基于波利亞的《怎樣解題》淺析中學數學解題教學

摘要：波利亞說過：“掌握數學意味著善于解題。”任何數學教師離不開解題教學，解題教學是中學數學教學的重要組成部分。其實，很多數學教師在解題教學沒有一個有結構的程序方法，在幫助學生解出題后，沒有幫助學生進一步的反思，為什么這樣解題？為了解題而解題，學生的解題能力不僅沒能提高，并且等到下次學生再碰到類似的問題，學生還是在不會這個問題，陷入就提論題、重復做題的消極循環中去，看不到問題背后的本質。

關鍵詞：數學；解題教學；方法；問題

針對眾多的解題教學方法，教師怎樣選擇解題教學方法來講課？波利亞的《怎樣解題》中有一張解題表，筆者認為有利于中學數學教師的解題教學，該表有四個步驟，具體如下：

下面以例題出發用波利亞的方法來探索中學數學的解題教學。

例題1.已知橢圓 的焦點為 ，離心率為 ，點 為其上一動點，且三角形的面積最大值為 ， 為坐標原點

（1）求橢圓 的方程；

若點 為 上的兩個動點，求常數 ，使 時，點 到直線 的距離為定值，求這個定值。

分析（1）：首先，弄清楚問題是什么？問題是求橢圓 的方程，也就是求出 的值。其次，找條件，條件中的信息如何理解？題中有兩個未隱含條件：其一，給出離心率的比值，得出 的比值；其二， 的最大值 ，當點 在與 軸上時，面積最大，得出 。條件二給的不直接，需要教師教學的時候引導學生們思考條件二的實質是什么？與 有什么關系？他利用了三角形的哪些理論？還有一個隱含條件，有橢圓的定義可以知道 。只要明白了這三個條件的真實意義，就能求出 的值。最后，檢驗結果是否正確。

分析（2）：首先，弄清楚問題是什么？求點 到直線 的距離。其次，找條件，條件中的信息如何理解？題中只有一個條件： ，橢圓與向量結合，并且以向量積的形式出現，一般向量積有兩種方法：一種是利用平面向量的數量積 ，即兩個向量的模的積與其夾角的余弦值的積；另一種是平面向量的空間坐標運算，首先設 ，則 ，那么選擇第二種方法更利于本題的解答。因為第一種方法三個未知量都無法得知，并且與本題相關性低，而第二種方法設坐標，不僅能求出 的直線方程，更利于用距離公式。

但是問題到這里還沒有解決，前面有四個未知數，那么直線 的方程應該如何若直線 斜率不存在， ，則 ，很容易求出直線方程，最后直接求出距離。

若直線 斜率存在，我們在引直線 方程為 。

下一步我們來看點 、直線 、橢圓 之間究竟有什么樣關系？由題知，直線 與橢圓 相交于點 。那么我們可以設

一個方程組 ，消去 ，得

（ ）由于 ，得到 ，則 這樣一來得出了前面的未知數有關，我們就可以直接得到

，整理

又因 為常數，因此 ， ，因此得出結果。最后，檢驗結果是否正確。一般圓錐曲線的題目，我們無法直接利用，需要設一些未知數，如何設置這些未知數？學生難度在這里，通常教師在課堂上解圓錐曲線的題都會直接用設而不求法，但是作為教師，都需要反思，為什么這樣做？如何讓學生明白這樣做的好處？能不能用別的方法？如何讓解題教學的效率提高？教師需要在解題教學中多探討其價值，提高教學質量。

參考文獻：

[1]波利亞.怎樣解題[M].上海：上海科技教育出版社，2007.

作者簡介：苗興巧，女，河南新鄉人，河南師范大學數學與信息科學學院2017級學科教學（數學）專業教育碩士。