例談平面向量在三角函數中的應用

摘要：平面向量是整個中學數學中特別重要的一部分，特別是在高中階段，很多方面的知識點都需要用向量來輔助解題。同時，向量也是高考中的一個重要階段。三角函數作為高中階段的一個重要模塊，在高考中占據著重要地位，是每年高考中不可或缺的題目。本文主要討論了怎樣借助向量方法來解答三角函數的問題。

關鍵詞：平面向量；三角函數；解題

1、問題的提出

數學是思維的科學，其重要性不只體現在數學知識的應用，更重要的是體現在數學的思維方式。理性思維能力包括：直覺猜想、運算求解、演繹證明、邏輯推理、歸納抽象等。高考“注重對數學內涵的理解，多角度、多層次地考查數學理性思維及數學素養和潛能”，在高考復習的各個階段都要重視理性思維的培養和發展。尤其是在知識點交匯處命題備受命題專家的青睞。

三角函數與平面向量是高中數學重點內容，也是高考重點考查內容之一，在歷年高考中客觀題與主觀題并存出現，對“四基”進行了全面的考查，在命題上，主要以中檔偏下題目為主。而本文以一道簡單的例題和兩道高考題為案例，以淺現深，以點帶面來分析幾道平面向量與三角函數交匯的題目，進而提高學生的數學素養，發展其理性思維能力。

2、用一個簡單的例題說明平面向量在三角函數中的應用

例1已知函數 ，求其函數圖像按向量 平移后所得到的圖象的解析式。

解析：因為 ，經平移后的解析式為

點評：在中學階段，向量方法可以用來解決很多不同類型的題目，該題就是典型的運用平面向量來解決三角函數的問題，主要運用了平面向量的平移來解決三角函數的解析式問題。向量是整個中學數學中比較特殊的一部分，它不屬于代數的范疇，也不完全屬于幾何的一部分，同時又都與他們有著一定的聯系，代數和幾何的很多知識都可以和平面向量結合在一起出題。在高中階段，涉及到的很多三角函數問題都是可以用平面向量的方法來解決的，而且學生思路會更加清晰明了。因此，在高考中，經常出現平面向量和三角函數想結合的問題，下面就以兩道高考題為例來具體說明。

3、從兩道高考題來看平面向量和三角函數的結合在高考中的應用

例2 已知向量 .

若 求 的值；記 求 的最大值和最小值以及對應的 值.

解析：（1）因為 ，所以

若 ，則 ，與 矛盾，故 .于是 .

（2）

因為 ，所以 ，從而 .于是，當 ，即 時， 取到最小值3；當 ，即 取到最小值 .又 ，所以 .

點評：這道題主要考察了平面向量的線性運算來展示平面向量在三角函數解

題中的應用。在本題的第一問中利用線性運算來求解，由 可得 ，

然后就可以根據 的范圍來確定 的值；第二問是根據平面向量的數量積，再結合三角函數的性質來求解 的最值。例3 設向量

解析：（1）由

，及 ，可得 .因為

當 時， 取最大值1，所以 的最大值為 .

點評：在第一問中運用了平面向量的關于模長的運算來求 的值，第二問主要是將數量積的運算和三角函數的恒等變形相結合來求解函數的最大值，使解題思路更加清晰明了。

由上可知，這方面的題目比較靈活，學生即使記住了公式，卻不能靈活的使用，而且思維固定，不能在短時間內想到正確的解題思路，因此錯誤率比較高。為了解決這一問題，經過探討、研究，發現可以將平面向量融入到三角函數中，能夠更好地解決平面向量和三角函數中的難題。

參考文獻：

[1]楊亮.高中數學解題中向量方法的應用研究[J].高中數理化，2015（18）：10.

[2]石小勝.向量與三角函數的綜合應用[J].高中數學教與學，2011（02）：38-40.

作者簡介：鄭茜鑫，女，河南周口人，河南師范大學數學與信息科學學院2017級學科教學（數學）專業教育碩士。