以小見(jiàn)大有效拓展

劉愛(ài)格

[摘 要]“韓信分油”這一素材會(huì)進(jìn)入教材中，說(shuō)明其有一定的數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值。課本上有一道與“韓信分油”極其類(lèi)似的習(xí)題——“水桶分水”，教師可借助此習(xí)題有效開(kāi)展拓展性教學(xué)。在拓展性教學(xué)中，選材旨在追本溯源，建模貴在順藤摸瓜，遷移重在舉一反三。

[關(guān)鍵詞]水桶分水；韓信分油；拓展性教學(xué)

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 1007-9068（2018）11-0029-01

拓展性課程不是無(wú)本之木，其源于教材，而高于教材。教材中數(shù)學(xué)思想豐富，能完整展現(xiàn)思維脈絡(luò)的習(xí)題是拓展性教學(xué)素材的首選。“韓信分油”這一素材之所以會(huì)進(jìn)入教材中，說(shuō)明其有一定的數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值。五年級(jí)教材上有一道與“韓信分油”極其類(lèi)似的習(xí)題——“水桶分水”，它是很好的拓展性教學(xué)的素材。

一、選材旨在追本溯源

歷史名題，往往能營(yíng)造出一種神秘、高深、肅穆的學(xué)術(shù)氛圍，從而引起學(xué)生好奇，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，促使教師在潛移默化中完成數(shù)學(xué)思想方法的滲透和數(shù)學(xué)技能的傳授。鑒于此，筆者將注意力集中到古典名題上。數(shù)學(xué)史上最早關(guān)于分油記載的是16世紀(jì)，當(dāng)時(shí)赫赫有名的意大利數(shù)學(xué)家馮坦那提出一個(gè)問(wèn)題：有一瓶8千克的黃油，想倒出4千克，但沒(méi)有合適的量器，僅有5千克裝、3千克裝的空油瓶各一個(gè)。如何操作能僅用兩個(gè)油瓶從8千克的黃油中分出4千克黃油？無(wú)獨(dú)有偶，我國(guó)也有類(lèi)似的游戲——“韓信分油”，原文是“3斤葫蘆、7斤罐、10斤油簍分一半”，翻譯成白話(huà)文，就是利用容量為3斤、7斤和10斤的三種容器平分10斤油。于是，“韓信分油”這一內(nèi)容的教學(xué)由此而產(chǎn)生。

二、建模貴在順藤摸瓜

對(duì)于本內(nèi)容，教材的定位是“就題論題”，許多一線(xiàn)教師也就照本宣科，就事論事。但考慮到名題效應(yīng)，其蘊(yùn)含的教學(xué)價(jià)值是一個(gè)無(wú)盡的寶藏，值得我們?nèi)ド钔陂_(kāi)采。于是，筆者在扎根教材的基礎(chǔ)上，“借題發(fā)揮”，深入拓展延伸“韓信分油”的教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，幫助學(xué)生生成建模思想，發(fā)展抽象思維能力。

三、遷移重在舉一反三

和大多數(shù)教師一樣，剛開(kāi)始筆者對(duì)如何教學(xué)“韓信分油”一籌莫展，只是引導(dǎo)學(xué)生摸索著往下分，直到分出5斤為止。如果僅僅是這樣草草了事，經(jīng)典名題所蘊(yùn)藏的數(shù)學(xué)價(jià)值就白白流失了。因此，有必要深入分析分油問(wèn)題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。通過(guò)分析，分油問(wèn)題可以抽象出模型7A-3B=5（7的倍數(shù)與3的倍數(shù)之差5）或者3B-7A=5（與3和7勾兌后構(gòu)成5）。建模能為學(xué)生提供分油的方略，接下來(lái)學(xué)生只需按圖索驥，分步填表即可。

由此可見(jiàn)，教學(xué)的難點(diǎn)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)建模，把一個(gè)復(fù)雜的生活問(wèn)題，提煉抽象成一個(gè)直觀(guān)簡(jiǎn)潔的數(shù)學(xué)模型，再借助表格法進(jìn)行推演、運(yùn)算。因此，教師在教學(xué)“水桶分水”時(shí)要精心設(shè)計(jì)教學(xué)流程，讓分水的過(guò)程具有算術(shù)性。

第一步，嘗試著分。坦白講，“水桶分水”習(xí)題具有極大的挑戰(zhàn)性。因此，應(yīng)先用馮坦那的分油問(wèn)題做引子：水缸邊有容積為5升和3升的兩個(gè)空水壺，你能借助它們舀出多少水？有的說(shuō)“5+3=8（升）”，有的說(shuō)“5-3=2（升）”，還有的說(shuō)“3+3-5=1（升）”。這一過(guò)程看似贅余，實(shí)則“磨刀不誤砍柴工”，學(xué)生通過(guò)簡(jiǎn)易的分水法，獲得寶貴經(jīng)驗(yàn)，鋪好臺(tái)階，才方便登上高臺(tái)。

第二步，比較著分。要求學(xué)生嘗試用簡(jiǎn)易直觀(guān)的方式展現(xiàn)獲取1升水的流程。學(xué)生基本上用三種方式：語(yǔ)言描述法、圖示法和表格分析法。先引導(dǎo)學(xué)生比較辨析，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)表格法的簡(jiǎn)潔，初步完成模型的抽象提煉；然后再現(xiàn)填表過(guò)程，力爭(zhēng)簡(jiǎn)短有力；大部分學(xué)生認(rèn)識(shí)到表格法對(duì)于建模的效果。教師但不能只滿(mǎn)足于此，應(yīng)進(jìn)一步要求學(xué)生從表格法中歸納提煉出算式。

第三步，模仿著分。原先是用3升水壺舀水，5升水壺倒水。現(xiàn)在反過(guò)來(lái)操作，合理遷移，合情模仿。允許部分學(xué)生憑空想象分水，部分學(xué)生填表分水，但無(wú)論哪種方法，都要做出解釋。當(dāng)然，匯報(bào)展示時(shí)要嘉獎(jiǎng)既選擇算式又用表格法的學(xué)生，為下一步做好鋪墊。

第四步，有序地分。設(shè)計(jì)拓展問(wèn)題：若取水4升，又該怎么分？?jī)?yōu)生會(huì)在分出1升水后，再取3升得到4升；大多數(shù)學(xué)生會(huì)選擇重新推演。教師可用問(wèn)題“你優(yōu)先選擇算式還是表格？”來(lái)引導(dǎo)學(xué)生做出決策。列算式法與表格法的互補(bǔ)作用，能有效引導(dǎo)學(xué)生有序分水。

第五步，靈活地分。教學(xué)到此，學(xué)生會(huì)利用5升水壺和3升水壺勻出1升和4升水。這與“韓信分油”有何淵源？抓住這一問(wèn)題要害，促使學(xué)生進(jìn)行深度研析。學(xué)生說(shuō)：“現(xiàn)在有3個(gè)容器。”教師追問(wèn)：“那剛才呢？”其實(shí)剛才也是3個(gè)容器，水缸是一個(gè)大容器。學(xué)生從中明白了簍子相當(dāng)于水缸，不是參與分水的量器，分水的量具為7斤水壺和3斤水壺。于是得到：3×3-7=2，2+3=5。

對(duì)于拓展性教學(xué)，對(duì)象是所有學(xué)生，實(shí)現(xiàn)有教無(wú)類(lèi)；選材，要扎根教材，借助數(shù)學(xué)名題的效應(yīng)來(lái)激趣；教學(xué)，要抓住要害，精心設(shè)計(jì)教學(xué)流程。只有這樣，才能使拓展落地生根。

（責(zé)編 黃春香）