機械結合面切向接觸剛度的三維分形理論建模
2018-05-31 12:38:00潘五九李小彭李木巖王雪高建卓聞邦椿
振動工程學報 2017年4期
潘五九 李小彭 李木巖 王雪 高建卓 聞邦椿
摘要： 將微凸體的彈塑性變形區進一步劃分，并考慮三維結合面形貌的WM函數，推導了三維機械結合面切向分形接觸剛度的理論模型。數值模擬了結合面的三維切向接觸剛度隨著分形維數D、分形尺度系數G、材料特征參數間的變化趨勢，以及二維分形和三維分形間的對比分析。仿真結果顯示：機械結合面的三維切向接觸剛度與法向載荷和材料特征參數成單調遞增關系，與分形尺度系數成單調遞減關系；而其與分形維數之間以D=2.5為界，依次成遞增與遞減關系；三維分形下的結合面切向接觸剛度大于二維分形下的結合面切向接觸剛度。切向接觸剛度模型的構建可為后續粗糙表面接觸非線性動力學及整機動力學模型的建立提供基礎。關鍵詞： 結合面； 三維分形； 彈塑性區再劃分； 切向剛度； 分形理論
中圖分類號： TH113.1； TB123文獻標志碼： A文章編號： 10044523（2017）04057710
DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.008
引言
機械結合面大量存在于機械系統中，如高精密機床導軌間的結合面、剎車制動盤間的結合面、精密減速器中齒輪間的結合面、微納器件間的結合面等。對機械結合面研究的核心本質問題，就是對兩個粗糙表面間的相互接觸進行分析計算。經過機械加工的零部件表面看似光滑，實際上從微觀來看表面存在著類似于山峰高低起伏般的粗糙度。當機械進行作業任務，傳遞運動載荷或其受到外部激勵時，結合面間微凸體形貌的變化將影響系統的振動、摩擦、磨耗、潤滑、熱阻、電阻及接觸剛度和接觸阻尼等。而這些表征量又直接影響一個系統的靜、動態特性，進而宏觀表現為影響系統的加工精度，運行精度以及振動噪聲等現象。
因此，有必要基于Hertz理論[1]和分形理論[2]對微凸體接觸進行分析，進而推導出機械結合面的接觸剛度模型，這是研究系統靜、動態特性的核心問題之一，也是學術界和企業界一直研究的熱點。為此很多國內外學者對粗糙結合面接觸特性進行了深入的探討。Bemporad等[3]給出了一種可用于自仿射分形表面法向接觸下的優化算法，該法可有效應用于工程粗糙表面間接觸分析。Pohrt等[4]利用邊界有限元法來分析法向和切向接觸問題。Jourani[5]在進行加載接觸分析時考慮微凸體間相互作用影響，并分析了三維分形維數對接觸面積的影響。溫淑花和張學良等[67]基于MB模型[8]建立了考慮域擴展因子的結合面切向剛度模型，并分析了切向剛度和很多結合面間參數的影響關系；田紅亮等[910]在改進分形理論和嚴格應用Hertz接觸力學基礎上建立切向接觸剛度模型，并進行了法、切向剛度的相關驗證。李小彭等[11]建立了考慮摩擦因素的結合面法向剛度分形模型；Jiang等[12]通過實驗給出了不同加工表面下的剛度值，并將它們與理論值進行對比；You [13]給出了結合面上法向和切向的統計模型。Zhao等[14]建立了結合面上微凸體從彈性到完全塑性變形的微接觸模型。
經過對以上文獻中理論模型分析后發現，以上理論建模均是在二維接觸曲線下，即在分形維數為1 1機械結合面三維分形接觸理論基礎 根據赫茲理論知，兩微凸體相互接觸可等效為一剛性光滑平面和一等效微凸體相接觸。簡化之后的模型如下圖1所示。 圖1光滑剛性平面與等效微凸體接觸 Fig.1Contact between smooth rigid plane and equivalent asperity 圖1中直角三角形obc由勾股定理可得R2=r′2+（R-ω）2（1）式（1）變形可得R=ω2+r′22ω（2）由于變形量ω遠小于R，故假設Rω2，可得近似式為R≈r′22ω（3）第4期潘五九，等： 機械結合面切向接觸剛度的三維分形理論建模振 動 工 程 學 報第30卷圖1中沒有變形的等效微凸體和剛性光滑平面接觸的橫截面積是A=πr′2=π[R2-（R-ω）2]≈2πRω（4）微凸體赫茲接觸時，實際接觸面積的半徑[13]r為：r=3peR4E13（5） E=1-ν21E1+1-ν22E2-1（6）式中E表示等效彈性模量；E1和E2表示兩相互接觸的微凸體的彈性模量；ν1和ν2則表示它們的泊松比。 式（5）中pe為單個微凸體處于彈性變形階段時所承受的法向載荷[15]pe=43ER0.5ω1.5（7）將式（7）代入式（5）可得r=R0.5ω0.5（8）將式（3）代入式（8）可得r=22r′（9）根據式（4）和（9），圖1中等效微凸體和剛性光滑平面實際接觸面積為a=πr2=12πr′2=πRω（10）Yan等[16]改進WM函數，得到了能更加準確模擬三維表面形貌的曲面函數式。修改后的WM函數關系式為 z（x，y）=LGL（D-2）lnγM1/2∑Mm=1∑nmaxn=0γ（D-3）n× cosφm，n-cos2πγn（x2+y2）1/2L× cos（tan-1yx-πmM+φm，n（11） 式中L為表面形貌取樣長度；D為三維表面形貌分形維數（2
由式（13）～（15）能推導出微凸體的臨界彈性變形面積
ac=23D-112-D33kμ〖〗4022-Dπ4-D2-D（lnγ）1D-2G2（16）
由文獻[1718]可知，對于微凸體的彈塑性區仍可再劃分為兩個區域，即彈塑性第一區域和彈塑性第二區域，且給出這兩個分區的各自臨界面積為aep1=11012-Dac（17）
aep2=612-Dac（18）2.2建立微凸體在各變形階段的法向接觸載荷
當單個微凸體受載處于彈性變形階段時，其變形量與受載的關系見式（7）。根據式（7），（13）與（14）可得表示成載荷是接觸面積的函數p5（a）=13EπD-42215-3D2（lnγ）12GD-2a4-D2（19）單個微凸體塑性變形階段法向載荷[11]pp=λσya（20）式中λ=H/σy為定義的系數，H為較軟材料的硬度。
根據文獻[17]，彈塑性接觸第一、二區的法向接觸載荷和表面微凸體變形量之間存在關系有：
當1≤ω/ωc≤6時，法向接觸載荷p與微凸體變形量間關系為ppc=1.03（ω〖〗ωc）1.425（21）當6≤ω/ωc≤110時，法向接觸載荷p與微凸體變形量間關系為ppc=1.40（ωωc）1.263（22）式（21）和（22）中，pc為ω=ωc時的法向接觸載荷，pc=43ER0.5ω1.5c。
聯合式（13）～（15）和式（21）～（22），可推導出微凸體彈塑性第一，第二區域的法向接觸載荷與接觸面積的關系：
當1≤ω/ωc≤6時，有
pep1=1.033E（33kμ40）0.15（lnγ）0.425×
π0.425D-1.726.75-1.275DG0.85D-1.7a1.85-0.425D（23）
當6≤ω/ωc≤110時，有
pep2=1.403E（33kμ40）0.474（lnγ）0.263×
π0.263D-1.05224.893-0.789DG0.526D-1.052a1.526-0.263D（24）
2.3微凸體的切向載荷與切向接觸剛度
據文獻[19]的研究，單個微凸體所承受的切向載荷為Q=8aσy6-3νπ+82ν-1π6-3νp（25）式中σy為材料屈服強度；ν為泊松比。
微凸體在結合面上的面積分布函數[16]n（a）和最大微凸體接觸面積al間的關系為na=D-12aD-12la-D+12，
0 （1）D≠2.5時 Te=∫alac8aσy6-3νπ+82ν-1π6-3νpen（a）da= 8σyD-1π6-3ν3-Da0.5D-0.5l（a1.5-0.5Dl- a1.5-0.5Dc）+2ν-1E3π6-3ν5-2D· π0.5D-2lnγ0.5GD-2×211.5-1.5Da0.5D-0.5l· a2.5-Dl-a2.5-Dc（27） （2）D=2.5時 Te=∫al ac 8aσy6-3νπ+82ν-1π6-3νpe nada= 24σy π6-3νa0.75l（a0.25l-a0.25c）+ 2ν-1Eπ6-3νπ-0.75（lnγ）0.5G0.524.75a0.75llnalac（28） 對于所有處于彈塑性階段的微凸體切向載荷為： 當1≤ω/ωc≤6時，根據式（23），（25）和（26）有 Tep1=∫aep2aep18aσy6-3νπ+82ν-1π6-3νpep1nada= 8σyD-1π6-3ν3-Da0.5D-0.5l（a1.5-0.5Dep2- a1.5-0.5Dep1）+2.06E2ν-136-3ν2.35-0.925D· 33kμ400.15×（lnγ）0.425π0.425D-2.728.75-1.275D· G0.85D-1.7a0.5D-0.5l×（a2.35-0.925Dep2- a2.35-0.925Dep1）（29） 當6≤ω/ωc≤110時，根據式（24） ～（26）有 Tep2=∫acaep28aσy6-3νπ+82ν-1π6-3νpep2nada= 8σyD-1〖〗π6-3ν3-Da0.5D-0.5l（a1.5-0.5Dc- a1.5-0.5Dep2）+1.4E2ν-136-3ν2.026-0.763D· 33kμ400.474×（lnγ）0.263π0.263D-2.05227.893-0.789D· G0.526D-1.052×a0.5D-0.5l（a2.026-0.763Dc- a2.026-0.763Dep2） （30） 單個微凸體的切向接觸剛度kt表示為[6]kt=8a0.52-νπ1-1μTP13（31）式中為結合面材料的等效剪切彈性模量。 3建立機械結合面三維分形下的接觸狀態〖*2〗3.1機械結合面上的法向載荷對面積分布函數在各個變形區間進行連續積分，可計算出整個結合面上的實際接觸面積Ar，它應包含微凸體經歷從彈性變形，彈塑性第一、二區域變形和完全塑性變形各個階段的接觸面積總和。 Ar=∫aep10n（a）ada+∫acaep2n（a）ada+ ∫alacn（a）ada=D-13-Dal（32） （1）D≠2.5時，總法向載荷由式（17） ～（20），（23），（24）和（26）得
P=∫aep10ppn（a）da+∫aep2aep1pep2n（a）da+
∫acaep2pep1n（a）da+∫alacpen（a）da=
D-13-Dλσy1103-D4-2Da0.5D-0.5la1.5-0.5Dc+
1.403E33kμ400.474D-12.026-0.763D·
23.893-0.789Dπ0.263D-1.052（lnγ）0.263·
G0.526D-1.052a0.5D-0.5la2.026-0.763Dc[62.026-0.763D2-D-
1102.026-0.763D2-D]+1.03〖〗3E33kμ400.15·
D-1〖〗2.35-0.925D25.75-1.275Dπ0.425D-1.7·
（lnγ）0.425G0.85D-1.7a0.5D-0.5la2.35-0.925Dc[1-
62.35-0.925D2-D]+（D-1）3（2.5-D）·
（26.5-1.5DEπ0.5D-2lnγ）0.5GD-2a0.5D-0.5l·
（a2.5-Dl-a2.5-Dc）（33）
對式（33）進行無量綱化
P* = λh1 1103-D4-2Da（0.5D-0.5）*l a（1.5-0.5D）*c +
1.403（33kμ 40）0.474h2 23.393-0.289Dπ0.263D-1.052·
（lnγ）0.263G（0.526D-1.052）*×a（0.5D-0.5）*l ·
a（2.026-0.763D）*c [62.026-0.763D2-D-
1102.026-0.763D2-D] +1.033（33kμ 40）0.15h3 ·
25.25-0.775Dπ0.425D-1.7（lnγ）0.425G（0.85D-1.7）*·
a（0.5D-0.5）*l a（2.35-0.925D）*c [1-62.35-0.925D2-D] +
13π0.5D-226.5-1.5Dh4 （lnγ）0.5G（D-2）*·
a（0.5D-0.5）*l [a（2.5-D）*l -a（2.5-D）*c ] （34）
式中P=P/（EAa），al=al/Aa，ac=ac/Aa，G=G/Aa，h1=D-13-D，h2=D-12.026-0.763D，h3=D-1〖〗2.35-0.925D，h4=D-12.5-D。
（2）D=2.5時，總法向載荷由式（17） ～（20），（23），（24）和（26）得
P=∫aep10ppn（a）da+∫aep2aep1pep2n（a）da+
∫acaep2pep1n（a）da+∫alacpen（a）da=
3λσy110-0.5a0.75la0.25c+0.7E33kμ400.474·
21.9205π-0.3945（lnγ）0.263×G0.263a0.75la0.1185c（6-0.237-
110-0.237）+0.515E33kμ400.1522.5625π-0.6375·
（lnγ）0.425G0.425a0.75la0.0375c（1-6-0.075）+0.125E·
π-0.7524.75（lnγ）0.5G0.5a0.75l（lnal-lnac） （35）
對式（35）進行無量綱化
P* = 3λ110-0.5a0.75*l a0.25*c + 0.733kμ 400.474·
21.9205π-0.3945（lnγ）0.263G0.263*a0.75*l a0.1185*c ·
（6-0.237-110-0.237） + 0.51533kμ 400.15·
22.5625π-0.6375（lnγ）0.425G0.425*a0.75*l a0.0375*c ·
（1-6-0.075） + 0.125π-0.7524.75（lnγ）0.5·
G0.5*a0.75*l lna*la*c（36）
3.2結合面的三維分形切向接觸剛度
綜合式（17）～（19），（23），（24）和（26）～（30）可以得到三維分形切向剛度模型
Kt=∫aep2aep1ktep2n（a）da+∫acaep2ktep1n（a）da+
∫alackten（a）da=8G2-νπ1-1〖〗μTep2Pep213·
D-1〖〗2-D（60.5-1100.5）a0.5D-0.5la1-0.5Dc+1-1μ·
Tep1Pep113D-12-D（1-60.5）a0.5D-0.5la1-0.5Dc+1-1μTePe13D-12-Da0.5D-0.5l（a1-0.5Dl-a1-0.5Dc）（37）
對式（37）進行無量綱化
Kt=∫aep2aep1ktep2n（a）da+∫acaep2ktep1n（a）da+
∫alackten（a）da=82-νπ1-1μTep2Pep213·
D-12-D（60.5-1100.5）a（0.5D-0.5）*la（1-0.5D）*c+
1-1μTep1Pep113D-12-D（1-60.5）·
a（0.5D-0.5）*la（1-0.5D）*c+1-1μTePe13·
D-12-Da（0.5D-0.5）*l（a（1-0.5D）*l-a（1-0.5D）*c）（38）
式中Kt=Kt/Aa，al=al/Aa，ac=ac/Aa。
4數值仿真4.1切向剛度和分形維數D之間的關系根據文中式（32），（34），（36）和（38），給定無量綱參數G=10-10 ，=2.5 ，ν=0.3，μ=0.19。研究結合面切向接觸剛度在不同的D下的變化關系，如圖2所示。當2.1≤D≤2.5時，結合面切向剛度隨分形維數D成遞增關系；當2.5≤D≤2.9時，結合面切向剛度隨分形維數D成遞減關系。這是因為當D大于等于2.5時，結合面上微凸體變小，且單一微凸體的完全塑性變形比例提高，導致單一微凸體剛度減小，宏觀表現為三維結合面形貌的切向接觸剛度減小。且知，D對切向剛度的影響很大，表現為圖2 （a），（b）和（c）的縱坐標數值出現數量級上的差異。
4.2切向剛度與分形尺度系數G間的關系
根據文中式（32），（34），（36）和（38），分別給定無量綱參數G=10-9，10-10，10-11在D為2.2，2.5和2.8時的變化關系，如圖3所示。易見，結合面切向剛度隨無量綱分形尺度系數G增大而相應的減小。原因為G越大，結合面的宏觀表面形貌越不光滑，整個表面上的微凸體的彈性變形能下降，宏觀表現為結合面的切向接觸剛度減小。
圖2無量綱切向剛度在不同分形維數下的變化關系
Fig.2The change relation of dimensionless tangential stiffness under different fractal dimension4.3切向剛度和材料特性參數間的關系
根據式（32），（34），（36）和（38），參數選取同4.1節，來研究結合面切向接觸剛度與材料特性參數=σy/E間的變化關系，如圖4所示。隨材料特性參數增大，結合面的切向剛度相應增大。且在確定的下，隨著分形維數的增大曲線由非線性逐漸趨于線性化。
圖3無量綱切向剛度在不同分形尺度系數下的變化關系
Fig.3The change relation of dimensionless tangential stiffness under different topothesy圖4無量綱切向剛度在不同材料特性參數下的變化關系
Fig.4The change relation of dimensionless tangential stiffness under different material parameters
圖5二維分形與三維分形切向剛度的關系
Fig.5The relationship between two dimensional fractal and three dimensional fractal tangential stiffness4.4對比結合面二維分形切向剛度和三維分形切向剛度三維形貌分形與二維曲線分形間的關系為D=Ds+1[18]，其中Ds表示二維分形維數。如圖5所示。由三維分形模型計算得出的切向剛度要比二維分形模型[9]計算得出的切向剛度要大，兩者間的差值隨結合面上法向載荷的增大而增大；隨著分形維數的增大，兩種模型計算得出的切向剛度差值在縮小。因此，在這兩種不同模型計算下的結合面切向剛度是有所差異的。
5試驗驗證
本節將對兩塊由16個M6螺栓連接而成的45號鋼板進行試驗模態分析，并將其結果與有限元結果進行對比，來驗證文中推導的結合面間切向剛度模型的合理性。兩塊鋼板尺寸均為400 mm×50 mm×6 mm。據文獻[20]，可對機械結合面進行“固隙固”等效層處理。如圖6（b）所示。圖中h為等效層厚度，此處取1 mm[21]。由下式[22]，可分別求得等效層的彈性模量E，剪切模量G和泊松比ν。E=Knh/（Aa）（39）
G=Kth/（Aa）（40）
ν=E/2G-1 （41）圖6試驗用鋼板及等效處理示意圖
Fig.6Steel plate for test and schematic diagram of equivalent treatment
結合面中兩個重要分形參數D和G的獲取是通過T1000型輪廓儀，通過測算分析得到。經計算得D=2.427，G=1.342×10-5 m。假定每個螺栓的擰緊力矩是3 N·m，則每個的預緊力是2500 N，結合面上總法向載荷是40009 N。根據表1中鋼板材料常數，再通過文中式（37）求得切向剛度Kt=5.5002×1010 N/m，由文獻[23]求得法向剛度Kn=1.328×1011 N/m。Aa為名義接觸面積，等于2×10-2 m2。將這些數值代入公式（39），（40）和（41），可求得等效層的E=6.64×109 Pa， ν=0.2072。等效層的參數將用于有限元模態分析。為了驗證有限元模態分析的結果，下面進行模態試驗分析。試驗設備及過程分別如表2和圖7所示。
實際測得的幅頻圖和兩種方法下得到的結果對比分別如圖8和表3所示。可知，將結合面作等效處理得到的結果和試驗結果較為接近，誤差均在20%以內。誤差原因主要為利用等效層法做有限元模態分析時，所建的物理模型是對實際的螺栓連接試驗鋼板做了簡化處理的，且不考慮其轉動慣量和剪切變形的影響。進行試驗自由模態分析時，圖7中用懸索懸掛也是自由狀態的一種近似。 因此， 上
表1鋼板材料常數和表面分形參數
Tab.1Material constants and fractal parameters of steel plate
E/Paνρ/（kg·m-3）σy/PaDG/m2.1×10110.378503.55×1082.4271.342×10-5
表2試驗設備
Tab.2The experiment instrument
序號設備名稱1 DH5956數據采集分析系統24508B加速度傳感器3DHL050型脈沖響應力錘
圖7現場測試圖
Fig.7Experiment process圖8幅頻曲線
Fig.8Curves of amplitude frequency
表3有限元結果與試驗結果對比
Tab.3Comparison of finite element results and test results
模態
階數模態試驗
結果/Hz三維分形
有限元
結果/Hz二維分形
有限元
結果/Hz三維分形
誤差二維分形
誤差1365395.5412.6+8.36%+13.04%28971070.71071.6+19.36%+19.46%31690.61513.91872.8-10.45%+10.78%424302045.62891.0-15.82%+18.97%530303090.63910.1+2.00%+29.05%
述誤差在可接受范圍之內，同時可驗證文中所建切向剛度模型的合理性。為了進一步分析基于二維分形曲線得到的二維切向接觸剛度[24]相較于基于三維分形形貌得到的三維切向接觸剛度，與模態試驗結果的差值大小，仍然可以將二維的切向接觸剛度按照本節的方法進行計算。從表3中，可看出二維分形下的相對誤差要更大些。
6結論
（1）三維分形模型下的結合面切向接觸剛度與法向載荷成單調遞增關系。分形維數D對三維結合面切向接觸剛度的影響較復雜，當2.1≤D≤2.5時，結合面切向剛度隨D成遞增關系；當2.5≤D≤2.9時，結合面切向剛度隨D成遞減關系。
（2）三維結合面切向接觸剛度與分形尺度系數G成單調遞減關系；與材料特性參數成單調遞增關系。
（3）研究對比了三維分形和二維分形下的切向接觸剛度；對比發現三維分形下的結合面切向接觸剛度大于二維分形下的結合面切向接觸剛度。
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Threedimensional fractal theory modeling of tangential contact
stiffness of mechanized joint surfaces
PAN Wujiu， LI Xiaopeng， LI Muyan， WANG Xue， GAO Jianzhuo， WEN Bangchun
（School of Mechanical Engineering & Automation， Northeastern University， Shenyang 110819， China）
Abstract： Establishing the stiffness model of joint surfaces is one of the key problems to study the static and the dynamic characteristics of the mechanical systems. The elasticplastic deformation zone of asperity is further divided and the modified WM function of threedimensional surface topography is considered， then the threedimensional fractal tangential contact stiffness model of mechanical joint surfaces is established. Through numerical simulation the relationship between the tangential contact stiffness and the fractal dimension， the topothesy and the material characteristic parameters are studied. Comparative analysis between two dimensional fractal and three dimensional fractal is carried out. Results show： the tangential contact stiffness increases with the normal load and the characteristic parameters of material increase， and decreases with the topothesy increases； the relationship between fractal dimension and tangential contact stiffness is more complicated； the threedimensional fractal tangential stiffness is greater than the twodimensional case. The construction of the tangential contact stiffness model can provide the foundation for the establishment of the nonlinear dynamics of rough contact surface and the dynamic model of whole machine in future.Key words： joint surfaces； threedimensional fractal； elasticplastic zone subdivide； tangential contact stiffness； fractal theory作者簡介： 潘五九（1986—），男，博士研究生。電話： 15940263160； Email： panspace@sina.cn
通訊作者： 李小彭（1976—），男，教授，博士研究生導師。電話： 13940029225； Email： xpli@me.neu.edu.cn
聞邦椿（1930—），男，中國科學院院士，教授，博士研究生導師。 Email： bcwen1930@vip.sina.com
