間距比對雙振子局域共振軸縱振帶隙的影響

趙帥 陳前 姚冰

摘要： 對雙振子局域共振軸縱向振動的帶隙行為進行了研究，采用傳遞矩陣法推導得到了雙振子局域共振軸縱振能帶結構關系的解析表達式，對雙振子局域共振軸的帶隙進行了計算。結果表明在振子總質量相同的情形下，雙振子局域共振軸相比于單振子而言能夠拓寬帶隙寬度。此外，針對振子間距比對雙振子局域共振帶隙特性的影響進行了分析。研究發現：盡管原胞的晶格常數保持不變，然而振子間距比會對各帶隙的寬度產生影響，帶隙極大寬度發生條件為振子間距比θ=0.5或θ=1（θ=0）時；在一些情形下，適當的間距比可以使得局域共振帶隙之間產生帶隙融合現象，進而形成一個超寬帶隙；對于雙振子局域共振軸，布拉格帶隙邊界頻率不完全取決于晶格常數，而且還同振子間距比相關。關鍵詞： 減振； 聲子晶體； 局域共振； 雙振子； 帶隙

中圖分類號： TB532文獻標志碼： A文章編號： 10044523（2017）04057007

DOI：10.16385/j.cnki.issn.10044523.2017.04.007

引言

聲子晶體作為一種人工合成的周期性復合材料，這一概念自提出以來就成為眾多研究者的關注對象[13]。聲子晶體中最引人注目的為其帶隙特性，即彈性波在一定頻段范圍內不能傳播，該頻率范圍內的頻段也稱為禁帶。這一特性的存在也使得聲子晶體在減振降噪領域受到極大關注。

長期以來，聲子晶體的研究都基于布拉格散射機理進行的，由于其帶隙頻率主要同晶格常數以及基體的波數有關，若要獲得低頻帶隙，則需要聲子晶體的結構尺寸龐大，這就使得聲子晶體在低頻范圍內的減振降噪受到一定限制。劉正猷等于2000年提出的局域共振帶隙機理[3]，則為聲子晶體在低頻的應用打開新的方向。他們構造了三維聲子晶體，其原胞是由包裹著鉛的橡膠球放入環氧樹脂基體中組成的，進而形成了局域共振帶隙。通過試驗表明該局域共振帶隙頻率能夠低于同樣尺寸下布拉格散射帶隙頻率兩個數量級，進而打破了布拉格散射的限制。

對于局域共振聲子晶體的構造一般是通過在基體材料上布置一系列周期振子的方式，這一方法也已拓展到的工程結構振動控制領域，例如桿、梁、板等工程結構[412]。通過在這樣結構上安置一系列局域振子能夠使得結構獲得低頻局域共振帶隙。然而，一直以來，對于局域共振型聲子晶體研究基本上都是針對原胞中僅含單個振子的情形進行的，而對于晶格中存在雙振子的局域共振聲子晶體的帶隙現象則受到較少關注。軸類結構作為工程中常用的功率傳動構件，廣泛應用于船舶、車輛、航空等領域，所以對于軸類構件的減振降噪也成為眾多研究者的關注目標之一。其中軸系的縱向振動作為動力工程中常見現象廣泛地存在于旋轉軸系中，并對軸的壽命、穩定性以及機器運轉的可靠性等產生不良的影響，因此軸系的縱向振動控制問題得到廣泛的重視，故雙振子局域共振聲子晶體在軸系縱振控制方面的應用研究具有較大的工程價值和一定的理論意義。

本文結合傳遞矩陣法和Bloch定理推導了無限周期結構下雙振子局域共振軸縱向振動能帶結構的解析表達式，分析了雙振子局域共振軸的帶隙特性，并將其同單振子局域共振軸進行了比較。最后，針對振子間距比對雙振子局域共振軸的帶隙特性的影響進行了分析。

1雙振子局域共振軸建模方法〖2〗1.1無限周期結構雙振子局域共振軸圖1（a）為具有無限周期結構的雙振子局域共振軸，圖1（b）所示為雙振子局域共振軸的周期單元，稱作原胞。雙振子局域共振軸由無限長度的均勻質量的等截面軸和并聯在上面的振子單元組成，其中軸的截面積為A，單個周期長度（晶格常數）為L。振子1位于原胞的最左端，其由質量單元m1和剛度單元k1組成，振子2與振子1的間距為L1，其由質量單元m2和剛度單元k2組成。對于一維雙振子局域共振型聲子晶體能帶結構的推導，可以先將包含雙振子的原胞結構分離為2個單振子原胞結構單獨考慮，再結合接觸界面的連續條件得到整個原胞的狀態矢量關系，并引入周期邊界條件，進而獲得雙振子的局域共振帶隙的能帶結構關系。

圖1雙振子局域共振軸示意圖

Fig.1Schematic representation of a LR shaft with double arrays of resonators

第4期趙帥，等： 間距比對雙振子局域共振軸縱振帶隙的影響振 動 工 程 學 報第30卷先考慮附加單個振子的軸單元，如圖2所示。軸的截面積為A，長度為L。振子由質量單元m和剛度單元k組成。對于不含有振子的軸單元，一般可通過求解單元兩端狀態向量的關系得到軸單元的傳遞矩陣。而對于一端含有單個振子的軸單元，可以通過將振子對軸的影響效果等效為作用在軸上的外力，進而可以推導出并聯單振子軸單元的等效傳遞矩陣關系，從而可以簡化后續的局域共振軸能帶結構關系的計算。

圖2附加單振子軸單元的狀態矢量

Fig.2State vectors of a LR shaft with single array of resonators

對于不含有局域振子的軸的縱向自由振動，設ux（x）為x處的縱向位移，其振動微分方程為E2ux（x，t）x2=ρ2ux（x，t）t2（1）式中ρ，E分別為軸的密度和楊氏模量。軸的縱向質點振動位移可以表示為ux（x，t）=Ux（x）·e-iωt，其中ω為角頻率，Ux（x）為軸的縱波質點縱向振動位移幅值。Ux（x）可以表示為Ux（x）=Psin（βx）+Qcos（βx）（2）式中β為軸的縱波波數，β=ω/c，c=E/ρ。

當軸單元中附加振子后，軸產生縱向振動時，振子質量產生的慣性力會傳遞給軸，該作用反力可以表示成f=DXA（3）式中D=-mω2kk-mω2為振子的動剛度，反映了單位基礎簡諧位移引起的對接力。m和k分別為振子的質量和剛度；XA為對接點的縱向位移。

對于圖2所示的軸單元，定義[X，N]T為軸的狀態矢量，式中X，N分別為位移和力。則軸單元最右端（即x=L處）的狀態矢量可表示為

Xi，i+1=[Psin（βL）+Qcos（βL）]e-iωt（4a）

Ni，i+1=EAβ[Pcos（βL）-Qsin（βL）]e-iωt（4b）

同理，考慮到振子在對接點處的作用反力，軸單元最左端（即x=0處）的狀態矢量表達式可寫為Xi-1，i=Qe-iωt（5a）

Ni-1，i=EAβ·Pe-iωt-D·Xi-1，i（5b）經過推導變換可以得到P=（Ni-1，i+D·Qe-iωt）/（EAβ·e-iωt）（6a）

Q=Xi-1，i/e-iωt（6b）將式（6）代入式（4）得到軸兩端的狀態向量的關系式

Xi，i+1=Ni-1，i+D·Xi-1，iEAβsin（βL）+

Xi-1，icos（βL）（7a）

Ni，i+1=Ni-1，icos（βL）+D·Xi-1，icos（βL）-

EAβXi-1，isin（βL）（7b）

將式（7）寫成矩陣形式，可得到

X

Ni，i+1=cosβL+DsinβLEAβsinβLEAβ

-EAβsinβL+DcosβLcosβLX

Ni-1，i=

HX

Ni-1，i（8）

式中H即為含有單振子軸單元的等效傳遞矩陣，表示為

H=cosβL+DsinβLEAβsinβLEAβ

-EAβsinβL+DcosβLcosβL（9）

至此，得到了單振子軸單元兩端的狀態矢量關系，所以對于雙振子局域共振軸的原胞而言，通過將周期單元分解成2個單振子軸單元，并根據接合面的連續關系，可得雙振子原胞單元的傳遞矩陣可以為

T=H2H1=cosβL2+D2sinβL2EAβsinβL2EAβ

-EAβsinβL2+D2cosβL2cosβL2·

cosβL1+D1sinβL1EAβsinβL1EAβ

-EAβsinβL1+D1cosβL1cosβL1=t11t12

t21t22（10）

式中D1=-m1ω2k1k1-m1ω2和D2=-m2ω2k2k2-m2ω2為振子1和振子2的動剛度。

t11=cos（β（L1+L2））+D1sin（β（L1+L2））EAβ+

D2cos（βL1）sin（βL2）EAβ+D1D2sin（βL1）sin（βL2）（EAβ）2；

t12=sin（β（L1+L2））EAβ+D2sin（βL1）sin（βL2）（EAβ）2；

t21=-EAβsin（β（L1+L2））+D1cos（β（L1+L2））+D2cos（βL1）cos（βL2）+D1D2EAβsin（βL1）cos（βL2）；

t22=cos（β（L1+L2））+D2sin（βL2）cos（βL2）EAβ；

t11·t22-t12·t21=1。

對于雙振子局域共振軸而言，其相鄰原胞的狀態矢量關系可以表示為X

Ni，i+1=TX

Ni-1，i（11）由于軸在x方向為無限周期結構，根據Bloch定理，可以得到X

Ni，i+1=eμX

Ni-1，i（12）式中μ稱為波的傳播系數，μ的實部定義為衰減系數，衰減系數表征波的幅值衰減程度；μ的虛部定義為相位系數，相位系數表征波在相鄰周期單元運動的相位差。

結合式（11）和（12），得到（T-eμ·I）X

Ni-1，i=0（13）根據上式可知，eμ為矩陣T的特征值。故將矩陣T中的向量代入式（13）得到cosh（μ）=t11+t222（14）進而得到局域共振軸的能帶關系為

cosh（μ）=cosβL+D12·sinβLEAβ+D22·sinβLEAβ+

D1D22·sinβL1sinβL2〖〗（EAβ）2（15）

1.2有限周期結構雙振子局域共振軸

由于具有無限周期的局域共振軸是一種理想模型，所以有必要研究在工程中可實際存在的有限周期結構局域共振軸的振動特性。對于有限個周期的局域共振型軸，可以采用振動傳輸特性來分析軸的彈性波的傳播特性。

對于N個周期的雙振子局域共振軸而言，軸左右兩端的狀態矢量有如下關系XR

NR=TNXL

NL=T11T12

T21T22XL

NL（16）假定僅軸的左端受到一簡諧力作用，根據傳遞矩陣可以計算得到軸兩端的位移傳遞率為T=XR/XL=T11-T12T21/T22（17）2帶隙計算

采用上節理論方法對雙振子局域共振軸的帶隙進行計算，其中原胞晶格常數為L=0.2 m，雙振子間距L1=0.1 m。軸的截面積為A=5×10-5 m2，其彈性模量和密度分別為E=1.5×1010 Pa和ρ=1200 kg·m-3。振子1和振子2的質量和剛度參數分別選取為：m1=0.047915 kg，k1=1×107 N/m，m2=0.0112765 kg，k2=1×107 N/m。根據式（15）可以計算得到雙振子局域共振軸的能帶結構關系。

圖3表示雙振子局域共振軸的能帶結構曲線圖，圖中呈現了衰減系數和相位系數，從圖中可以看到雙振子局域共振軸在1768～3025 Hz和3559～7176 Hz頻段范圍里存在2個帶隙，各帶隙的衰減系數最大值頻率對應著振子1和振子2的固有頻率。同時，對于不同周期個數下有限長度的雙振子局域共振軸的振動傳輸特性也進行了計算，結果如圖4所示，可以發現，盡管周期數不相同，但衰減的頻段范圍均是一致的，而且與無限周期計算的帶隙范圍吻合較好。同時可以觀察到，隨著周期數的增加，帶隙頻率范圍內的衰減程度也會增加。

圖3無限周期局域共振軸能帶結構圖

Fig.3Band structure of a LR shaft with double arrays of resonatorst

圖4不同周期個數下雙振子局域共振軸振動傳輸特性

Fig.4Vibration transmittances of finite LR shaft with different periods

對于實際工程中的雙振子局域共振型軸，可以結合前述的雙振子力學模型對局域共振軸的原胞結構進行一定的簡化，進而可以根據理論計算得到局域共振型的傳輸特性。

為了驗證本文局域共振軸能帶結構的理論計算結果，本文設計了一種雙振子局域共振型軸，并且采用了有限元軟件對具有8個周期單元的雙振子局域共振軸進行仿真建模。其中振子由圓柱形金屬塊和柔軟的橡膠材料組成，如圖5所示，金屬塊提供振子所需的質量，橡膠材料則提供剛度。振子1和振子2的徑向尺寸相同，即彈性層的內外半徑分別為R1和R2，金屬層的外半徑則為R3，而寬度分別為h1和h2。振子1和振子2的最外層金屬材料分別為鉛和鋁，振子材料的具體參數如表1所示，其中ρ，E和G分別表示密度、彈性模量和剪切模量。

當縱向波在軸內傳播時，金屬塊會產生軸向位移，圓柱形橡膠層將產生剪切變形，此時振子可以簡化為一質量彈簧系統，橡膠層的縱向剛度可以近似表示為[13]k=2πGh/（lnR2-lnR1）（18）結合式（18）和本節理論計算采用的振子參數，可以設計得到振子的結構參數，如表2所示。采用上述結構參數進行有限元建模，仿真結果如圖6所示，圖中可以發現理論計算結果同軟件有限元仿真結果吻合良好，從而驗證了上述理論方法的正確性。圖6中還對雙振子局域共振軸和單振子局域共振軸的傳輸特性進行了比較，其中雙振子的總質量和單振子的質量保持相同，從圖中可以看到雙振子局域共振軸相比單振子局域共振軸而言，擁有更寬的帶隙。

圖5雙振子局域共振軸結構示意圖

Fig.5Schematic representation of a LR shaft with double arrays of resonators表1材料參數

Tab.1Parameters of materials

材料ρ/（kg·m-3）E/PaG/Pa有機玻璃12001.5×10105.68×109鉛116004.08×10101.49×1010鋁27307.76×10102.87×1010橡膠13006.0×1072.0×107

表2振子結構參數

Tab.2Structures parameters of resonators

R1/mR2/mR3/mh1/mh2/m0.0040.005140.00960.020.02

圖6不同振子個數下局域共振軸的振動傳輸特性

Fig.6Vibration transmittances of finite LR shaft with different arrays3帶隙特性研究

對于單振子局域共振型聲子晶體而言，當晶格常數固定時，振子在原胞中的位置對局域共振帶隙不會產生影響。而對于雙振子局域共振軸而言，通過式（15）可知，盡管晶格常數保持不變，然而其能帶結構關系函數變量中含有振子1和振子2的間距，所以有必要研究振子間的距離對帶隙特性的影響。研究時，可將式（15）變換為

cosh（μ）=cosβL+D12EAβsinβL+D22EAβsinβL+

D1D22（EAβ）2sinθβLsin（（1-θ）βL）（19）

式中θ=L1/L為振子間距比，0≤θ≤1。

圖7雙振子局域共振軸帶隙三維曲面圖（k1=2×107 N/m）

Fig.73D surface view of the bandgap behavior of a LR shaft （k1=2×107 N/m）

在研究振子間距比這一無量綱參數對帶隙特性的影響時，軸的幾何參數和材料參數同前述理論計算保持一致。圖7所示為根據式（19）所繪制的雙振子局域共振軸帶隙衰減系數的三維曲面圖，其中振子1的質量和剛度參數分別為m1=0.096 kg，k1=2×107 N/m，而振子2的質量和剛度參數為m2=0.024 kg，k2=2×107 N/m。為了更好地觀察帶隙特性，可以將三維曲面圖在fθ平面（0≤f≤20000 Hz，0≤θ≤1）進行投影，進而得到了二維平面投影圖，其中圖中的顏色區域是由該衰減的衰減系數所確定的。該二維圖中可以清楚地呈現振子間距比對帶隙特性行為的影響，包括帶隙位置、帶隙寬度以及衰減程度等。圖8表示的為不同的振子1剛度參數下振子位置對帶隙特性的影響，其中振子1和振子2的其他參數同圖7所用一致。

圖8振子間距比對局域共振軸帶隙特性的影響

Fig.8Effects of the spacing ration on the bandgap behavior of a LR shaft

從圖8（a），（b）中可以觀察到在所示的頻率區域內存在兩種類型的帶隙，即局域共振型帶隙和布拉格散射型帶隙。可以看到各帶隙的寬度均會隨著振子間距的變化而改變，并且注意到：對于第一個帶隙而言，帶隙寬度隨著振子間距比的增加逐漸減小；而對于第二帶隙而言，帶隙寬度會隨著振子間距比增加逐漸變大；當振子的間距比為θ=0.5，即振子2位于原胞的中間位置時，此第一帶隙的寬度最小，而第二帶隙的寬度最大；對于第三帶隙，其現象與第一帶隙類似。上述現象表明，對于雙振子局域共振軸而言，盡管原胞晶格常數固定不變，但原胞中振子的分布會對帶隙的寬度產生影響，通過選擇適當的間距比可以獲得更寬的帶隙。

通過圖8（a），（b）還可以看到，第一帶隙和第二帶隙之間存在著一個通帶，通帶的寬度也會隨著振子間距比的變化產生變化。值得關注的是，在圖8（b）中，如果振子間距比選擇適當，帶隙中會出現一個有趣現象。對于圖8（b），其振子1的剛度為k1=3.24×107 N/m，可以發現當振子間距比θ=0.5時，此時第一帶隙和第二帶隙之間的通帶寬度變為零，進而第一和第二帶隙融合在一起，形成了一個更寬的帶隙。通過進一步觀察還可以發現，在新形成的融合帶隙中，原本由振子1存在所形成的尖銳衰減峰消失，使得在新的帶隙范圍內僅出現振子2的衰減峰值。為了更清晰地觀察該現象，對具有8個周期單元的有限局域共振軸的傳輸特性進行了計算，結果如圖9所示，其同無限周期結構的帶隙計算結果保持一致。值得指出的是，此處觀察到帶隙融合現象不同于局域共振帶隙和布拉格散射帶隙之間的帶隙耦合現象，因為局域共振帶隙和布拉格帶隙之間的耦合現象是在振子固有頻率同布拉格散射帶隙邊界頻率相同的條件下產生的，而注意到該局域共振軸的布拉格散射帶隙的最低頻率帶隙邊界f=（1/2）·（c/L）=8838.8 Hz，高于振子1和振子2的固有頻率。

同時，值得關注的另一個特征為：對于圖8中的布拉格散射型帶隙而言，并沒有出現一條由布拉格邊界所確定的垂直邊界。換句話說，布拉格帶隙邊界不僅取決于晶格常數，而且同振子間距比有關。從圖中可以觀察到，僅在間距比為某些特殊值的情形下，帶隙中才出現布拉格帶隙邊界。如圖8中虛線箭頭所標示的，布拉格帶隙最低頻率的邊界fB1=（1/2）·（c/L）=8838.8 Hz僅存在于間距比為θ=0和θ=1的情形下，而另一布拉格帶隙邊界頻率fB2=c/L=17678 Hz則僅存在于θ=0，θ=0.5以及θ=1的情形下。

圖9有限周期局域共振軸的振動傳輸特性 （k1=

3.24×107 N/m）

Fig.9Vibration transmittances of finite LR shaft （k1=3.24×107 N/m）4結論

本文針對雙振子局域共振軸的縱向振動帶隙特性進行了研究，采用了傳遞矩陣法得到該聲子晶體能帶結構關系的解析式，對振子間距比對帶隙特性的影響進行了研究，主要結論歸納如下：

（1）對于附加多個振子的局域共振型聲子晶體，可以將原胞結構進行分解，通過獲得包含單個振子單元的等效傳遞矩陣，進而再根據接合面的連續關系獲得周期單元的整體傳遞矩陣，從而可以簡化能帶結構關系的推導。

（2）理論計算結果表明雙振子局域共振軸能夠獲得良好的帶隙特性，而且相比較于單振子而言，在振子總質量相同的前提下能夠拓寬帶隙的寬度，可應用于軸系寬頻減振中。

（3）在晶格常數固定的情況下，振子間距會對雙振子局域共振軸的各個帶隙的寬度產生影響，通過合理設計振子間距能夠獲得更寬的帶隙寬度。而且，在一些條件下，局域共振軸能帶結構中存在帶隙融合現象，進而可形成一個寬頻帶的整體帶隙。此外，對于雙振子局域共振軸，盡管晶格常數保持不變，其布拉格帶隙邊界頻率會隨著振子間距比的改變而變化。這些特點同常見的單振子局域共振聲子晶體有很大的不同，可為聲子晶體的減振應用提供更寬廣的空間。

參考文獻：

[1]Sigalas M M， Economou E N. Elastic and acoustic wave band structure[J]. Journal of Sound and Vibration， 1992，158：377—382.

[2]Kushwaha M S， Halevi P， Dobrzynski L， et al. Acoustic band structure of periodic elastic composites[J]. Physical Review Letters， 1993，71：2022—2025.

[3]LIU Z， ZHANG X， MAO Y， et al. Locally resonant sonic materials[J]. Science， 2000，289：1734—1736.

[4]WANG G， WEN X， WEN J， et al. Quasionedimensional periodic structure with locally resonant band gap[J]. Journal of Applied Mechanics， 2006，73：167—170.

[5]XIAO Y， WEN J， WEN X. Longitudinal wave band gaps in metamaterialbased elastic rods containing multidegreeoffreedom resonators[J]. New Journal of Physics， 2012，14：33—42.

[6]YU D， LIU Y， WANG G， et al. Flexural vibration band gaps in Timoshenko beams with locally resonant structures[J]. Journal of Applied Physics， 2006，100：124901.

[7]LIU Y， YU D， LI L， et al. Design guidelines for flexural wave attenuation of slender beams with local resonators[J]. Physics Letters A， 2007，362：344—347.

[8]XIAO Y， WEN J， WEN X. Broadband locally resonant beams containing multiple periodic arrays of attached resonators[J]. Physics Letters A， 2012，376：1384—1390.

[9]YU D， WEN J， ZHAO H， et al. Vibration reduction by using the idea of phononic crystals in a pipeconveying fluid[J]. Journal of Sound and Vibration， 2008，318：193—205.

[10]OUDICH M， LI Y， ASSOUAR B M， et al. A sonic band gap based on the locally resonant phononic plates with stubs[J]. New Journal of Physics， 2010，12 ：083049.

[11]鄭玲，李以農，Baz A.一維聲子晶體的振動特性與實驗研究[J].振動工程學報，2007，20（4）：417—421.

ZHENG Ling， LI Yinong， A Baz. Theoretical and experimental study on the characteristics ofwave propagation for one dimensional phononic crystal[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2007，20（4）：417—421.

[12]吳九匯，張思文， 沈禮.螺旋局域共振單元聲子晶體板結構的低頻振動帶隙特性研究[J].機械工程學報，2013，39（2）：1—9.

WU Jiuhui， ZHANG Siwen， SHEN Li. Lowfrequency vibration characteristics of periodic spiral resonators in phononic crystal plates[J]. Journal of Mechanical Engineering， 2013，39（2）：1—9.

[13]Ernst F G. Rubber Springs Design[M]. London： NewnesButterworths， Wiley， 1974.

Effects of spacing ratio on the elastic wave band gaps in longitudinal

vibration of locally resonant shaft with double resonators

ZHAO Shuai， CHEN Qian， YAO Bing

（State Key Laboratory of Mechanics and Control of Mechanical Structures， Nanjing University of Aeronautics

and Astronautics， Nanjing 210016， China）

Abstract： The longitudinal vibration band gap property of locally resonant （LR） shaft with double resonators is studied using the transfer matrix method. The band structure of the LR shaft is calculated. It is found that a LR shaft with double resonators can have a broader band gaps than that with single resonator. Furthermore， the effect of the spacing ration on the band gaps is studied. It is shown that the spacing ratio can have an influence on the width of band gap and the width of band gap turns to the maximum only as or θ=0.5 or θ=1（θ=0）. Furthermore， for some LR shafts， a phenomenon of band gap mergence can be observed as the spacing ratio is properly set， giving rise to a superwide gap. In addition， it is found that Bragg scattering gap edge frequencies of LR shaft with double arrays of resonators may not only depend on the lattice constant， but also the spacing ration.Key words： vibration attenuation； phononic crystals； locally resonant； double resonators； band gap作者簡介： 趙帥（1990—），男，博士研究生。電話： 15850513289； Email： szhaodetec@nuaa.edu.cn