理清脈絡掌握方法

劉思武

一、理清脈絡，把握整體

不少同學在學習“平行四邊形”這一章時，很容易將概念混淆.其原因主要是同學們對這些特殊四邊形之間的關系不清楚，圖1-圖3能夠為你學習“平行四邊形”帶來一些啟示.

這一章可以這樣來總結：一個方法（看圖說話），兩個應用（判定和性質），三種關系（邊、角、對角線三種關系），四個基本圖形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形）.我們在學習時可以簡單將其記憶成“1234”.

圖1

圖2

圖3

二、掌握方法，順利解題

【例1】對于任意一個四邊形，取各邊中點并依次連接，所得的四邊形叫中點四邊形，那么中點四邊形有什么特殊性質呢？

【分析】此題無圖，我們回到前面提到的“1234”，構造滿足條件的圖形.如圖4所示，點E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點.由中位線定理，知道EF=HG=AC，EH=FG=BD，且EF//HG，EH//FG，從而證明出四邊形EFGH為平行四邊形.

【變式1】如圖5，在四邊形ABCD中，當AC⊥BD時，四邊形EFGH是什么特殊四邊形？

圖4

圖5

圖7

圖6

【變式2】如圖6，在四邊形ABCD中，當AC=BD時，四邊形EFGH是什么特殊四邊形？

【變式3】如圖7，當AC⊥BD且AC=BD時，四邊形EFGH是什么特殊四邊形？

【分析】利用中位線定理以及矩形、菱形、正方形的判定就可以得出四邊形EFGH依次是矩形、菱形、正方形.仔細思考后我們可以發現中點四邊形的形狀取決于其所在四邊形的對角線的關系.

【思考】根據上面的討論，你能說說矩形、菱形、正方形的中點四邊形是什么特殊四邊形嗎？如圖8、圖9、圖10所示.

圖8

圖9

【例2】如圖11，BD是矩形ABCD的對角線，∠ABD=30°，AD=1.將△BCD沿射線BD方向平移到△B′C′D′的位置，使B′為BD中點，連接AB′，C′D，AD′，BC′，如圖12.

（1）求證：四邊形AB′C′D是菱形；

（2）四邊形ABC′D′的周長為 ；

（3）將四邊形 ABC′D′沿它的兩條對角線剪開，用得到的四個三角形拼成與其面積相等的矩形，直接寫出所有可能拼成的矩形周長.

【分析】大家要學會認真審題、仔細讀圖，養成在圖中標出條件的習慣.

圖11

圖12

圖13

圖14

（1）如圖13，矩形有90°的角，加上30°的角，特殊的直角三角形就出現了.此時同學們應該很快想到三邊的比值為1∶ 3∶2，所以得到BD=2，再由直角三角形斜邊中線性質得到 AB′=BB′=B′D=1，結合平移以及斜邊中線性質即可得到四邊形AB′C′D的四邊相等.菱形得證.

（2）這道題可以通過全等三角形證明出四邊形ABC′D′為菱形，或者通過證明直角三角形得出各邊的長度.但是由于上題已經得到菱形AB′C′D，為何不用菱形的性質呢？如圖14，連接AC′（將隱藏條件顯現出來），則有AC′與B′D互相垂直平分，進一步能得到AC′與BD′互相垂直平分，得菱形ABC′D′，其周長為43.

（3）圖形太多，同學們要學會口算出邊長，并標記在圖中，如圖15，這樣就很容易想出解決問題的辦法了.拼成的矩形如圖16、圖17所示.

圖15

圖16

圖17

學習本章主要是熟知四個特殊四邊形的判定以及性質，其中以平行四邊形為主，因為回到圖1、圖2、圖3，可以知道將平行四邊形特殊化就可以得到另外三個特殊四邊形，所以平行四邊形是其他三個特殊四邊形的“根”，是“源”，這和戰爭中提到的“擒賊先擒王”是一個道理.下面有6個命題，同學們可以通過判斷真偽，加深對“平行四邊形”的理解.

【例3】仔細看下面的命題，并判斷真假.如果是真命題，請畫出圖形給予證明；如果是假命題，請畫出反例的圖形：

①一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形；

②一組對角相等，一組對角線平分另一組對角線的四邊形是平行四邊形；

③一組對邊相等，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；

④一組對邊相等，一組對角線平分另一組對角線的四邊形是平行四邊形；

⑤一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形；

⑥一組對邊平行，一組對角線平分另一組對角線的四邊形是平行四邊形.

【分析】推翻假命題的最好辦法就是舉出反例，而對于幾何命題，可以回歸圖形、定義和性質.回到前面提到的“1234”，畫出圖形就會更加直觀.對于命題①，容易想到反例——等腰梯形；對于命題②，可以舉出反例——箏形，如圖18所示，AC平分BD，∠ABC=∠ADC；對于命題③，如圖19所示，將?ABCE中的△AEC旋轉至△ADF（使D、F、C共線），再連接CD，得到四邊形ABCD，滿足AD=BC，∠B=∠D，顯然四邊形ABCD不是平行四邊形；對于命題④，可以畫出如圖20的反例，即四邊形ABCD.命題⑤、⑥都可以通過全等三角形證明為真命題.

圖18

圖19

圖20

我們總是習慣從正面去認識事物，但有時換一個角度，從反面去觀察不失為加深對其認知的好方法.上面4個假命題就是很好的例子，因為在構造反例圖形時利用了平行四邊形，反而更加容易入手了.

我們在學習知識時都是從特殊到一般再到特殊，而學習“平行四邊形”這一章節卻是從一般到特殊，在平行四邊形的基礎上添加條件，由此我相信同學們應該找到本章的“源頭”了.所以，學習知識的方法也不是一成不變的，有共性的同時也有特性.學會思考，學習整理，學會反思，相信你在數學學習的道路上會越來越順利.