兩條思路解決萬有引力定律相關試題

屠一凡　鄭衛峰

摘要：教育部發布了《普通高中物理課程標準（2017年版）》，明確規定萬有引力定律屬于必修2模塊下的“圓周運動與萬有引力定律”這一主題，按照其內容要求和近10年高考全國統考理綜卷的命題規律我們可以總結出有關萬有引力定律的試題類型和解題思路，以此指導教師備課和學生學習，進一步為師生終生學習與發展奠定基礎。

關鍵詞：普通高中物理課程標準；高考；萬有引力定律；試題類型；解題思路

2018年年初教育部發布了普通高中課程方案和14門課程標準，新修訂的課程方案與標準進一步明確了普通高中教育的定位，我國普通高中教育旨在促進學生全面而有個性的發展，為學生的終生發展奠定基礎。其中《普通高中物理課程標準（2017年版）》明確必修2模塊下設置“機械能及其守恒定律”“曲線運動與萬有引力定律”“牛頓力學的局限性與相對論初步”三個主題，并對各個主題的內容要求進行了詳細的說明，其中有關萬有引力定律的內容要求有兩點：2.2.4通過史實，了解萬有引力定律的發現過程。知道萬有引力定律。認識發現萬有引力定律的重要意義。認識科學定律對人類探索未知世界的作用。2.2.5會計算人造地球衛星的環繞速度。知道第二宇宙速度和第三宇宙速度。基于這一內容要求，文中對近10年高考全國統考理綜卷進行分類與統計分析，總結出有關萬有引力定律的試題類型和解題思路。

一、 萬有引力定律有關試題的類型

題型一：求中心天體的質量與密度

在2014年全國卷Ⅱ和2009年全國卷Ⅰ中就考了這類試題，并均以選擇題形式出現。

1. 質量的計算：

下面以計算地球的質量為例，介紹兩種方法。

方法1：已知某天體繞中心天體運動的周期T和軌道半徑r，由萬有引力提供向心力，即GMmr2=m2πT2r，得M=4π2r3GT2。

方法2：已知中心天體的半徑R及其表面的重力加速度g，不考慮地球自轉，地面上質量為m的物體所受的重力約等于地球對物體的萬有引力，即mg=GMmR2，M=gR2G。

2. 密度的計算：

將天體視作半徑為R的球體，則天體的密度ρ=M43πR3。

將上述兩種方法所求得中心天體的質量代入，

（1） 將M=4π2r3GT2代入上式得：ρ=3πr3GT2R3，且當天體在中心天體表面附近運動時，其軌道半徑r等于天體半徑R，則ρ=3πGT2。

（2） 將M=gR2G代入，且已知中心天體表面上的重力加速度為g，則ρ=3g4πRG。

題型二：估算天體表面重力加速度值

在2015年全國卷Ⅰ、2012年全國卷Ⅰ中也出現了這類考題的考查，以選擇題形式出現。

設有一質量為m的天體，繞著另一質量為M、半徑為R的中心天體做勻速圓周運動，中心天體表面的重力加速度為g，不考慮天體自轉，則萬有引力等于重力，即有基本關系式：

GMmR2=mg

即GM=gR2或g=GMR2

但在同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，即gh=GM（R+h）2。

在此基礎之上，常常結合拋體運動的規律一起考查。

題型三：環繞天體的運動情況與機械能變化分析

在2013年全國卷Ⅰ和Ⅱ，2012年全國卷Ⅱ中就出現了這類考題，以選擇題形式出現。

設質量為m的天體繞另一質量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運動。由萬有引力提供向心力，則可得到該天體繞行的周期、線速度、角速度、向心加速度：

由GMmr2=m2πT2r=mv2r=mω2r=man，可得相關結論。

在此基礎上可能結合環繞天體的變軌問題進行考查，環繞天體穩定繞行時由萬有引力提供向心力，但是由于某種原因環繞天體的速度突然改變時，環繞天體所受萬有引力與所需向心力不再相等，則可能做近心運動或離心運動。

在此基礎之上，還可能結合天體的機械能來考查，天體機械能包括動能與引力勢能，動能與質量和線速度大小有關，引力勢能與質量和距中心天體的距離有關。在天體質量不變的情況下，r越大，線速度v越小，天體的動能越小，引力勢能越大，在只有萬有引力做功的情況下，天體的機械能守恒。

題型四：同步衛星問題

在2016年全國卷Ⅰ，2011年全國卷Ⅰ，2010年全國卷Ⅱ中都出現了這類題，以選擇題的形式出現。

同步衛星就是與地球同步運轉，可用來作為通信衛星。同步衛星有以下幾個特點：

（1） 周期確定：同步衛星在赤道正上方相對地球靜止，它繞地球的運動與地球自轉同步，它的運動周期就等于地球自轉的周期，T=24 h。

（2） 角速度確定：同步衛星繞地球運動的角速度等于地球自轉的角速度。

（3） 軌道確定。

① 因提供向心力的萬有引力指向圓心，所有同步衛星的軌道必在赤道平面內。

② 由于所有同步衛星的周期相同，所有同步衛星的軌道半徑都相同，即在同一軌道上運動，其確定的高度約為3.6×104 km。

（4） 運行速度大小確定：所有同步衛星繞地球運動的線速度的大小是一定的，都是3.08 km/s，運行方向與地球自轉方向相同。

題型五：第一宇宙速度

在2015年全國卷Ⅰ中就出現了這類題目，出現在選擇題的某個選項中。

（1） 由萬有引力提供向心力得，GMmr2=mv2r，所以衛星的線速度v=GMr，第一宇宙速度是指物體在地面附近繞地球做勻速圓周運動的速度，則當r=R時得第一宇宙速度v=GMR（M為地球質量，R為地球半徑）。

（2） 對于近地衛星，重力近似等于萬有引力，提供向心力：mg=mv2R得v=gR，g為地球表面的重力加速度。

第一宇宙速度是最大的環繞速度、最小的發射速度，且對于別的天體也同樣可以采用上述兩種方法求其第一宇宙速度。

二、 兩條解題思路總結

上述各類題型的解題方法在本質上都可以歸為以下兩條思路：（1）利用萬有引力提供向心力列式；（2）利用萬有引力與重力的關系列式。下面對這兩條思路進行詳細說明。

1. 萬有引力提供向心力

一般情況下，行星或衛星等天體的運動可看作勻速圓周運動，所需要的向心力由中心天體對它的萬有引力提供。設質量為m的天體繞另一質量為M的中心天體做半徑為r的勻速圓周運動，向心加速度為a，即有基本關系式：

GMmr2=ma

而向心加速度a=v2r=ω2r=4π2T2r，故有關系式：

GMmr2=mv2r=mω2r=m4π2T2r

2. 萬有引力與重力的關系

（1） 不考慮天體自轉時，萬有引力近似等于重力

對于在中心天體表面附近的繞行的天體，重力近似等于萬有引力，提供向心力。設質量為m的天體繞另一質量為M、半徑為R的中心天體做勻速圓周運動，中心天體表面的重力加速度為g，即有基本關系式：

GMmR2=mg

即GM=gR2（黃金代換式）

同理，如果不在天體表面附近，而是在距離天體表面一定高度處，依然有萬有引力近似等于萬有引力，只是g值改變為g′，即有基本關系式：

g′=GM（R+h）2

（2） 考慮天體自轉時，重力是萬有引力的一個分力

當某物體置于天體表面，伴隨天體自轉一起轉動，因此由萬有引力，考慮地球自轉，

在兩極上，萬有引力等于重力：mg=GMmR2。

在赤道上，重力是萬有引力的一個分力：mg′=GMmR2-mω2R。

通過對近十年高考題的總結分析，我們可以發現以下三點：

1. 近十年來，萬有引力定律相關試題的考查方式比較穩定，只以計算題和選擇題的方式出現，且逐漸趨于主要以選擇題進行考查，故所占分值也比較穩定。

2. 難度不大，主要題型穩定，一般為上述總結題型的直接考查或者靈活變換形式考查。

3. 不管試題背景信息如何變化，題型如何變化，解題思路就只有兩種，掌握方法就能舉一反三。

三、 結語

通過對近十年來高考新課標卷關于萬有引力定律的考題進行的系統的分類與統計分析，我們發現了兩條有效的解題思路。新課標對我們的要求是讓學生學會學習，掌握終生學習所需要的基本技能。這對我們有很大的啟發：對教師，我們在教學過程中要授人以漁，教學生掌握核心方法，理清解題思路，多進行物理模型的總結。對學生，我們要學會學習，理解物理量的物理意義及物理量之間的本質聯系，不要搞題海戰術，要學會舉一反三。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中物理課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]教育部考試中心.2017年普通高等學校招生全國統一考試大綱（理科）[M].北京：高等教育出版社，2016.

[3]周將軍，王翔.2014年高考物理實驗題的統計分析及啟示[J].教育測量與評價（理論版），2014（9）：59-64.

[4]張北春.天體運動、萬有引力定律核心考點研讀[J].中學生數理化（高一版），2015（3）.

[5]包棟柱.萬有引力定律問題的巧妙分類[J].物理教學探討，2012（9）.

[6]呂華榮，楊國平.高考物理試卷與課程標準一致性分析[J].中國遠程教育，2013（5）.

作者簡介：

屠一凡，福建省福州市，福建師范大學物理與能源學院；

鄭衛峰，福建省福州市，物理國家級實驗教學示范中心（福建師范大學）。