芻議在高中數學解題中導數的應用

徐艷松

【摘要】導數在高中數學解題中發揮著重要的作用，可以起到以簡化繁的作用。本文首先介紹導數的相關知識，在對導數有了進一步了解之后，我們再探究導數在高中數學解題中的具體應用，譬如函數的圖像、單調性等問題。

【關鍵詞】導數；高中數學；解題

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2017）35-0289-01

隨著學習層次的深化，高中數學比初中數學更加具有深度、難度，導數的引入可以幫助學生輕松解決高中數學中的函數、不等式、數列等問題。因此，導數在近年的數學教學中所占據的地位越來越重要。

一、導數的由來

導數的歷史，最早可以追溯到古希臘的阿基米德所在的時代，其中他所研究的拋物弓形、球等問題都有所涉及積分學問題，隨著之后大量數學家不斷開展研究工作，先后有所建樹，微積分得到了進一步發展，其中牛頓的《流樹法和無窮級數》以及德國的萊布尼茨，1684年，他發表了現在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》影響顯著。

二、導數的定義

高中數學屬于初等數學，在高中數學學習過程中，我們要明白的是其大部分都是可導函數，為了更加準確地解決相關數學問題，我們首先對其定義有個總體上的了解，在掌握定義的基礎上進一步探究相關的數學問題。

1.導數第一定義

設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義：當自變量x在x0處有增量△x（x0+△x也在該鄰域內）時，相應地函數取得增量△y=f（x0+△x）-f（x0）；如果△y與△x之比，當△x→0時極限存在，則稱函數y=f（x），在點x0處可導并稱這個極限值為函數y=f（x）在點x0處的導數記為f'（x0），即導數第一定義。

2.導數第二定義

設函數y=f（x）在點x0的某個鄰域內有定義：當自變量x在x0處有變化△x（x-x0也在該鄰域內）時，相應地函數變化△y=f（x）-f（x0）；如果△y與△x之比，當△x→0時極限存在，則稱函數y=f（x）在點x0處可導，并稱這個極限值為，函數y=f（x）在點x0處的導數記為f'（x0），即導數第二定義。

三、導數在高中數學函數解題中的應用

1.利用導數來做函數的圖像

在接觸導數知識之前，學生一般會采用描點的方法來作圖。這種作圖的方法，一方面呈現出最后的圖像會比較粗糙，另一方面速度也比較慢。高考考試是有時間限制的，大多數學生在作圖時花費的時間較長。針對一些復雜的函數而言，簡單的描點方法也很難達到預想的效果。針對這種情況，導數顯得更加具有意義。在運用導數方法作圖的時候，一般分為六大步驟，其一，根據題意求出函數的定義范圍，對所作的圖有個總體上的范圍劃定；其二，判斷函數的奇偶性以及周期性，尋找函數的規律以及相關特點；其三，找到函數的一些特殊點，譬如x軸與y軸之間的交點；其四，判斷函數幾個重要的數值，包括有單調區間、極值點等相對特殊的值；其五，探究漸近線；最后一步根據上述的判斷以及求解方法畫圖。

2.利用導數求參數的值

在一些參數求解中，我們可以用導數來實現轉化簡單函數的目標，其應用原理如下：首先，我們確定其定義域。例如，y=x^2.定義域是（負無窮大，正無窮大）；之后進行求導y'=2x；第三步，求駐點，設y'=2x=0，得x=0；第四步，根據x=0進行劃分區間，具體劃分成（負無窮大，0]和[0，正無窮大）；之后根據區間進行判斷增減函數，具體言之，若x在（負無窮大，0]上，y'=2x<0，得y是減函數；若x在[0，正無窮大）上，y'=2x>0，得y是增函數；在參數范圍上，根據函數的具體設定進行應用上述方法，做到舉一反三，盡管題目大同小異，但是解題原理始終不變的。

3.利用導數判斷函數的單調性

首先計算函數f（x）的導數f'（x），然后進行根據函數的正負符號來判斷，函數是增函數還是減函數，具體如之，設定區間為l；如果x∈I，f'（x）>0，那么函數f（x）是增函數；若x∈I時，f'（x）<0，那么f（x）是減函數。相比而言，導數求解更加簡單直觀，也方便學生們掌握。

4.利用導數求方程的根值

在求解方程的時候有個固定公式，但是計算量相對比較大，那么針對這種情況，我們可以采用函數的方法解決相關求解問題。

如果函數f（x）在已知區間內是單調函數，那么在這區間內至多是一個零點，之后根據函數的相關判斷零點的方式方法判定零點是否存在。

如果函數f（x）在已知區間內不是單調函數，那么根據這個已知條件可以求出它的極值點和單調區間，之后根據求出來的數值，判斷零點的個數。

四、導數在高中數學其它方面的應用

從總結近幾年的高考數學來看，我們會發現，在不等式這部分一般存在綜合性強，思維量大的特點。針對這個特點，借用導數解題相對更加容易一些。首先將不等式進行等價轉換，之后根據不等式的特點構造出相應的函數，將其轉化為函數之后，可以根據之前對導數與函數的研究進而進行解題。此外，關于數學中的數列問題、解析幾何問題上，我們可以將其轉換為我們熟悉的函數問題，然后根據題目要求進行相應的求解。一般涉及到的主要問題是求參數、單調性、求值（最值、極值等）這些問題，所以數學更重要的是學會舉一反三，最主要的是融會貫通，發現它們之間的聯系，根據這種聯系進行相應地轉換。

五、結語

導數屬于高中數學中的一個重要內容，通過上述的探究，我們可以發現導數為數學問題的解決上帶來了極大的便利。例如函數、不等式、數列等這些數學問題，在不斷的學習探究中，會發現導數起到了一個橋梁的作用，實現將相對復雜的問題轉換成我們所熟知的內容。一般情況下可以將函數與導數聯系起來，根據題目要求進行相應的求解過程。從近幾年的高考來看，導數已成為了一個熱點。

參考文獻

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