淺析三階行列式

摘要：行列式是線性代數(shù)課程中重要的基礎(chǔ)知識(shí)。文章針對(duì)高職院校工程數(shù)學(xué)中線性代數(shù)模塊的三階行列式展開(kāi)分析討論，揭示三階行列式在行列式知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)中的重要地位，突出三階行列式的基礎(chǔ)性和重要性。三階行列式是學(xué)習(xí)高階行列式的橋梁，是高階行列式的基礎(chǔ)和奠基石。

關(guān)鍵詞：行列式；代數(shù)課程；基礎(chǔ)知識(shí)

為求解工程技術(shù)運(yùn)用領(lǐng)域和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的線性方程組問(wèn)題，必須學(xué)習(xí)行列式和矩陣基本知識(shí)。行列式是學(xué)習(xí)矩陣的基礎(chǔ)，也是研究矩陣最有效的工具之一。行列式和矩陣是為求解線性方程組的基礎(chǔ)準(zhǔn)備知識(shí)也是必備知識(shí)。

行列式是解線性方程組的基礎(chǔ)必備知識(shí)，也是線性代數(shù)模塊中最基礎(chǔ)的知識(shí)。二階、三階行列式是用來(lái)解二元、三元線性方程組，方程組的解可以用系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)表示出來(lái)，很直接方便。學(xué)習(xí)三階行列式是為高階行列式做準(zhǔn)備的。利用高階行列式求解多元線性方程組，是我們學(xué)習(xí)行列式的最終目的。

高階行列式的求解，通常采用的方法是運(yùn)用行列式的性質(zhì)和代數(shù)余子式等知識(shí)將高階轉(zhuǎn)化為低一階或者低幾階的行列式來(lái)求解。三階行列式是高階行列式存在的基礎(chǔ)，是為更好地理解掌握高階行列式而存在的。

一、 三階行列式的特點(diǎn)

1. 定義

三階行列式是將32個(gè)數(shù)排列成3行3列，橫排稱為行，豎排稱為列，并在左右兩邊各加一豎線的算式，它表示由一個(gè)確定的運(yùn)算關(guān)系所得到的一個(gè)數(shù)值。三階行列式是比較簡(jiǎn)單的行列式，三階行列式是學(xué)好高階行列式的基礎(chǔ)，是求解高階行列式的敲門磚。

2. 計(jì)算方法

為加強(qiáng)記憶這六項(xiàng)的和也可用對(duì)角線法則來(lái)記憶：從左上角到右下角三個(gè)元素的乘積取正號(hào)，從右上角到左下角三個(gè)元素的乘積取負(fù)號(hào)。這種方法有個(gè)特點(diǎn)就是每一項(xiàng)的乘積元素都來(lái)自不同的行和列：同一行的兩個(gè)元素和同一列的兩個(gè)元素不可能同時(shí)出現(xiàn)在一個(gè)乘積項(xiàng)里。

計(jì)算三階行列式還可以用行列式中任意一行所有元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和求得，也可以選取行列式中一列所有元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和而得到。運(yùn)用這種方法求解行列式的值時(shí)，要選取零元素最多的行或列，這樣含零的項(xiàng)多，計(jì)算的過(guò)程就最簡(jiǎn)單最便捷。

計(jì)算三階行列式還可以利用行列式的性質(zhì)，通過(guò)對(duì)行列式進(jìn)行同等變形求得行列式的值。這種方法關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察行列式的特征選取最適合的性質(zhì)來(lái)進(jìn)行變形，是最常用的方法，也是最普遍的計(jì)算行列式的方法。在以后要學(xué)習(xí)到的高階行列式的計(jì)算中，也經(jīng)常采用行列式的性質(zhì)變形這種方法來(lái)求行列式的值。

在計(jì)算行列式時(shí)，根據(jù)題目特征選取合適和最為快捷的方法，多做多練才能熟練掌握計(jì)算行列式的方法和技巧，才能選擇出最佳方法求解行列式的值。

二、 三階行列式的地位和作用

1. 三階行列式與二階行列式

二階行列式是最簡(jiǎn)單的行列式，它的計(jì)算也很簡(jiǎn)單，就等于主對(duì)角線上元素的乘積減去次對(duì)角線上元素的乘積。

三階行列式較二階行列式稍復(fù)雜一些，從表達(dá)式來(lái)看，雖然只比二階行列式多了5個(gè)元素，但其計(jì)算過(guò)程比二階行列式復(fù)雜很多，計(jì)算三階行列式的方法也較二階行列式多：六項(xiàng)代數(shù)和法、代數(shù)余子式和直接利用行列式的性質(zhì)，或者結(jié)合行列式的性質(zhì)再用代數(shù)余子式的方法。計(jì)算行列式的方法可以選取或者綜合運(yùn)用，只要能最快最準(zhǔn)地求出行列式值都是好方法。

2. 三階行列式與高階行列式

這里討論的高階行列式是四階及四階以上的行列式。計(jì)算高階行列式時(shí)，同樣可以用代數(shù)和法，只是過(guò)程復(fù)雜一些，不同的階數(shù)代數(shù)和中每一項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)也不同。運(yùn)用行列式的性質(zhì)求高階行列式的值是求解高階行列式最常用的方法，一般求解思路是運(yùn)用行列式的性質(zhì)先把高階行列式化為上三角形行列式，再根據(jù)上三角形行列式的特點(diǎn)，主對(duì)角線上元素的乘積就是所求行列式的值。遇到高階行列式中零比較多的情況，則選用零元素比較多的一行或者一列，這一行或者列的元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和就是高階行列式的值。

三階行列式比其他高階行列式階數(shù)低，表達(dá)較為簡(jiǎn)單，因此在學(xué)習(xí)行列式相關(guān)的性質(zhì)和計(jì)算方法時(shí)通常是從三階行列式入手，從而推廣到更高階，這一過(guò)程遵循了客觀的學(xué)習(xí)規(guī)律：從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從淺顯易懂到高深深?yuàn)W。

三階行列式是學(xué)習(xí)和理解以及求解高階行列式的敲門磚，只有熟悉掌握了三階行列式才能更好地學(xué)習(xí)求解高階行列式。對(duì)于n階行列式的求解，通常在于分析理解得出規(guī)律，只有在熟練掌握三階行列式，熟悉行列式的性質(zhì)的基礎(chǔ)上才能準(zhǔn)確得出n階行列式的規(guī)律，從而求解最后的值。

三、 教學(xué)結(jié)論

線性代數(shù)是研究多元和變?cè)木€性問(wèn)題，研究線性方程組解得存在條件、解的結(jié)構(gòu)以及解的求法的一門數(shù)學(xué)課程。行列式是線性代數(shù)中最基本的概念和理論，是矩陣的預(yù)備知識(shí)也是研究矩陣的一種有效工具，也是求解線性方程組最基本的方法。為解決涉及多元線性方面的經(jīng)濟(jì)和生活問(wèn)題，需要運(yùn)用行列式來(lái)分析求解。

三階行列式培養(yǎng)了求解線性方程組的基本思想和基本方法，將三階行列式的思想和方法應(yīng)用到多元線性方程組的求解中，是三階行列式存在的意義和使命。

本文從最簡(jiǎn)單的二階行列式開(kāi)始剖析三階行列式在行列式中的重要地位和作用。三階行列式是二階行列式的延伸，是高階行列式的起點(diǎn)，是求解高階行列式的突破口和基礎(chǔ)起始點(diǎn)。理解掌握三階行列式并運(yùn)用三階行列式的思想方法求解高階行列式，從而解決工程、科學(xué)、經(jīng)濟(jì)和生活中疑難線性方面的問(wèn)題，才是行列式最終的學(xué)習(xí)目的。

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作者簡(jiǎn)介：

張春紅，湖南省長(zhǎng)沙市，湖南科技職業(yè)學(xué)院。