單位圓解三角函數例談

李若辰

摘要：三角函數相關問題靈活多變，計算較為復雜，利用單位圓能夠簡化推導和計算過程。本文通過例題說明單位圓在解答比較函數值大小、確定取值范圍等三角函數問題時所起的作用。

關鍵詞：單位圓；三角函數；數形結合

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B文章編號：1672-1578（2018）02-0157-01

任意一個三角函數值都可以在單位圓上表示出來，利用單位圓中各線段長度關系和圓上各點坐標，可以直觀地解決三角函數的問題。單位圓不僅能夠提供解答三角函數相關問題的工具和方法，而且能夠加深對各三角函數含義及其相互關系的理解。在日常練習時必須重視單位圓的作用，熟練掌握利用單位圓解答三角函數問題的方法。

1.比較函數值的大小

例1：已知 0<α<β<π/2，試比較 sinα-α 與 sinβ-β 的大小。

解析：利用單位圓解答題目，首先將各題干中已知的信息在單位圓中表示出來，如下圖1所示。角α、β的終邊與單位圓分別交于點C、D， CM、DN分別為過C、D兩點向x軸作垂線段，則sinα=CM，sinβ=DN；弧CD的長為α，弧AD的長為β，弧線CD的長為β-α，（sinα-α）-（sinβ-β）= sinα-sinβ+β-α，根據圖中弧線與垂線段長度關系即可知β-α> sinβ-sinα，即sinα-α > sinβ-β。

例2：已知α∈ （0，π/2），試證明：cotα/2 ≥ 1+cotα。

解析：將題干中已知信息標注到單位圓中，如上圖2所示。其中，NA為單位圓的切線，并設角XOB為α，角XOA為α/2，則角BOA=角XOA=角BAO=α/2，因此OB =BA。又有

1+ cotα= 1+ NB，cotα/2 = BA+NB = NA，因此，cotα/2 ≥ 1+cotα。

2.確定三角函數內各變量的取值范圍

例3：已知函數f（x） = log（1-2cosX）（2sinX +1），試確定x的取值范圍。

解析：如滿足函數f（x）有意義，需保證（2sinX +1）>0， （1-2cosX）>0且（1-2cosX） ≠1 ，即sin X >-0.5，cos X < 0.5， cos X不等于零。將三角函數在單位圓中表示出來，如下圖3所示。如使sin X >-0.5，則角X的終邊處于下圖3中豎線所標出的陰影范圍內；如使cos X < 0.5，cos X不等于零，則角X的終邊處于下圖3中橫線標出的陰影范圍內，取交集則為角X的終邊范圍，即函數f（x）的定義域X取值范圍為：（2kπ+π/2，2kπ+7π/6） ∪（2kπ+π/3，2kπ+π/2），k∈Z。

例4：已知函數f（x）=2cosx-11g（2sinx+1），試計算定義域的取值范圍。

解析：要使函數f（x）有意義，則：（2sinX +1） ≠1， 且根號內為非負數，即 （2sinX +1）>1， （2cosX-1）≥0；或0< （2sinX +1） < 1， （2cosX-1）≤0，解得：sinX >0且cosX ≥1/2，或 -0.5< sinX <0且cosX≤1/2。將各三角函數標注到單位圓中，如上圖4所示，可知函數f（x）定義域x 的取值范圍為：（2kπ-π/6，2kπ）∪（ 2kπ， 2kπ+π/3]， k∈Z。

3.結語

在解答三角函數的相關問題時，單位圓不僅能作為圖形工具展示位置關系，而且能夠表示出各線段的長度關系。將三角函數中的點、線、角標注到單位圓中，能夠清晰、直觀地顯示出各三角函數的關系，揭示出題目中的隱性條件。熟練使用單位圓解題法，在平時練習時能夠降低解題困難程度，加快答題速度；在考試過程中可以節省大量時間，提高考試成績。

參考文獻：

[1]張冬月. 巧用單位圓解決三角函數問題[J]. 考試周刊（數學教學與研究）， 2013（91）： 63.

[2]馬明（主編）. 高中各科解題思路訓練（數學）[M]. 中國青年出版社， 2012（2）： 136-137.