運(yùn)用分類討論思想速解函數(shù)問題

李麗偉

摘要：在平時的教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)部分比較吃力，解題的過程中總會遇到一些題目考慮不全，丟解的情況，怎樣才能避免此類情況的發(fā)生，提高他們解題的準(zhǔn)確性、速度呢？這就需要對問題進(jìn)行分類討論加以研究，為了讓大家清楚，僅就部分內(nèi)容給您展示一下分類討論思想在函數(shù)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用。

關(guān)鍵詞：分類討論思想；函數(shù)

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B文章編號：1672-1578（2018）02-0254-02

現(xiàn)就常涉及到的分類討論知識歸納如下：

1.題目中的函數(shù)本身是以分段形式給出的，解題時涉及到這類已知函數(shù)值或函數(shù)值取值范圍的，求變量取值或取值范圍的一定注意別忘記分類討論。

1.1（2011遼寧理）設(shè)函數(shù)f（x）=21-x，x≤11-log2x，x>1，則滿足f（x）≤2的x的取值范圍是（ ）。

A.[-1，2]B.[0，2]C.[1，+∞]D.[0，+∞]

分析：因?yàn)閒（x）=21-x1-log2x，x>1為分段函數(shù)，所以f（x）≤2應(yīng)用兩種情況。

解：由題意知，21-x≤2x≤1或x>11-log2x，x≤2解得x≥0，x≤1即0≤x≤1，而1-logx2≤2可化為logx2≥-1=log122，得x≥12，因此解x>11-log2x≤2得x>1，x≥0綜上可知，故選D。

1.2（2011浙江理）設(shè)函數(shù) f（x）=-x，x≤0，x2，x>0.若f（α）=4，則實(shí)數(shù)α =（ ）

A.-4或-2B.-4或2C.-2或4D.-2或2

解：由α≤0，-α=4，或α>0，α2=4，得α=-4或α=2。故選B

2.冪函數(shù)型題目的定義域、奇偶性、單調(diào)性等要看冪指數(shù)

定義的給出是有條件限制的或分類給出的，就一定需要分類討論了。

2.1當(dāng)m= ____________時，函數(shù)f（x）=（m+3）x2m+1+4x-5（x≠0）是一次函數(shù)。

分析：考慮此函數(shù)的定義表達(dá)式，觀察f（x）=m+3x2m+1+4x-5（x≠0）的特點(diǎn)，未知數(shù)x的系數(shù)和指數(shù)均含字母入手，與一次函數(shù)表達(dá)式對照即可。若（m+3）x2m+1該項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)f（x）為一次函數(shù)，若（m+3）x2m+1不為常數(shù)項(xiàng)且2m+1=1也可能符合。

解：當(dāng)m+3=0時，即m=-3，函數(shù)f（x）=4x-5為一次函數(shù)；當(dāng)2m+1=0時 ，即m=-1 2， f（x）=4x-52為一次函數(shù)；

當(dāng)2m+1時，且m+3+4≠0時，即m=0時，f（x）=7x-5為一次函數(shù)；綜上所述，m=0，或m=-1 2或m=-3時符合要求。

3.題目是和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)，底數(shù)均為字母，常借助函數(shù)的單調(diào)性通過對底數(shù)加以討論，再解決

3.1（2015山東理）已知函數(shù)f（x）=ax+b（α>0.α≠1）的定義域和值域都是[-1.0]，則a+b ___________。

分析：借助指數(shù)函數(shù)性質(zhì)考慮底數(shù)。

解：當(dāng)0>α1時，函數(shù)f（x）是增函數(shù)，所以α-1+b=-1，α0+b=0

此方程組無解。當(dāng)0<α<1時，函數(shù)f（x）是減函數(shù)，所以α-1+b=0，α0+b=-1α=12b=-2所以α+b=-32故填-32。

4.函數(shù)中最高次項(xiàng)系數(shù)是含字母的代數(shù)式，他的取值可以有多種情況，這就需要我們進(jìn)行分類討論解決此題。又函數(shù)的圖象與 軸總有交點(diǎn)，或是函數(shù)有限定條件的零點(diǎn)問題等，故可考慮函數(shù)最高次項(xiàng)系數(shù)可能為零，也可能不為零來分類討論研究，進(jìn)而轉(zhuǎn)化成我們熟悉一次或二次函數(shù)的問題來求解。含參二次函數(shù)的最值問題一種是對稱軸是確定的常數(shù)，區(qū)間端點(diǎn)含有參數(shù)；一種是對稱軸含有參數(shù)，而區(qū)間端點(diǎn)是常數(shù)，不管是那一種，都可以理解成對稱軸在區(qū)間的左側(cè)，對稱軸在區(qū)間內(nèi)，對稱軸在區(qū)間右側(cè)來討論。當(dāng)對稱軸在區(qū)間內(nèi)時，還需考慮區(qū)間端點(diǎn)離對稱軸的遠(yuǎn)近來確定另一個最大值或最小值。當(dāng)然，如果給出函數(shù)的一個最值，求其中的參數(shù)問題也可以按照上面的方法進(jìn)行解決

4.1已知函數(shù)f（x）=2（p+1）x2+4px+2p-1 的圖象與x 軸總有交點(diǎn)，求p的取值范圍。

分析：注意到該函數(shù)的最高次項(xiàng)的系數(shù)為字母，且與x軸總有交點(diǎn)。

解：當(dāng)2（p+1）=0時，即p=-1，f（x）=-4x-3 ，顯然與x軸有一個交點(diǎn)；

當(dāng)2（p+1）≠0時，函數(shù)為二次函數(shù)，只需Δ=（4p）2-4x2（p+1）（2p-1）≥0 ，

解得p<-1或-1

4.2已知函數(shù)f（x）=mx2 +（m-3）x+1的零點(diǎn)至少有一個在原點(diǎn)右側(cè)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解：當(dāng)m=0時，f（x）=-3x+1，令f（x）=0，得x=13，即函數(shù)的零點(diǎn)13 在原點(diǎn)右側(cè)，符合題意；

當(dāng) m≠0時，因?yàn)閒（0）=1 ，所以函數(shù)圖象過點(diǎn)（0，1），若m<0 ，函數(shù)圖象開口向下二次函數(shù)的兩個零點(diǎn)必然一個在原點(diǎn)的左側(cè)，一個在原點(diǎn)的右側(cè)。若m>0 ，函數(shù)圖象開口向上如圖，

要使函數(shù)的零點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，當(dāng)且僅當(dāng)Δ=（m-3）2-4m≥0， 3-m2m>0，m>0即m2-10m+9≥0，00進(jìn)一步整理

解得m≤1或m≥9，00即0

運(yùn)用分類討論思想解函數(shù)題時，不管是在哪方面，如果學(xué)生的頭腦中沒有分類討論的意識，在平時的解題中就不能辨認(rèn)出是需要分類討論的題目，就很容易丟解、錯解，很難保證問題得到有效解決。為此在平時的教學(xué)中，首先，教師在平時的課堂教學(xué)中應(yīng)有意滲透分類討論思想，幫助學(xué)生建立分類討論的意識，其次，學(xué)生應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確理解和記憶與分類討論相關(guān)的定義、性質(zhì)、公式等知識點(diǎn)，它們是解決問題的強(qiáng)有力的工具，為分類討論指明方向。再次，解題時學(xué)生認(rèn)真審題明確分類討論的對象、分類標(biāo)準(zhǔn)。最后，注意檢查努力做到不重不漏，檢查參數(shù)是否取到符合要求的所有實(shí)數(shù)。要想提升他們的解題能力，加強(qiáng)理論學(xué)習(xí)是非常必要的，因此在平時的學(xué)習(xí)中建議他們應(yīng)該多讀一些相關(guān)的學(xué)習(xí)資料，提高自己的理論水平。另外，解題后一定要及時總結(jié)解題規(guī)律、相關(guān)知識點(diǎn)歸納等，對于學(xué)習(xí)中遇到的困難可以大家在一起多多研究。以上是僅就高一上學(xué)期函數(shù)部分內(nèi)容加以展示，準(zhǔn)確掌握它們就可以迅速解決函數(shù)問題，僅供參考，希望對您能夠有所幫助。

參考文獻(xiàn)：

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