適用于工程應用。
6結論
針對雙層隔振系統載荷與參數不確定的特性，提出了將正交函數近似方法與滑模控制相結合應用于雙層隔振系統有源控制的新方法。該方法利用正交函數近似法對系統的不確定部分進行在線估計，通過自適應滑模控制器在線計算控制力。仿真與實驗結果都表明這種自適應滑模有源振動控制策略是行之有效的。另外，系統誤差是評價一個振動控制系統控制效果的重要指標，其分析方法是振動控制評價的重要研究內容，作者正在做振動系統的誤差分析與減振效果評價等方面開展相關研究。
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Adaptive sliding mode control for twostage vibration
isolating system with timevarying loads
CUI Mingyue1，2， LIU Hongzhao1，2， QU Chongnian1，2， SUN Dihua3
（1.School of Mechatrionics Engineering， Nanyang Normal University， Nanyang 473061， China；
2.Oil Equipment and Intelligent Control Engineering Laboratory of Henan Province， Nanyang 473061， China；
3.College of Automation， Chongqing University， Chongqing 400044， China）
Abstract： An adaptive sliding controller is proposed in this paper for controlling a twostage vibration isolating system with timevarying loads. The reference coordinate is placed at the static position under the nominal loading so that the system dynamic equation is derived. Due to spring nonlinearities， the system property becomes asymmetric after coordinate transformation. Besides， in practical cases， system parameters are not easy to be obtained precisely for controller design. Therefore， in this paper， system uncertainties are lumped into two unknown timevarying functions. To estimate the unknown timevarying functions online， the orthogonal function approximation technique is employed to represent the unknown function as a finite combination of basis functions. The Lyapunov's direct method is used to derive adaptive laws for updating coefficients in the approximating series and to prove stability of the closedloop system. The simulation and experiment results demonstrate that the control performance of the present method for structure greatly compensates the effects of timevarying load sand parameter uncertainties and improves control effectiveness， in comparison with the conventional PID approach.Key words： active control； twostage vibration isolation system； orthogonal function approximation method； adaptive sliding mode control作者簡介： 崔明月（1974—），男，博士，講師。電話：（0377）63525159；Email：cuiminyue@sina.com
