基于二級CFSFDP的擴展目標(biāo)量測集劃分算法

遲珞珈,馮新喜,蒲 磊,曹 倬

(空軍工程大學(xué) 信息與導(dǎo)航學(xué)院,西安 710077)

0 概述

在傳統(tǒng)的目標(biāo)跟蹤問題中,通常忽略目標(biāo)的外形而將目標(biāo)簡化為一個點,即假設(shè)一個目標(biāo)只能產(chǎn)生一個量測,但隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,雷達(dá)等傳感器的分辨率不斷提高,使得一個目標(biāo)在一個采樣周期內(nèi)可產(chǎn)生多個量測,通常稱這種目標(biāo)為擴展目標(biāo)[1-3]。

近年來,人們越來越重視雜波環(huán)境下多擴展目標(biāo)的跟蹤問題。傳統(tǒng)算法中需要對數(shù)據(jù)進行關(guān)聯(lián),但其計算復(fù)雜度較高,容易出現(xiàn)組合爆炸,且在實用性和可靠性上面臨著考驗。對此,文獻[3]在隨機集理論基礎(chǔ)上,提出了擴展目標(biāo)概率假設(shè)密度(Probability Hypothesis Density,PHD)濾波,有效避免了數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)問題。隨后,勢概率假設(shè)密度(Cardinalized Probability Hypothesis Density,CPHD)濾波、擴展目標(biāo)高斯混合PHD濾波[4]、擴展目標(biāo)高斯混合CPHD濾波[5]等濾波算法又相繼提出。但無論采取哪種濾波算法,在擴展目標(biāo)跟蹤問題中都涉及到量測集的劃分,直接決定了整個跟蹤算法的復(fù)雜度與狀態(tài)估計的精確度。同時,由于擴展目標(biāo)的提出,使得量測集的劃分?jǐn)?shù)目隨量測數(shù)的增加而急劇上升[6-8]。因此,急需尋找一種快速高效的量測集劃分算法。針對此問題,文獻[1,4]提出了基于距離的劃分算法。但由于跟蹤過程中存在大量的雜波噪聲,同時對擴展目標(biāo)的形狀存在不確定性,因此很難精準(zhǔn)劃分量測集。此外,為了找到正確的劃分,需要選取閥值區(qū)間中所有的值,這樣做增加了算法的計算量及時間復(fù)雜度,影響跟蹤算法的實時性。文獻[9-10]提出了一種基于K-means聚類法的量測集劃分算法。該算法運算速度較快,適用于大量樣本的情況,但聚類結(jié)果受初始聚類中心隨機性的影響很大。文獻[11]提出了一種基于模糊自適應(yīng)共振原理(Adaptive Resonance Theory,ART)的擴展目標(biāo)量測集劃分算法,相比于現(xiàn)有的距離劃分法和其它聚類算法,模糊ART算法劃分的速度更快且具有較好的穩(wěn)定性,但是對步長的選擇比較敏感。文獻[12]提出一種利用譜聚類進行量測集的劃分算法,但需要人為確定聚類數(shù)目,且存在對初始聚類中心敏感和魯棒性較差等問題。

2014年,文獻[13]提出一種基于密度峰值的空間聚類算法CFSFDP(Clustering by Fast Search and Find of Density Peaks),這種算法對目標(biāo)的外形不敏感,可實現(xiàn)對任意外形目標(biāo)的量測集劃分。在此基礎(chǔ)上,本文針對雜波環(huán)境下多擴展目標(biāo)高斯混合PHD量測集劃分難、計算量大的問題,提出一種基于局部異常因子去噪和二級CFSFDP算法的擴展目標(biāo)量測集劃分算法。

1 擴展目標(biāo)高斯混合PHD濾波器

擴展目標(biāo)與點目標(biāo)產(chǎn)生的量測空間區(qū)別如圖1所示,根據(jù)文獻[3]所提出的擴展目標(biāo)PHD濾波模型,假設(shè)每個采樣時刻傳感器得到每個目標(biāo)產(chǎn)生的擴展目標(biāo)觀測數(shù)服從Poisson分布,且擴展目標(biāo)的觀測服從以目標(biāo)質(zhì)心為均值的Gaussian分布。

圖1 點目標(biāo)與擴展目標(biāo)示意圖

根據(jù)簡單的數(shù)學(xué)知識,很容易得到每個目標(biāo)實際被檢測到的概率,其表達(dá)式為:

(1)

假設(shè)1目標(biāo)狀態(tài)方程和傳感器的觀測方程是線性高斯模型,即:

fk|k-1(xk|xk-1)=N(xk;Fk-1xk-1,Qk-1)

(2)

fk(zk|xk)=N(zk;Hkxk,Rk)

(3)

假設(shè)2目標(biāo)存活和檢測概率與目標(biāo)狀態(tài)獨立,即:

pD,k(xk)=pD,k

(4)

pS,k(xk-1)=pS,k

(5)

假設(shè)3目標(biāo)的強度函數(shù)為高斯和的形式,即:

(6)

通常稱滿足以上假設(shè)的算法為擴展目標(biāo)高斯混合PHD濾波算法。

假設(shè)已知k-1時刻目標(biāo)的強度函數(shù)γk-1|k-1(x),則擴展目標(biāo)高斯混合PHD濾波器的預(yù)測步和更新步可表示如下:

1)預(yù)測步

(7)

2)更新步

γk|k(x|Z)=LZ(x)γk|k-1(x|Z)

(8)

(9)

其中,LZ(x)表示量測偽似然函數(shù),對傳感器檢測概率、噪聲模型、虛警等特性進行了全面的描述,其表達(dá)式為:

(10)

k時刻目標(biāo)后驗概率γk|k(x)包括兩部分,分別用于處理未檢測目標(biāo)和檢測到目標(biāo)的情況。詳細(xì)推導(dǎo)公式可以參見文獻[1]。

對于擴展目標(biāo)量測集的劃分給出如下實例。若某一時刻傳感器獲得的量測集Z={z1,z2,z3},則其所有劃分為:

D1={{z1,z2,z3}}

D2={{z1},{z2},{z3}}

D3={{z1,z2},{z3}}

D4={{z1,z3},{z2}}

D5={{z1},{z2,z3}}

(11)

顯然,量測集的所有可能劃分隨著量測數(shù)的增加而急劇上升,尤其是在雜波密集的環(huán)境下,其計算量和時間消耗更是成指數(shù)倍增長。因此,急需尋找一種合理可行的量測集劃分算法。

2 基于二級CFSFDP算法的量測集劃分

2.1 局部異常因子去噪

由于傳感器獲得的觀測數(shù)據(jù)中不但包含對目標(biāo)觀測的有用信息,也包含著雜波信息,同時這些雜波均勻的分布在觀測空間中,對量測集的劃分存在很大的干擾。本文首先采用局部異常因子來對量測為雜波的程度進行度量,通過設(shè)定閾值的算法進行雜波濾除,接著將層次聚類與新近發(fā)表在《Science》上的采用密度極點的算法相結(jié)合對量測集進行劃分,提高了量測集劃分的準(zhǔn)確度。

局部異常因子(Local Outlier Factor,LOF)是一種基于密度的離群點檢測算法,它通過判斷觀測樣本與其最近鄰k個鄰居的孤立程度來考慮數(shù)據(jù)的孤立性,實現(xiàn)對偏離大部分?jǐn)?shù)據(jù)的異常數(shù)據(jù)進行檢測。

首先,計算x到x′的可達(dá)距離:

RDk(x,x′)=max(k-distance(x′),d(x-x′))

(12)

其中,k-distance(x)表示樣本x與離它第k近的樣本之間的距離,d(x-x′)表示x與x′之間的距離。

然后,計算x的局部可達(dá)密度:

(13)

應(yīng)用這個局部可達(dá)密度,可計算出x的局部異常因子:

(14)

圖2表示局部異常因子的實例,可見,偏離大部分正常值的數(shù)據(jù)點具有較高的異常值。各個樣本周圍的圓的半徑與樣本的局部異常因子的值成正比,圓的半徑越大,其樣本越傾向于異常值。經(jīng)多次實驗仿真,本文設(shè)局部異常因子大于2的點為異常值。

圖2 局部異常因子實例

2.2 二級CFSFDP量測集劃分算法

2.2.1 CFSFDP算法

2014年,文獻[13]提出了一種新的聚類算法CFSFDP。該算法簡單新穎、靈活性強,對目標(biāo)的外形信息不敏感,可以有效處理大數(shù)據(jù)集,同時解決了聚類初始中心選擇難的問題。CFSFDP算法的主要思想為在一個類族中,密度高的類中心總是被密度較低的鄰居點包圍,且與具有更高密度的任何點都有相對較大的距離。該算法處理流程是:1)通過密度極點確定聚類中心;2)按照一定順序?qū)?shù)據(jù)點歸類到距離其最近且密度比它自身密度高的點所屬的類中。

對于每一個數(shù)據(jù)點,該算法只需要計算局部密度ρi、該數(shù)據(jù)點與密度比它高的最近點的距離δi。算法具體步驟為:

步驟1計算觀測點間的距離,構(gòu)造相似度矩陣。

步驟2通過相似度矩陣和截斷距離計算每個觀測點的局部密度ρi。

步驟3計算每個觀測點與密度比它高的最近點的距離δi。

步驟4使用每一個觀測點確定的(ρi,δi)建立決策圖,確定聚類中心。

步驟5按密度降序?qū)τ^測集劃分。

算法偽代碼如下:

輸入觀測集為X={X1,X2,…,Xn};截斷距離為dc

輸出聚類結(jié)果為C={C1,C2,…,Cn}

for each point i do

for each point j do

dij=distance from i to j;

//計算每對數(shù)據(jù)點之間的距離

endfor

endfor

for each point i do

ρi=∑jχ(dij-dc) ;

//計算數(shù)據(jù)點的局部密度

endfor

//畫出決策樹,確定聚類中心

sort points by density descend order;

for each point I do

Ci=Cnearest_higer_density_neighbor(i);

//對量測集按密度降序排序,然后按此順序?qū)?shù)據(jù)點//分配,進行聚類

endfor

該算法存在一個很大的缺陷,即當(dāng)某一類中存在多個密度極點時,那么,一個類將被錯誤的劃分成多個子簇,造成量測集劃分不準(zhǔn)確的后果。在實際擴展目標(biāo)跟蹤問題中,跟蹤的目標(biāo)存在多種多樣的外形特征,不同的外形可能會導(dǎo)致由傳感器獲得的量測集中存在多個密度極點的現(xiàn)象,此時,若采用CFSFDP聚類對量測集進行劃分,則可能錯誤的將一個目標(biāo)劃分為多個目標(biāo)。因此,還需要考慮對劃分的類再進行合并,以此來實現(xiàn)對任意外形目標(biāo)的量測集劃分,確保算法的跟蹤性能。

2.2.2 層次聚類合并準(zhǔn)則

在一個多維空間中,不同聚類間通過低密度點集進行劃分,每一個聚類都可以表示為一個密度分布相對密集的連通區(qū)域。由以上聚類劃分思想,即聚類是相對密集的連通區(qū)域,聚類之間通過含有密度相對較低的點集的區(qū)域來劃分的原則,因此相對整個聚類來說,聚類邊界的密度是較低的。由此,提出一種合理的假設(shè),即聚類邊界區(qū)域密度小于聚類平均密度[15-16],當(dāng)邊界密度大于等于聚類平均密度時,則被認(rèn)為是劃分開的不完整聚類的子簇。平均密度和邊界區(qū)域密度的計算公式定義如下:

(15)

(16)

其中,|Ci|表示第i個聚類中觀測點的總數(shù),ρk表示每個觀測點的局部密度。聚類合并判定準(zhǔn)則如下:

ρbord(Ci,Cj)≥ρavg(Ci)

(17)

ρbord(Ci,Cj)≥ρavg(Cj)

(18)

當(dāng)式(16)或式(17)成立時,則判定Ci、Cj屬于同一聚類,此時需將Ci、Cj進行聚類合并;反之,則無需進行合并。該聚類合并準(zhǔn)則,只需遍歷一次由CFSFDP算法劃分的子簇,即可將滿足條件的所有子簇合并得到最終的聚類劃分結(jié)果,本文稱之為二級聚類的CFSFDP量測集劃分。

2.2.3 二級CFSFDP算法

由于CFSFDP算法能夠高效準(zhǔn)確地確定密度峰值點,層次聚類能對其存在的將一個類錯誤劃分成多個子類的缺陷制定合并準(zhǔn)則,因此本文采用將CFSFDP 算法與層次聚類相結(jié)合的二級CFSFDP算法對擴展目標(biāo)量測集進行劃分。該算法對目標(biāo)的外形不敏感,可實現(xiàn)對任意外形目標(biāo)的量測集劃分,如圖3所示。由圖3可以看出,使用二級CFSFDP聚類算法對量測集進行劃分,能夠在目標(biāo)處于雜波、近鄰、存在多個密度極點等情況下進行精確劃分,從而保證對目標(biāo)的跟蹤性能。

圖3 雜波環(huán)境下具有不同形狀的目標(biāo)量測集劃分

本文所提二級CFSFDP劃分?jǐn)U展目標(biāo)量測集算法基本步驟如下:

步驟2已知k-1時刻目標(biāo)的強度函數(shù)表示為γk-1|k-1(x),通過式(7)進行一步預(yù)測,得γk|k-1(x)。

步驟3計算量測集Zk中觀測點間的距離,構(gòu)造相似度矩陣。

步驟4計算每個觀測點的局部密度ρi和高密度距離δi,其表達(dá)式為:

ρi=∑jχ(dij-dc)

(19)

(20)

步驟5確定聚類中心。使用點集(ρi,δi)建立決策圖,選取同時具有較大ρi值和δi值的點為聚類中心。這里,為了避免用肉眼進行人為觀察判斷,使該算法可以自主尋找密度峰值點,引進變量α,其表達(dá)式為:

α=ρi×δi

(21)

顯然,α值越大,越有可能是聚類中心;本文將α進行降序排序,選取前m個點為密度峰值點。

步驟6劃分子簇。對前m個點為密度峰值點進行聚類,得到初始子簇{C1,C2,…,Cm}。

步驟7計算每個子簇Ci的平均密度ρavg(Ci)和邊界區(qū)域密度ρbord(Ci,Cj),按照本文提出的層次聚類合并準(zhǔn)則將滿足條件的所有子簇合并得到最終的量測集劃分結(jié)果。

步驟8將劃分好的若干個量測集代入式(1)、式(9)中,更新目標(biāo)強度函數(shù)γk|k(x)。

步驟9對更新的γk|k(x)的高斯項進行處理,獲得目標(biāo)狀態(tài)估計。

3 仿真實驗與分析

本文分別在擴展目標(biāo)處于交叉、近鄰2種情景下,將所提二級CFSFDP量測集劃分算法與經(jīng)典的距離劃分[9]、K-means++劃分[17]、DBSCAN[18]劃分等3種算法進行比較分析。對所提算法跟蹤擴展目標(biāo)如下3個方面的性能進行驗證:

1)算法的有效性、實時性。

2)是否能發(fā)現(xiàn)任意形狀的目標(biāo)。

3)是否能在量測密度差異較大時準(zhǔn)確劃分量測集。

3.1 擴展目標(biāo)交叉情景跟蹤

3.1.1 實驗參數(shù)設(shè)置

仿真中假設(shè)有3個不同形狀的擴展目標(biāo)在監(jiān)測區(qū)域[-1 000 m,1 000 m]×[-1 000 m,1 000 m]內(nèi)運動,它們的初始狀態(tài)如表1所示,在第50 s時,3個擴展目標(biāo)交叉。其中,目標(biāo)的存活概率Ps=0.99,檢測概率PD=0.99,傳感器采樣間隔T=1 s,整個跟蹤過程持續(xù)100 s,共進行200次蒙特卡洛實驗。

表1 目標(biāo)初始狀態(tài)

擴展目標(biāo)運動模型為:

(22)

其中,Xk=[xk,yk,vx,vy]T,(xk,yk)表示目標(biāo)的位置信息,(vx,vy)表示目標(biāo)的速度信息,過程噪聲標(biāo)準(zhǔn)差為σw1=σw2=2 m/s2。假設(shè)整個過程都是在擴展目標(biāo)高斯混合PHD模型框架下進行。則擴展目標(biāo)的強度函數(shù)可以表示為:

Db(x)= 0.1×N(x;mb(1),Pb)+0.1×

N(x;mb(2),Pb)+0.1×N(x;mb(3),Pb)

(23)

其中:

mb(1)=[-800,-600,0,0]T,mb(2)=[-900,100,0,0]T,mb(3)=[-700,700,0,0]T,Pb=diag(100,100,25,25)。

擴展目標(biāo)量測方程為:

(24)

其中,Zk=[xk,yk]T量測噪聲標(biāo)準(zhǔn)差σR1=σR2=20 m。背景雜波數(shù)服從均值為10泊松分布,且在監(jiān)測區(qū)域內(nèi)均勻分布。仿真參數(shù)設(shè)置最大高斯分量數(shù)目為Jmax=100,修剪門限Tp=10-4,合并門限U=4。

3.1.2 實驗分析

在擴展目標(biāo)處于交叉情況下,選擇3個不同形狀的擴展目標(biāo),使其產(chǎn)生的量測個數(shù)分別服從均值為10,20,40 的泊松分布,將所提二級CFSFDP量測集劃分算法與經(jīng)典的距離劃分、K-means++劃分、DBSCAN劃分等3種算法進行比較分析。用目標(biāo)估計數(shù)、OSPA距離[19]、平均計算時間3個指標(biāo)對算法的性能進行評價。

由圖4可以看出,K-means++劃分算法對目標(biāo)的估計數(shù)與實際目標(biāo)數(shù)偏差較大,該算法不能準(zhǔn)確辨別錯誤劃分中的量測,使擴展目標(biāo)數(shù)被高估。同時,在目標(biāo)量測密度差異較大時,距離劃分、DBSACAN劃分也無法準(zhǔn)確估計出目標(biāo)數(shù),具有一定的局限性。在第50 s 3個擴展目標(biāo)相交時,相對于其他算法,本文所提的二級CFSFDP由于是根據(jù)密度峰值點及低密度邊界點進行量測集劃分,當(dāng)擴展目標(biāo)相交時,只要其密度峰值點不重合,即能夠較好地對量測集進行劃分,且在其他時刻均能準(zhǔn)確估計出任意形狀擴展目標(biāo)的真實數(shù)目。

圖4 目標(biāo)交叉時目標(biāo)數(shù)目估計

由圖5可以看出,在目標(biāo)量測密度差異較大且存在交叉情況時,本文所提的二級CFSFDP對任意形狀擴展目標(biāo)量測集的劃分結(jié)果明顯優(yōu)于其他算法。

圖5 目標(biāo)交叉時OSPA距離

由圖6可以看出,本文所提的二級CFSFDP在具有較好擴展目標(biāo)量測集劃分效果的同時,也具有較好的時效性。二級CFSFDP聚類算法雖然是在CFSFDP聚類基礎(chǔ)上對劃分的類再進行合并,增加了算法的運算復(fù)雜度,但是從圖6可以看出,該算法的運算效率依然較高,雖然相比于DBSCAN劃分,所用時間較多一些,但與距離劃分和K-means++劃分相比,則顯示出明顯的優(yōu)勢。在圖5中,DBSCAN劃分在目標(biāo)密度差異較大、存在交叉情況下無法準(zhǔn)確估計出目標(biāo)的數(shù)目,跟蹤性能明顯下降?？梢钥闯?在綜合考慮目標(biāo)跟蹤性能與時效性方面,本文所提的二級CFSFDP聚類算法具有較好的優(yōu)勢。

圖6 目標(biāo)交叉時平均計算時間

3.2 擴展目標(biāo)近鄰情景跟蹤

3.2.1 參數(shù)設(shè)置

3.2.2 結(jié)果分析

在擴展目標(biāo)處于近鄰情況下,選擇2個擴展目標(biāo),使其產(chǎn)生的量測個數(shù)均服從均值為10的泊松分布。用目標(biāo)估計數(shù)、OSPA距離、平均計算時間3個指標(biāo)對算法的性能進行評價。

由圖7～圖9可知,當(dāng)擴展目標(biāo)處于近鄰情況時,由于本文所提的二級CFSFDP是跟據(jù)密度峰值點來劃分量測集的,因此2個近鄰的擴展目標(biāo)會因密度峰值點的差異而被劃分開,能夠?qū)θ我庑螤顢U展目標(biāo)量測集進行較好的劃分,且時效性相對較好,雖然時效性上略差于DBSCAN算法,但DBSCAN算法容易將近鄰的不同擴展目標(biāo)劃分為同一目標(biāo),低估目標(biāo)數(shù)目。

圖7 目標(biāo)近鄰時目標(biāo)數(shù)目估計

圖8 目標(biāo)近鄰時OSPA距離

圖9 目標(biāo)近鄰時平均計算時間

距離劃分雖然可以較好估計目標(biāo)數(shù)目,但其平均計算時間久,時效性差。K-means++劃分算法對擴展目標(biāo)的跟蹤效果最差?？梢钥闯?在綜合考慮目標(biāo)跟蹤性能與時效性方面,本文所提的二級CFSFDP聚類算法具有較好的優(yōu)勢。

4 結(jié)束語

針對擴展目標(biāo)處于交叉及近鄰情況下量測集劃分難的問題,本文提出一種基于二級CFSFDP的擴展目標(biāo)量測集劃分算法。實驗結(jié)果表明,在目標(biāo)量測密度差異較大,且存在交叉或近鄰情況時,該算法能夠較為準(zhǔn)確地對任意形狀擴展目標(biāo)量測集進行劃分,在保證跟蹤有效性和可行性的同時,有效減少了計算時間,其結(jié)果明顯優(yōu)于其他傳統(tǒng)算法。下一步將研究當(dāng)擴展目標(biāo)交叉時,該算法目標(biāo)密度峰值點的重合情況,從而進一步優(yōu)化算法。

[1] GRANSTROM K,LUNDQUIST C,ORGUNER U.Extended target tracking using a gaussian-mixture PHD filter[J].IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems,2012,48(4):3268-3286.

[2] 劉風(fēng)梅.多擴展目標(biāo)跟蹤量測集劃分算法研究[D].無錫:江南大學(xué),2015.

[3] MAHLER R.PHD filters for nonstandard targets,i:extended targets[C]//Proceedings of the 12th International Conference on Information Fusion.Washington D.C.,USA:IEEE Press,2009:915-921.

[4] GRANSTROM K,LUNDQUIST C,ORGUNER U.A gaussian mixture PHD filter for extended target tracking[C]//Proceedingsof the 13th International Conference on Information Fusion.Washington D.C.,USA:IEEE Press,2010:1-8.

[5] ORGUNER U,LUNDQUIST C,GRANSTROM K.Extended target tracking with a cardinalized probability hypothesis density filter[C]//Proceedings of the 14th International Conference on Information Fusion.Washington D.C.,USA:IEEE Press,2011:1-8.

[6] 劉妹琴,蘭 劍.目標(biāo)跟蹤前沿理論與應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社,2015.

[7] YANG Jinlong,LIU Fengmei,GE Hongwei,et al.Measurement partition algorithm based on density analysis and spectral clustering for multiple extended target tracking[C]//Proceedings of CCDC’14.Washington D.C.,USA:IEEE Press,2014:4401-4405.

[8] 孔云波,馮新喜,危 璋.利用高斯混合概率假設(shè)密度濾波器對擴展目標(biāo)量測集進行劃分[J].西安交通大學(xué)學(xué)報,2015,49(7):126-133.

[9] LI Yunxiang,XIAO Huaitie,SONG Zhiyong.A new multiple extended target tracking algorithm using PHD filter [J].Signal Processing,2013,93 (12):3578-3588.

[10] 程艷云,周 鵬.動態(tài)分配聚類中心的改進K均值聚類算法[J].計算機技術(shù)與發(fā)展,2017,27(2):33-36.

[11] ZHANG Yongquan,JI Hongbing.Gaussian mixture reduction based on fuzzy ART for extended target tracking[J].Signal Processing,2014,97(7):232-241.

[12] YANG Jinlong,LIU Fengmei,GE Hongwei,et al.Multiple extended target tracking algorithm based on GM-PHD filter and spectral clustering[J].EURASIP Journal on Advances in Signal Processing,2014,117:1-8.

[13] RODRIGUEZ A,LAIO A.Clustering by Fast Search and Find of Density Peaks[J].Science,2014,344(6191):1492-1496.

[14] 章 濤,吳仁彪.近鄰傳播觀測聚類的多擴展目標(biāo)跟蹤算法[J].西安交通大學(xué)學(xué)報,2016,31(4):764-768.

[15] 許合利,牛麗君.基于層次與密度的任意形狀聚類算法[J].計算機工程,2016,42(7):159-164.

[16] 張文開.基于密度的層次聚類算法研究[D].合肥:中國科學(xué)科技大學(xué),2015.

[17] ARTHUR D,VASSILVITSKII S.K-means++:the advantages of careful seeding[C]//Proceedings of the 18th Acm-siam Symposium on Discrete Algorithms.New Orleans,Louisiana:Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia,2007:1027-1035.

[18] ESTER M,KRIEGEL HP,SANDER J,et al.A density-based algorithm for discovering clusters in large spatial databases with noise[C]//Proceedings of the International Conference on Knowledge Discovery and Data Mining.Oregon,Porland:the Association for the Advancement of Artificial Intelligence,1996:226-231.

[19] SCHUHMACHER D,VO B N.A consistent metric for performance evaluation of multi-object filters[J].IEEE Transactions on Signal Processing,2008,56(8):3447-3457.