拓撲優化方法在復合地基處理橋頭跳車中的應用

韓

(西北農林科技大學水利與建筑工程學院,楊凌 712100)

0 引 言

橋頭跳車[1]現象是因為公路橋梁常用樁基支撐,橋面沉降量較小,而軟土路基橋頭段路堤沉降較大,形成了橋面和路面的高差,車輛經過時會發生跳動的產生。同時在處理橋頭跳車問題時,如果橋頭沉降差得到解決,但路基處理段與未處理段銜接處,又會產生新的沉降突變,即產生所謂的“二次跳車”[2]。“橋頭跳車”與“二次跳車”是一對矛盾的兩個方面,解決了前者,必將造成后者的加劇。

為了減緩橋頭跳車現象,國內通常采用換填法、預壓法、土工格柵法[3-4]、樁法[5-7]等方法對橋臺連接段軟弱地基進行處理[8]。如浙江大學巖土工程研究所采用低強度混凝土樁復合地基加固深厚軟土地基[9]等。大量的工程實踐證明,采用變樁長方式不僅可以緩解橋頭跳車現象同時還可以顯著減輕二次跳車,是解決該問題的有效方法。近年來,隨著復合地基技術不斷完善,關于不等長布樁的方法也得到了快速發展[10-13]。應用邊界元法(BEM)對在多孔彈性土中樁與樁的相互作用進行分析,且樁長不同。基于相互作用因子分析,提出了兩種不同荷載條件。得到最優結果,結果表明縮短了外部樁的樁長,增大內部樁的樁長[14]。在樁筏基礎中,樁的長度和布置對筏板的應力和撓度有顯著的影響,在筏板下使用不同尺寸和性能的樁是一種創新的概念,采用虛擬樁模型的積分方程法分析不同樁的樁筏基礎,獲得了第二類Fredholm積分方程,應用新的優化技術,對于在不同樁長下樁筏基礎進行優化設計[15]。對于群樁設計,可以應用一種使用混合遺傳算法的自動優化設計方法,設計目標是使樁的構型、數量、橫截面尺寸和樁冒厚度最小化,這種方法成功的最大限度減少了材料消耗量[16]。傳統布樁優化設計中,樁的長度經常是相似或者相同的,但等長樁之間的相互作用,說明這種布置方式并不是最優布置。通過對樁筏和獨立裝群進行優化分析,表明優化樁長結構可以增大基礎剛度,并減小結構變形。優化后可以節約更多材料,更經濟[17]。

但是如何合理確定各個部位的樁長作為未處理解決的問題,較大地影響了該方法的推廣應用。拓撲優化是一種比尺寸優化、形狀優化更高層次的優化方法[18],近年來發展迅速,已經在多個設計領域得到應用[19]。

現有的復合地基優化設計主要有兩大方向:一種是采用優化設計數學模型,建立非線性數學規劃方程求解;另一種是通過對影響復合地基承載力和沉降的各個參數進行定性研究,給出樁長、置換率、墊層參數等對承載力、沉降量的影響曲線,再按承載力或沉降控制來進行設計。總之,傳統的優化方法都是數學計算方法,比較繁瑣。而對于實際工程中,地基結構復雜、樁數龐大、土體非線性和樁土非線性接觸并存,拓撲優化方法能省去中間計算環節,并且基于Hyperworks中Optistruct強大的拓撲優化功能,在優化過程中可以自主調整優化參數控制優化過程,比較直觀得到樁的最優布局。拓撲優化方法和傳統形狀/尺寸優化的區別是不再以局部邊界作為設計變量,而是將整個設計域離散后,每個局部(單元和點)的材料用量作為設計變量。這樣在優化過程中可以非常簡單地獲取最優拓撲。

應用拓撲優化理論分析橋頭跳車處置中復合地基樁長的合理布置,可以將路橋過渡段路基處治方案的設計由“感性”變為“理性”,在滿足技術可行性同時,實現對材料最合理利用,對工程實踐有重要指導意義[20]。本文應用有限元方法分析了等樁長時樁長變化對消除橋頭跳車與二次跳車的影響,并引入拓撲優化方法對樁體長度進行了計算分析,確定了滿足處置橋頭跳車和二次跳車需要的最優布樁形式。

1 連續體拓撲優化理論原理

拓撲優化按研究的結構對象可分為離散體結構拓撲優化和連續體結構拓撲優化。連續體結構拓撲優化按照設計變量的類型和求解問題的難易程度可分為尺寸優化、形狀優化和拓撲優化三個層次,分別對應于三個不同的產品設計階段,即概念設計、基本設計及詳細設計三個階段[17]。拓撲優化主要為結構提供初期的概念性設計,在結構最初給定的設計空間內形成最優的材料分布輪廓,是結構后續的形狀優化和尺寸優化基礎。拓撲優化的目標是尋求物體對材料的最佳利用,此目標判斷依據是在給定的約束條件下取得最大值或最小值。拓撲優化標準方法是在給定結構體積V的約束條件下,定義問題為結構柔度最小,結構柔度最小等價于整體結構剛度最大[20]。

拓撲優化的方法主要有均勻化方法、變密度法和漸進法。其中,變密度法是指通過人為引進一種密度可以變化的材料,材料的相對密度簡稱偽密度,建立材料相對密度和彈性模量之間一一對應關系,將單元的偽密度定義為設計變量,將復雜的結構拓撲優化問題轉化為材料最合理分布構建問題,然后采用優化準則法或數學規劃法求解結構材料最優分布。目前變密度法插值模型應用最多的是SIMP材料插值模型,通過引入懲罰因子,對中間密度單元項進行懲罰,以減少結構中間密度單元數目,使中間密度趨于0或1。密度為0意味著優化結果逼近孔洞,密度值為1意味著優化結果逼近實體[13]。

優化設計有三要素,即設計變量、目標函數和約束條件。設計變量是發生改變從而提高性能一組參數;目標函數要求最優設計性能,是關于設計變量的函數;約束條件是對設計的限制,是對設計變量和其他性能要求。優化數學模型為:

Minimize:f(X)=f(x1,x2,…,xn)

Subject to:g(X)≤0j=1,…,m

hk(X)≤0k=1,…,mh

(1)

式中：X=(x1,x2,…,xn)是設計變量;f(X)是目標函數,g(X)和h(X)是需要進行約束的設計響應。

本文布樁拓撲優化問題的基本數學原理為:鑒于要控制橋臺和路基的沉降最小,也就是地基剛度最大、柔度最小,因此目標函數選擇為地基的柔度,并以柔度最小作為優化目標;優化設計變量就是樁體的長度;約束條件是路橋銜接處沉降差最小。由于樁體長度只能從樁底開始減小,所以對所有樁體增加拔模約束,在Hyperworks中只需指定一個拔模方向即可。這樣本文的拓撲優化模型為:

Subject to:KΔU=ΔP

db-drmax≤δ

ρe∈{0,1},e=1,2,…,Ne

(2)

式中：c是結構柔度；ΔP是結構離散后節點增量荷載矢量;ΔU是位移增量矢量;K是增量中結構當前總剛度陣;Ve是樁中單元體積;ρe是樁單元偽密度,也是設計變量;Ne是總樁數,Vcr為優化后復合地基樁總體積;db,dr分別為橋臺與路基沉降量;δ為沉降容差。在本文中,Ve為12 m2、15 m2、18 m2,δ取為5 mm,Ne為21,26,33。

式(2)是含離散變量結構優化問題,設計變量個數往往很小,通常要把設計變量松弛為聯系變量,即ρe∈[0,1](e=1,2,…,n)。使用SIMP方法進行拓撲優化,從而離散結構優化轉化為拓撲結構優化,降低中間密度單元,使密度值趨于0和1,加入中間密度懲罰項,得到中間密度(樁)單元材料彈性模量與密度存在如下函數關系:

(3)

式中,Ee為中間密度樁單行模量;Ep為樁彈性模量;Es為樁間土彈性模量。

2 工程基本情況與計算參數

浹里陳大橋是路橋澤國太平一級公路中路橋至澤國段控制工程。該橋位于兩個通航河流的交叉處,常水位下兩岸最大距離近80 m。根據通航要求和橋位地質條件,河中不宜設置橋墩,橋梁下部采用一跨過河的布置方式。大橋橋位位于軟土地基,地質條件較差,其主要土層情況為:表層為1.3 m左右的土層,物理力學性質較好;其下為18 m處于流塑狀態的淤泥或淤泥質黏土;再往下為50 m左右處于軟塑和流塑狀態的亞黏土。淤泥或淤泥質黏土的承載力為45～60 kPa,壓縮模量為 1.49～2.43 MPa,亞黏土的承載力為60～100 kPa,壓縮模量為 3.78～6.0 MPa[22]。

浹里陳大橋橋頭兩側路基采用低強度混凝土樁進行地基處理,并且采用變樁長的方式來調整路面和橋面的不均勻沉降,在距橋臺18 m內,樁長為18 m,在18～57.6 m內樁長由18 m遞減到9 m。

數值模擬中,材料參數的選取是最為重要的,直接影響模擬結果。為得到各個參數,采用單變量分析法對Mohr-Coulomb模型中各個參數進行分析,橋梁建設中埋設了大量原型觀測儀器,測定了地基的沉降和應力[1]。根據經驗公式E=(2.0～5.0)Es,選取彈性模量初始值。反復試算,對比原型觀測結果和有限元分析結果,得出地基中主要土層的物理力學性質指標見表1。

表1 土體物理力學指標Table 1 Physical and mechanical properties of soil

3 等樁長布樁有限元計算結果分析

本文采用ADINA軟件計算了路橋銜接處等長的低強度混凝土樁的沉降和應力狀態。計算中采用2D分析模型,其中樁徑0.377 m,樁距1.8 m,用ADINA中Truss單元的Rebar模擬原工程中高強度土工格柵,橋后路基樁處范圍長58 m,未處理長30 m;模型底側和橋墩底部約束Z向位移,模型兩側約束Y向位移。采用Mohr-Coulomb彈塑性模型模擬土體的本構關系,樁體采用彈性本構模型計算。有限元計算模型見圖1。

圖1 有限元分析模型圖Fig.1 Finite element analysis model

3.1 不布樁時路橋差異沉降計算

首先計算分析路基未經加固處理時路橋銜接處的差異沉降,并分析橋頭跳車現象存在的可能。根據圖1建立的有限元模型,假定相應的邊界條件,路基不采用低強度混凝土樁處理。依據實際工程施加荷載,計算沉降位移，得到不布樁時路基沿路縱向沉降,見圖2。

由圖可知,橋臺沉降較小,可以忽略不計,而橋臺與路面銜接處沉降較大,達到51 mm。道路段沉降云圖大致呈半圓形分布,在距橋臺0～24 m之間,距離橋臺越遠沉降越大,在距橋臺24 m處,沉降最大,達到103 mm,24 m之后距離橋臺越遠沉降越小。沉降最大值達到103 mm,若不采用地基處理方式,路橋銜接處將會產生更大差異沉降,會出現嚴重的橋頭跳車現象,將會對橋梁的正常使用、行車安全造成不利影響。

圖2 不布樁時地基沉降量隨與橋臺距離變化曲線Fig.2 No pile foundation settlement with the distance change of abutment curve

3.2 等長低強度混凝土樁的樁長對沉降的影響分析

在等長樁布置時,計算了不同樁長情況下路基沉降量。樁長分別為12 m、15 m、18 m三種。計算得到路基沉降曲線見圖3,圖3是不同樁長情況下路基沿路縱向沉降與無地基處理情況下沉降對比圖。

圖3 不同樁長地基沉降量隨與橋臺距離變化曲線Fig.3 Different pile length of foundation settlement with the distance change of abutment curve

從曲線可以看出:經處理過的路基,沉降減小明顯,說明低強度混凝土樁發揮了很大作用;當樁長由12 m增加到18 m,路基沉降量變小,由于Truss單元中Rebar作用,使路基沉降過渡更加均勻。可見,低強度混凝土樁對加固軟土地基有較好的效果,并且隨著樁長增大,路基沉降越小,路面坡度更加平緩。

為了分析不同樁長復合地基加固效果,將路橋銜接處差異沉降ΔSb-r和處理段結束處差異沉降ΔSr-r分別作比較,比較結果如表2所示。

表2 不同樁長復合地基加固效果分析Table 2 Reinforce the effect analysis of composite foundation with different pile length

從表中可以看出,沒有經過復合地基處理過的路基,沉降比較均勻,所以不存在二次跳車現象;經過復合地基處理后的路基,ΔSb-r減小明顯,由51 mm減小到20.5 mm,可見低強度混凝土樁對減緩橋頭跳車作用明顯;隨著樁長增加,ΔSb-r減小,但是減小的不明顯;而當樁長增加,ΔSr-r逐漸增大,可見在一定范圍內增大樁長可以減小ΔSb-r,從而減緩橋頭跳車現象,但過度增大樁長,路橋間差異沉降不僅不會減小,反而會導致二次跳車現象加劇。

4 變樁長布樁拓撲優化計算結果分析

拓撲優化采用Hyperworks軟件計算,建立變樁長布樁防止橋頭跳車的拓撲優化計算模型。其中:樁為設計域,其他部分為非設計域。優化前為18 m等長布樁,設計變量選為樁體單元偽密度,目標函數為樁體積分數最小,約束條件為路橋銜接處差異沉降最小。得到結果后,只保留樁的組件,去掉偽密度小于0.2部分,保留偽密度大于0.2部分,得到最優樁長分布,如圖4所示。

圖4 最優樁長分布圖Fig.4 Optimal pile layout

由圖4可知,得到最優樁長分布與實際工程形式大致相同,前8根樁長不變,從第9根到第33根樁長逐漸變小,優化后的樁長與優化前相比,減小的比例更大;優化后樁的體積大約為優化前的3/5,減小2/5樁用量,這在樁用量比較大的情況下,會大大節約工程投資。不僅如此,浹里陳大橋采用變樁長[23]方式調整橋面和路面的沉降差,優化后的樁長分布大致與工程本身樁布置形式相同,所以拓撲優化方法也為變樁長方式處理橋頭跳車提供理論基礎。

4.1 拓撲優化結果的驗證

運用ADINA軟件模擬優化后樁長處理橋后路基,對比實際布樁和優化后低強度混凝土樁處理橋頭跳車的效果,并將數值分析結果與工程實際沉降進行對比,得到路基沉降及ΔSb-r、ΔSr-r變化情況,分別如圖5、表3所示。

圖5 地基沉降量隨與橋臺距離變化曲線Fig.5 Foundation settlement with the distance change of abutment curve

表3 優化前后加固效果分析Table 3 Reinforcement effect analysis before and after optimization mm

由表3可知,優化后ΔSb-r幾乎沒有變化,ΔSr-r明顯變小;這是因為在路橋銜接處樁長不變,沉降差基本不變,在處理段結束處樁長較小,對應的差異沉降也較小。由圖5可知,數值模擬得到的地基沉降量與工程實測值大致相同,且路基沉降最大值相同,都是60 mm,所以數值模擬得到的結果能夠很好地的模擬實際工程;將優化后布樁與實際布樁得到的結果進行對比,在距橋臺0到14 m之間路基沉降基本不變,實際布樁在處理段結束處有明顯的拐點,優化后路基沉降雖然變大,但是沉降過渡更加平緩,在處理段結束處沉降差明顯變小;此種現象是采用變樁長方式,不同區域樁長不同造成的。所以,優化后樁長分布,不僅可以減緩橋頭跳車現象,并且可以使處理段結束處突變沉降更均勻分布于過渡段,避免發生二次跳車。不僅如此,優化后得到樁的體積要小于實際樁的體積,在工程上更經濟,所以拓撲優化是計算橋頭跳車問題布樁的有效方法。

4.2 不同因素對拓撲優化結果的影響

改變樁的長度、樁的彈性模量和樁距,得到不同因素對拓撲優化結果的影響。圖6是不同樁長下最優樁長分布圖,圖7是不同樁間距下最優樁長分布圖,圖8是不同樁模量下最優樁長分布圖。

圖6 不同樁長下最優樁長分布圖Fig.6 Optimal pile layout of different pile length

由圖6可知,不同樁長情況下得到最優樁長分布形式大致相同,越靠近橋臺樁的長度越大,越遠離橋臺樁的長度越小。樁長為12 m時,前17根樁的長度不變,優化后的體積大約為優化前的25/33,減小了8/33的樁用量;樁長為15 m時,前11根樁的長度不變,優化后體積大約為優化前的2/3,減小了1/3的樁用量;樁長為18m時,前7根樁長不變,優化后的體積大約為優化前的18/33,減小了15/33樁用量。可見,樁長越長,優化后樁的體積減小比例越大。

由圖7可知,樁間距為1.8 m、2.5 m、3.0 m時,樁布局形式基本相同,靠近橋臺處樁長不變,遠離橋臺方向按一定變化率逐排縮短形式,可見樁間距的變化對拓撲優化結果影響不明顯。

圖7 不同樁間距下最優樁長分布圖Fig.7 Optimal Pile Layout of Different Pile Spacing

由圖8可知當樁模量減小到200 MPa時,樁的布局形式不變,只是樁長減小比例減小,保留的樁的體積更大;當樁模量增大到4×104MPa時,樁長減小明顯,前11根樁的長度由18 m變為15 m,之后樁的長度減小比例也增大。可見,樁彈性模量越大,優化后樁的體積減小比例越大。

5 結 論

(1) 低強度混凝土樁加固路基,可以減小路橋差異沉降,提高汽車行駛舒適度。隨著樁長增大,路橋間差異沉降變小,但一味增大樁長,路橋間差異沉降不僅不會減小,反而會導致路基處理段與非處理段銜接處二次跳車現象加重。

(2) 低強度混凝土樁處理橋后路基的拓撲優化結果表明采用變樁長的方式調整橋面與路面沉降差,可以在緩解橋頭跳車現象發生的同時避免發生嚴重的二次跳車現象,并且還可以降低工程成本。

(3) 將拓撲優化方法應用到復合地基處理橋頭跳車中,選擇適當的設計變量、目標函數、約束條件可以得到樁的最優分布,為變樁長技術提供理論基礎。

圖8 不同樁模量下最優樁長分布圖Fig.8 Optimal pile layout of different pile modulus

(4) 優化前樁間距的變化對優化后樁的布局形式影響不大,但是優化前樁長越長,對應的優化后樁長減小比例越大;樁的彈性模量越大,優化后樁的體積減小比例越大。

參考文獻

[1] 李海芳,龔曉南,溫曉貴.橋頭段剛性樁復合地基現場觀測結果分析[J].巖石力學與工程學報,2003,24(15):2780-2785.

Li Haifang,Gong Xiaonan,Wen Xiaogui.Field survey of composite foundation with rigid piles under embankment[J].Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering,2003,24(15):2780-2785.(in Chinese)

[2] 陳桂香,肖昭然,孫紅亮.CFG樁復合地基處理橋頭跳車的優化設計[J].路基工程,2009(4):54-55.

Chen Guixiang,Xiao Zhaoran,Sun Hongliang.CFG pile composite foundation treatment the bridge for the optimization design of the vehicle[J].Subgrade Engineering,2009(4):54-55.(in Chinese)

[3] 田小革,應榮華 ,張森.應用土工格柵處理軟土 地基上的橋頭跳車問題[J].巖土工程學報,2000,22(6):744-746.

Tian Xiaoge,Ying Ronghua,Zhang Sen.Applying geogrid to deal with the bumping at bridge-head on soft foundation[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2000,22(6):744-746.(in Chinese)

[4] 鄭俊杰,張軍,馬強,等.路橋過渡段樁承式加筋路堤現場試驗研究[J].巖土工程學報,2012,34(2):355-362.

Zheng Junjie,Zhang Jun,Ma Qiang,et al.Experimental investigation of geogrid-reinforced and pile-supported embankment at bridge approach[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2012,34(2):355-362.(in Chinese)

[5] 胡春林,王茂麗,李坤.基于沉降控制的軟土路基粉噴樁加固設計方法探討[J].巖土力學,2006,27(6):969-972.

Hu Chunlin,Wang Maoli,Li Kun.Discussion of projects of handling soft soil foundation reinforced by DJM piles based on settlement control[J].Rock and Soil Mechanics,2006,27(6):969-972.(in Chinese)

[6] 蘇燕,周健,曾慶有.沉降控制復合樁基在橋頭跳車問題中的應用[J].巖土工程學報,2006,28(1):68-72.

Su Yan,Zhou Jian,Zeng Qingyou.Application of settlement-based design methodology to pile-foundation for bump at the ends of bridges[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2006,28(1):68-72.(in Chinese)

[7] 王凡俊,李然,陳燕賓.水泥攪拌樁法減緩橋頭跳車現象的數值模擬分析[J].施工技術,2013,42(增刊):357-362.

Wang Fanjun,Li Ran,Chen Yanbin.Numerical simulation analysis on solving vehicle bumping problem at bridge-head with cement mixing pile[J].Construction Technology,2013,35(Suup):357-362.(in Chinese)

[8] 李然,劉潤,徐宇,等.水泥攪拌樁法處理軟土地基中橋頭跳車現象的影響因素分析 [J].巖土工程學報,2013,35(增刊):725-729.

Li Ran,Liu Run,Xu Yu, et al.Influence factor analysis of cement mixing pile method in treating vehicle bumping at bridge head in soft soil foundation[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2013,35(S) :725-729.(in Chinese)

[9] 曾開華,俞建霖,龔曉南.高速公路通道軟基低強度混凝土樁處理試驗研究[J].巖土工程學報,2003,25(6):715-719.

Zeng Kaihua,Yu Jianlin,Gong Xiaonan.Field test on LSC piles to improve soft clay ground under the expressway[J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering,2003,25(6):715-719.(in Chinese)

[10] Caihua Shen,Xingwei Niu.Optimization on free length of high-pile wharf piles based on finite element analysis[J].Civil Engineering and Urban Planning 2012,444-449.

[11] Liang Fayun,Chen Haibing,Song Zhu,et al.A note on pile length optimization of pile groups considering the non-linear behavior of piles[J].Ground Improvement and Geosynthetics,2014,238:57-66.

[12] Chow H S W,Small J C.Behaviour of piled rafts with piles of different lengths and diameters under vertical loading[J].Advances in Deep Foundations,2005,132:1-15.

[13] Leung Y F,Klar A,Ph D,et al.Theoretical study on pile length optimization of pile groups and piled rafts[J].Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering,2010,136(2):319-330.

[14] Liang Fayun,Song Zhu.BEM analysis of the interaction factor for vertically loaded dissimilar piles in saturated poroelastic soil[J].Computers and Geotechnics,2014,62:223-231.

[15] Liang Fayun,Chen Longzhu,Han Jie.Integral equation method for analysis of piled rafts with dissimilar piles under vertical loading [J].Computers and Geotechnics,2009,36(3):419-426.

[16] Chan C M,Zhang L M,Ng J T M.Optimization of pile groups using hybrid genetic algorithms[J].Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering ,2009,135(4):497-505.

[17] Leung Y F,Klar A,Soga K.Theoretical study on pile length optimization of pile groups and piled rafts.Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering,2010,136 (2):319-330.

[18] 左孔天.連續體拓撲優化理論與應用研究[D].武漢:華中科技大學,2004.

Zuo Kongtian.Research of theory and application about topology optimization of continuum structure[D].Wuhan:Huazhong University of Science and Technology,2004.(in Chinese)

[19] 高照良,王正中,史嬌,等.拓撲優化方法在面板堆石壩分區設計中的應用[J].農業工程學報,2013,29(16):112-118.

Gao Zhaoliang,Wang Zhengzhong,Shi Jiao,et al.Topology optimization method for zoning of high concrete face rockfill dam[J].Transactions of the Chinese Society of Agricultural Engineering,2013,29(16):112-118.(in Chinese)

[20] 俞永華,謝永利,楊曉華.路橋過渡段路基加固體的拓撲優化[J].長安大學學報(自然科學版),2007,27(6):39-43.

Yu Yonghua,Xie Yongli,Yang Xiaohua.Topology optimization of reinforced subgrade body at transition section between bridge and road[J].Journal of Chang’an University (Natural Science Edition),2007,27(6):39-43.(in Chinese)

[21] 王鵬飛.樁式復合地基布樁優化設計子域法[D].楊凌:西北農林科技大學,2015.

Wang Pengfei.Sub-region method for optimal pile layout for a composite pile foundation[D].Yangling:Northwest A & F University,2015.(in Chinese)

[22] 李海芳,溫曉貴,龔曉南.低強度樁復合地基處理橋頭跳車現象試驗研究[J].中南公路工程,2003,28(3):27-29.

Li Haifang,Wen Xiaogui,Gong Xiaonan.Experiments of composite foundation with low strength piles for alleviating bridge-head jumps[J].Central South Highway Engineering,2003,28(3):27-29.(in Chinese)

[23] 魯緒文,婁炎,何寧,等.變樁長與變樁距技術在處理橋頭軟基中的應用[J].施工技術,2007,36(1):73-75.

Lu Xuwen,Lou Yan,He Ning,et al.Application of changing piles length and space technique treating soft foundation at bridge head[J].Construction technology,2007,36(1):73-75.(in Chinese)