用紙片折出特殊的多邊形

毛亞玲 郝四柱

同學們，我們都會折紙.那么如何用一張紙片折出平行四邊形呢？

下面，讓我們一起進入“做”數學的天地.

圖1

圖2

活動1：給出一個任意的三角形或者四邊形紙片，你能折出平行四邊形嗎？首先你能折出兩條平行的線嗎？如圖1，使AB邊對折兩次（第一次使得A與B重合，然后再對折一次），得到的兩個折痕（DE和FG）就是一組平行線.同理，用四邊形紙片折也是如此.

其實，不需要對折也是可以的.只要折后點A落在AB所在的直線上，那么得到的折痕就平分了AB邊所在的平角，得到兩個相等的角.同樣，再按相同原理折一次就得到了一組平行線.

如圖1，在得到一組平行線后，只需要再將三角形的另一條邊BC對折兩次，再得到一組平行線（IH和MN），則這兩組平行線圍成的圖形即為所求的平行四邊形.同理，用四邊形紙片折也是如此.

活動2：在不規則的紙片中折出平行四邊形.

由活動1的經驗，只要折出兩組相交的平行線即可.

圖3

圖4

圖5

第一步：如圖4，在不規則的紙片中折一道折痕MN，以此為邊，視這條邊為平角，折兩次，均使得平角的邊重合，即得到一組平行線.

第二步：重復第一步操作得到第二組平行線.兩組平行線相交得到平行四邊形ABCD.

活動3：在不規則的紙片中折出矩形.

如圖6，在活動2第一步的基礎上，只要再折出折痕MN的平行線即可.將折痕IP視為平角，折一次使得I落在平角的邊上，再將紙片沿著MN折一次，得到折痕EF，此時便得到了矩形GHWX.

圖6

圖7

活動4：在不規則的紙片中折出菱形.

在活動2的基礎上，構造平行四邊形的一組鄰邊相等即可得到菱形.

圖8

圖9

第一步：如圖8，在活動2的基礎上先折出兩條平行線CD和EF.

第二步：如圖9，任意折一道折痕GH，使得GH與兩條平行線CD、EF分別相交于G、H.

第三步：如圖9，以G為頂點，使得GH與EF邊重合，得到折痕GM，并且GM交CD于M.接著，沿著HM再折一次便得到了點N.則四邊形GHMN即為所求的菱形.

活動5：在不規則的紙片中折出正方形.

在活動2的基礎上，只要使得矩形的鄰邊相等即可.

圖10

圖11

第一步：如圖10，由活動2先得出一組垂直于AB的平行線CD與EF，設CD與EF分別交AB于M、H.

第二步：如圖11，以H為頂點，使得HM與HE重合，得到折痕HN.過N點折GH的垂線NG即可得到正方形.

活動6：利用平行線先折出等邊三角形，再折出正六邊形.

圖12

圖13

圖1414

第一步：如圖12，利用前面的活動經驗，先折出兩條平行線AB與CD，再對折，使得AB與CD所在折痕重合，得到折痕EF.設GH與AB、CD相交于M、N.

第二步：如圖13，過M點將MN向上翻折，使得N點落在EF上，得到折痕RS和點O，同理得到折痕PQ.

第三步：如圖14，過O點折出GH的平行線UV，則UV交折痕PQ、RS于X、W.

第四步：沿著UV將紙片對折，再將紙片沿MN折一次，得到折痕YZ，此時YZ與AB、CD分別相交于Y、Z.由此得到正六邊形MNWZYX.

同學們，對于活動5和活動6，你知道為什么這么折嗎？