當(dāng)數(shù)學(xué)遇到音樂

李近朱

最近，聽到一首以“圓周率”數(shù)字為樂譜的鋼琴曲，雖奇特，卻優(yōu)美。早在公元5世紀(jì)，中國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖沖之率先計(jì)算出“圓周率”小數(shù)點(diǎn)后7位的π值。縱觀數(shù)學(xué)史，從公元前20世紀(jì)計(jì)算出點(diǎn)后一位數(shù)，到公元20世紀(jì)，計(jì)算到點(diǎn)后億萬位數(shù)。“圓周率”神奇無限，也讓藝術(shù)家們著迷。于是，才有了將若干位數(shù)演化為音符的奇想。

當(dāng)數(shù)學(xué)遇到音樂，會怎樣？最直觀的是，作為記錄音樂的樂譜就以數(shù)字為基礎(chǔ)：五線譜以高低音符構(gòu)筑，猶似數(shù)字的級進(jìn);簡譜所用的阿拉伯?dāng)?shù)字，從1到7，更體現(xiàn)出音樂在數(shù)字上的奇妙構(gòu)成。

“圓周率”的琴聲未絕，眼前又浮現(xiàn)出古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的身影。他認(rèn)為，“萬物皆數(shù)”“數(shù)是萬物的本質(zhì)”。他將其黃金分割公式置于“萬物”之中，并有一個(gè)音樂化的表述：太陽、月亮、星辰的軌道，與地球的距離之比，分別等于三種協(xié)和的音程，即八度音、五度音、四度音。更進(jìn)一步，他以聲學(xué)的物理方式在一條弦上撥一個(gè)音，再在兩條弦上撥響它的第五度和第八度音。結(jié)論是：三條弦的長度之比為6：4：3。通過數(shù)學(xué)和物理現(xiàn)象之間的聯(lián)系，畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：音程的和諧與宇宙星際的秩序相對應(yīng)，音樂亦在“萬物皆數(shù)”的范疇中。這位數(shù)學(xué)家對琴弦長度與協(xié)和音程關(guān)系的演算，為后來音樂的“五度相生律”奠定了基礎(chǔ)。

17世紀(jì)，在西方巴洛克時(shí)期，巴赫的名作《十二平均律鋼琴曲集》運(yùn)用了一個(gè)新的音律。這個(gè)音律，解析了自然存在的半音關(guān)系。從物理學(xué)上看，以頻率標(biāo)注的音高，每升高一個(gè)八度，頻率翻番。比如1975年最終確認(rèn)的國際標(biāo)準(zhǔn)音A，其震動為440Hz，升高一個(gè)八度就是880Hz。然后，從數(shù)學(xué)上看，將八度音程等分12份，于是，就有了半音。再做計(jì)算，相鄰半音的頻率比為：2的1/12次方。這就出現(xiàn)了音樂上的“十二平均律”。

這些計(jì)算，對數(shù)學(xué)家來說未必高端，但對于藝術(shù)家卻太過復(fù)雜。當(dāng)然，音樂家不問計(jì)算。他們只是感到，帶有數(shù)學(xué)復(fù)雜性的半音，豐富了音樂的表現(xiàn)力。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)牡聡税秃兆⒁獾健笆骄伞钡目茖W(xué)與藝術(shù)優(yōu)勢，從1722年到1744年，他寫了24首鋼琴曲，組成兩卷本的《十二平均律鋼琴曲集》。在紛紜數(shù)字的背后，出現(xiàn)了被譽(yù)為“音樂圣經(jīng)”的美妙樂音。

其實(shí)，在中國明代萬歷二十三年（1595年），律學(xué)家、歷學(xué)家、音樂家朱載堉就完成了他的《樂律全書》。其中，就論述到了“十二平均律”。還是在萬歷十一年（1584年），百年之后巴赫才誕生，這位明朝王子就已經(jīng)作了“十二平均律”的演算——勻律音階的音程，可取2的12次方根。這是音樂史上的一個(gè)重大發(fā)現(xiàn)。來自西方的傳教士忙不迭地經(jīng)絲綢之路，競相把朱載堉的“十二平均律”帶到西方。

巴赫未必知道這位中國王子。但這個(gè)音律帶來的深遠(yuǎn)影響，卻在西方樂壇煥發(fā)出光彩，以至于寫出那部“音樂圣經(jīng)”的巴赫，比中國的朱載堉還要出名。此刻，就連巴赫的鄉(xiāng)黨、德國物理學(xué)家赫爾姆霍茨也不得不公允地說句話了，中國王子朱載堉“在舊派音樂家的大反對中，倡導(dǎo)七聲音階。他把八度分成十二個(gè)半音以及變調(diào)的方法，是一個(gè)有天才和技巧的發(fā)明”。而今，“樂器之王”——鋼琴大行于世，但西方鋼琴制造的原理，卻來自于發(fā)現(xiàn)“十二平均律”的這位東方科學(xué)家。

那么，朱載堉是如何發(fā)現(xiàn)“十二平均律”的？答案是：數(shù)學(xué)計(jì)算。他用81檔的特大算盤，進(jìn)行開平方、開立方計(jì)算。他提出“異徑管說”，設(shè)計(jì)并制造了弦準(zhǔn)和律管，使十二樂音相鄰的兩個(gè)音，增幅或減幅相等。艱苦的探究破解了音樂史上的難題，橫空出世的一個(gè)數(shù)學(xué)公式：2開12次方，為“十二平均律”奠基。朱載堉在數(shù)學(xué)界和音樂界豎起了一座里程碑。

中國律學(xué)專家黃翔鵬先生說：“‘十二平均律不是一個(gè)單項(xiàng)的科研成果，而是涉及古代計(jì)量科學(xué)、數(shù)學(xué)、物理學(xué)中的音樂聲學(xué)，縱貫中國樂律學(xué)史，旁及天文歷算并密切相關(guān)于音樂藝術(shù)實(shí)踐的、博大精深的成果，是世界科學(xué)史和藝術(shù)史上的一大發(fā)明。”英國著名學(xué)者李約瑟認(rèn)為，朱載堉是“世界上第一個(gè)平均律數(shù)字的創(chuàng)建人”，是“中國文藝復(fù)興式的圣人”。

當(dāng)數(shù)學(xué)遇到音樂，無序的自然之聲成為有序的音樂之聲，讓原始聲音演化為有律樂音。于是，從玄妙的數(shù)學(xué)世界走到美妙的藝術(shù)世界，數(shù)學(xué)讓音樂更美麗。

我們發(fā)現(xiàn)，以枯燥演算得出的“十二平均律”經(jīng)典公式，催生出許多美麗的音樂。巴赫的《十二平均律鋼琴曲集》與其說是一個(gè)科學(xué)的數(shù)字排列，不如說是一次絕美的數(shù)學(xué)藝術(shù)的演繹。其中，開篇第一首“C大調(diào)前奏曲”，雖只運(yùn)用自然音體系的三和弦與七和弦，卻有著極致的優(yōu)美，以至于讓后人以它作為典雅高潔、流暢動聽的圣歌《圣母頌》的鋼琴伴奏。

在醉人樂聲響起的那一刻，數(shù)學(xué)與音樂合成一道絢爛的霓虹——這就是當(dāng)數(shù)學(xué)遇到音樂時(shí)，兩個(gè)領(lǐng)域共同煥發(fā)出的全部魅力。