梯度和混合投影算法關于分裂公共不動點問題的研究

劉宵 王艷 周小松 陳芳

摘要：在Hilbert空間中利用梯度和混合投影方法構造一種新的迭代算法研究一致非擴張映射的分裂公共不動點問題解的收斂性。

關鍵詞：Hilbert空間；一致非擴張映射；分裂公共不動點問題

1.問題的提出

1994年，Censor和Elfving[1]在有限維Hilbert空間中提出分裂可行性問題（Split feasibility problems）。作為分裂可行性問題的推廣，Moudafi[2]2010年提出了分裂公共不動點問題（split common fixed point roblems）：令 和 是Hilbert空間， 和 是兩個非線性映射且不動點集 和 非空， 的一個有界線性算子，則分裂公共不動點問題就是求一點 滿足

，使得 . （1）

2015年，Zhang等人[3]利用混合投影方法研究了漸進非擴張映射的分裂公共不動點問題的強收斂性并提出如下算法

（2）

基于以上問題的提出和研究，本文將在Hilbert空間中利用梯度和混合投影的方法構造新的迭代算法研究分裂公共不動點問題的解，該算法強收斂性也被證明。

2.預備知識

設 ， ， 是Hilbert空間， 表示 的不動點， 表示問題（1）的解集。

定義2.1 令 是Hilbert空間 的非空閉凸子集，若 為 在 上的度量投影，則對任意的 ，都存在唯一點 滿足

， ， （3）

引理2.2令 是一致非擴張映射，則下列性質等價： ， ；（2） 也是一致非擴張映射。

引理2.3在Hilbert空間 中，對任意的 和 ，下列性質滿足：

（1） ， ， ；

（2） 。

定義2.4映射 稱為半閉于零，如果對任意的序列 滿足 弱收斂于 且 ，那么 。

引理2.5設 是一致非擴張映射，且使得 是 到 的一個凸函數。令 的有界線性算子且 ， ，則有 ， ；

是 -利普希茨映射，即 ， 。

3.主要結果

定理3.1設 和 都是Hilbert空間， 的一個有界線性算子，

和 是兩個非線性映射且不動點集 和 非空，且使得 是 到 一個凸函數，對任意初始點 ，序列 通過下列迭代算法產生：

（4）

其中 ， ， 。

如果 ， ，則序列 強收斂于分裂公共不動點問題的解 。

證明 首先說明 是閉凸的，顯然 是閉凸的。假設 是閉凸的，對任意的 ，都有 即 。所以說明 是閉凸的。對任意 ，我們有 ， 。 是一致非擴張映射，則 是一致非擴張映射，由引理2.2有

（5）

然后根據（5）式和定理條件可得

又利用上式、引理2.3以及 ， ，可得

因此，說明分裂公共不動點問題的解集 ， 。

接下來證明 是柯西序列。因為 且 ，由度量投影定義有 和 ，因此 是有界收斂序列。對任意正整數 且 ，根據 和引理2.3有 ，結合 是有界收斂序列就有 。因此，證得序列 是柯西序列。

于是，假設序列 強收斂于 ，只需證明 。因為 ，由算法（4）可有 ，所以我們有 也是強收斂于 。再根據（6）式變形可得

又由條件 ， ，我們可得極限 和 。根據引理2.6可得 ，所以 是有界的。因此 ， 。利用定義2.4可得 。

又由前面的證明過程和引理2.2、引理2.3，我們有

于是，將上式變形我們可有

根據極限 、 和序列 是有界可得到 。又根據定義2.4可得 。從而證明序列 強收斂于分裂公共不動點問題的解。證畢。

參考文獻：

[1]Y.Censor，T.Elfving. A multi-projection algorithm using Bregman projections in a product space. Numer. Algorithms 8， 221-239（1994）.

[2]A.Moudafi.The split common fixed point problem for demi-contractive mappings. Inverse problem， 26（2010）， 055007.

[3]X.F.Zhang，L.Wang，Z.L.Ma，L.J.Qin.The strong convergence theorems for split common fixed point problem of asymptotically nonexpansive mappings in Hilbert spaces. Journal of Inequalities and Applications， Vol. 2015， No. 1， 2015.