不破不立，讓經驗在沖突中得到修正
——以一道圖形面積計算題為例

江蘇揚州市育才小學西區校（225000） 高 萍

圖1所示的題目是一道思辨性極強的圖形面積綜合題，學生在解題時錯誤頻現，其中出現最多的錯誤是第（2）問，大部分學生都是直接用手工紙的面積除以小樹的面積。為什么學生都不假思索地運用“手工紙的面積÷小樹的面積”的方法來計算呢？

圖1

從接觸除法迄今，但凡多邊形的面積分割問題，為了降低難度，一律是用“總面積÷單位面積=單位圖形數量”這一慣用方法就能解決。久而久之，學生形成路徑依賴，在心理上自動屏蔽其他可能，陷入慣性思維。由于思維定式，學生常用“整體面積除以單元面積”解決問題，而一遇到客觀上出現邊角余料，在幾何形態上不能剛好分成整份的情況時，就會無從下手。

對于這道題，筆者運用放低坡度、延宕步驟的辦法，讓學生體味思想方法的奇妙，幫助學生建立全新的活動經驗，修正和完善原有的經驗。

第一步，呈現題目（如圖1），提問：說說你是怎樣計算的？

學生的方法：總面積÷單元面積=單元數。

第二步，出示例題“手機代工廠要加工一批直角三角形鋼化膜，標準規格為底和高都是2厘米，剛引進一塊長1.3分米、寬0.4分米的長方形鋼化膜原料，至多可以加工成這樣的鋼化膜多少張？”。

通過畫圖，學生很快發現原有方法已經失效，于是在反思與探討中，補充和強調了原有方法的適用范圍，找到了之前錯誤產生的原因，并找到了正確的思路。

第三步：1.回歸母題“用一張長45cm、寬21cm的手工紙，能剪幾棵這樣的小樹？”，受到新思想的沖擊，學生得出了兩種方法。

對比兩種方法，學生認識到，第一種做法是等分法，但考慮到圖形拼接不能嚴絲合縫，也就是無法密鋪，所以這種做法行不通。第二種做法（教師課件出示圖2）比較浪費紙張，沒有有效利用空間。

圖2

圖3

2.教師引導：既然“橫”著排列浪費紙張，那豎著排列呢？（課件出示圖3）

師：小樹之間的間隙能不能利用起來？

生1：兩棵樹的樹冠之間的空隙剛好可剪成一個倒置的樹冠形狀，可以將另一棵小樹的樹冠倒插進來，填補空缺，嚴絲合縫。這樣，5棵小樹空出4個位置，還可以插入4棵小樹。

生2：咦！這不就是植樹問題的新版嗎？

生3：間距數=棵數－1。

生4：我知道了，這是運用了倒錯交疊法。

（教師課件出示圖4）

圖4

新方法的誕生、成熟，實際上就是對舊有思維經驗的革新與修正。從最初的“直接相除法”，到后來的“畫圖排布法”，再到最后的“倒錯交疊法”，課堂上學生邊操作、邊反思、邊總結，豐富了自身的體驗，充實、完善了自身的數學基本活動經驗。

綜上可知，作為教師，要妥善處理好“破”與“立”的關系，只有這樣，學生才能收獲豐厚的數學經驗。