關(guān)注思維 重在建模
——對(duì)“間隔排列”一課的另類思考及教學(xué)嘗試

江蘇海門市三和小學(xué)（216100） 黃 斌

“間隔排列”是蘇教版教材三年級(jí)上冊(cè)的教學(xué)內(nèi)容,被安排在“解決問題策略”這一單元的末尾，屬于數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中四項(xiàng)基本課程內(nèi)容之一的“探索規(guī)律”。

讀教材編排：淡化知識(shí)，重視經(jīng)驗(yàn)

教材安排了五個(gè)層次的學(xué)習(xí)活動(dòng)：通過對(duì)情境圖的觀察初步感知間隔排列這一現(xiàn)象；通過觀察、填表、比較、歸納等活動(dòng)，探索間隔排列的兩種物體數(shù)量之間的關(guān)系，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律；通過提問“為什么每排兩種物體的數(shù)量都相差1”引領(lǐng)學(xué)生深入思考、細(xì)致分析；操作并思考“如果把正方形和圓一個(gè)隔一個(gè)排成一行，正方形有10個(gè)，圓最少有幾個(gè)？最多呢？”，通過操作進(jìn)一步完善對(duì)間隔排列的兩種物體間數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)；回顧與反思，總結(jié)所獲得的知識(shí)，提煉習(xí)得的數(shù)學(xué)方法與思想。

教材編排強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主動(dòng)參與、經(jīng)歷過程、體驗(yàn)探索、積累經(jīng)驗(yàn)、收獲方法、領(lǐng)悟思想。

讀數(shù)學(xué)本身：結(jié)構(gòu)明顯，系統(tǒng)清晰

教材中提供的“間隔排列”的教學(xué)素材可以向兩方面拓展和延伸：一是“植樹問題”，二是“周期問題”。

從下表可以看出，教材更傾向于“植樹問題”，那么設(shè)計(jì)這節(jié)課時(shí)能否從“植樹問題”的角度整體考慮？教學(xué)能否做到深入淺出，從而適應(yīng)三年級(jí)學(xué)生的年齡特點(diǎn)和學(xué)習(xí)心理呢？

類型基本內(nèi)容“間隔排列”的教材內(nèi)容 教材圖片兩端都種樹（棵數(shù)比段數(shù)多1）教材的情境圖中是兔子與蘑菇的排列、手帕與夾子的排列、木樁與籬笆的排列。植樹問題一端種，一端不種（棵數(shù)和段數(shù)相等）教材組織學(xué)生操作并思考“如果把正方形和圓一個(gè)隔一個(gè)排成一行，正方形有10個(gè)，圓最少有幾個(gè)？最多呢？”圍成一圈（棵數(shù)和段數(shù)相等）未出現(xiàn)此內(nèi)容。 無

續(xù)表

讀學(xué)生經(jīng)驗(yàn)：能力具備，差異存在

為了解三年級(jí)學(xué)生目前的知識(shí)積累程度和思維能力水平，我選取直屬學(xué)校的三個(gè)班級(jí)共152人，以及鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校的兩個(gè)班級(jí)共98人進(jìn)行學(xué)前調(diào)研，結(jié)果如下。

［問題1］聽說過“植樹問題”嗎？

鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校：聽說過的占18%；直屬學(xué)校：聽說過的占25%。在教師初步解釋名詞后，表示見過此類題型或現(xiàn)象的學(xué)生各增加約40%。

［問題2］請(qǐng)說說下面兩個(gè)圖形按怎樣的規(guī)律排列？（圖略）

近100%的學(xué)生能找到規(guī)律，但語言表述不太完整；能用到“間隔”一詞的不到5%，少數(shù)學(xué)生能用“一個(gè)隔一個(gè)”來描述，有學(xué)生描述為“一個(gè)正方形和一個(gè)三角形一組一組出現(xiàn)的”。此題城鄉(xiāng)沒有顯著差異。

［問題3］下面三種排列方式有什么不一樣的地方？（圖略）

1.能說出圖（1）（2）是一直線排列，以及圖（3）是圍成一個(gè)圈的學(xué)生不少，有少數(shù)學(xué)生發(fā)現(xiàn)第（3）種排列是沒有“頭”的。此題城鄉(xiāng)沒有顯著差異。

2.在比較數(shù)量上，70%左右的學(xué)生能發(fā)現(xiàn)圖（1）的排列比圖（2）的排列多一個(gè)三角形，但很少有學(xué)生能把觀察的視角投向?qū)Ρ让拷M中三角形和正方形的個(gè)數(shù)，或者是找出三幅圖的數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系。在語言的描述上，直屬學(xué)校明顯優(yōu)于鄉(xiāng)鎮(zhèn)學(xué)校。

上述結(jié)果表明，三年級(jí)是學(xué)生發(fā)展思維水平的關(guān)鍵期和上升期，可以嘗試從整體出發(fā)的教學(xué)設(shè)計(jì)。

試整體設(shè)計(jì)：關(guān)注思維，重在建模

基于以上思考，我對(duì)這節(jié)課進(jìn)行重新設(shè)計(jì)，以“植樹問題”為知識(shí)背景，先把“一一間隔”的排列規(guī)律分為“兩端相同”“兩端不同”“兩端相連”三種情況，整體呈現(xiàn)在學(xué)生面前，再引導(dǎo)學(xué)生通過“畫一畫”“數(shù)一數(shù)”“圈一圈”探尋三種間隔排列中的規(guī)律及規(guī)律存在的原因。在整個(gè)學(xué)習(xí)過程中關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維，引導(dǎo)學(xué)生在觀察、比較、探索、推理、歸納的過程中自主建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。下面擇取部分課堂實(shí)錄與大家分享。

一、規(guī)律，明確“一一間隔”的意義

1.畫畫，初步發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師（帶領(lǐng)學(xué)生一起畫正方形和三角形，板書如：□△□△□）：你能按照這里出現(xiàn)的規(guī)律接著往后畫嗎？

師：看來大家都畫對(duì)了，這說明大家都找到了規(guī)律。說一說你找到了怎樣的規(guī)律。

師：像這樣，兩個(gè)圖形一個(gè)隔著一個(gè)排列，數(shù)學(xué)上叫“一一間隔”。

2.判斷，深入提煉概念

師：下面這個(gè)圖形是不是一一間隔呢？

生1：不是一一間隔。

師：為什么？

生1：圖形畫歪了，不是在一條直線上。

生2：我認(rèn)為是一一間隔。因?yàn)檎叫魏腿切芜€是一個(gè)間隔著一個(gè)排列的。

師：說得真好，掌握了規(guī)律的本質(zhì)才能做出正確的判斷。這是一一間隔排列。

師（出示圖形：）：這是一一間隔嗎？

生（齊）：是。

師：這可是和前面兩個(gè)不一樣了，正方形和三角形都圍成一個(gè)圈。

生3：但它們還是一個(gè)隔著一個(gè)排列的。

師：兩個(gè)圖形或者是兩個(gè)物體進(jìn)行排列，不管排成的是直線、曲線，還是圍成一個(gè)圈，只要是一個(gè)間隔著一個(gè)排列，就是一一間隔了。

二、分類，理解“一一間隔”的內(nèi)容

1.比較，進(jìn)行分類

師：這兩幅作品都是一一間隔，而且都排列成一條直線了，那有沒有不一樣的地方呢？

生1：個(gè)數(shù)不一樣。

生2：一個(gè)是兩邊都是正方形，一個(gè)的兩邊不一樣。

師：對(duì)，正如你們所說的，兩邊的圖形相同的一一間隔排列，數(shù)學(xué)上稱之為“兩端相同”。

2.判斷，引出第三類

師：看來，同樣是一一間隔排列，有兩端相同的情況，也有兩端不同的情況。請(qǐng)判斷下面物體的排列屬于哪一類。

生1：③是兩端不同。

師：請(qǐng)你來指一指兩端分別在哪里。

（生1挑選一個(gè)作為開始，另一個(gè)作為結(jié)尾）

生2：我認(rèn)為③沒有開始和結(jié)尾。

師：像這種情況，兩端已經(jīng)連在一起，形成了一個(gè)封閉的圖形。（板書：兩端相連，封閉）

師：其實(shí)“兩端相連”的情況和“兩端不同”的情況是有聯(lián)系的。（播放動(dòng)畫：“兩端不同”的情況彎曲變成一個(gè)圓，從而變化成“兩端相同”的情況。）

三、研究，尋找“一一間隔”的本質(zhì)

1.合作研究

PPT出示研究?jī)?nèi)容：一一間隔排列的兩個(gè)物體，個(gè)數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

指導(dǎo)研究方法：畫一畫、數(shù)一數(shù)、寫一寫結(jié)論。

小組合作完成表格：

類別 畫一畫 數(shù)一數(shù) 結(jié)論（兩種圖形的個(gè)數(shù)相差多少個(gè)）兩端相同兩端不同兩端相連

2．集體分享

生1：我們小組通過研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)“兩端相同”時(shí)，兩個(gè)圖形的個(gè)數(shù)相差1個(gè)；當(dāng)“兩端不同”時(shí)，兩個(gè)圖形的個(gè)數(shù)一樣多；當(dāng)“兩端相連”時(shí)，圖形的個(gè)數(shù)也一樣。

師：看來，不管你畫的是什么圖形，也不管你畫的圖形的個(gè)數(shù)有多少個(gè)，我們都得出了同樣的結(jié)論，正如剛才他們小組匯報(bào)的那樣。

3.一一對(duì)應(yīng)思想

師：“一一間隔”排列有這么三種情況，為什么能得到這些結(jié)論呢？

生1：因?yàn)榭梢园岩粋€(gè)正方形和一個(gè)三角形看作一組。（生1一邊說一邊在作品上圈一圈）

師：真不錯(cuò)，把每一個(gè)正方形和一個(gè)三角形組成一組，相當(dāng)于每一個(gè)正方形和每一個(gè)三角形對(duì)應(yīng)起來了。數(shù)學(xué)上把這種方法叫作“一一對(duì)應(yīng)”。（板書：一一對(duì)應(yīng)）

……

綜上，“整體思維、重在建模”一直是本節(jié)課設(shè)計(jì)的核心思想，不同水平的學(xué)生在本節(jié)課中體驗(yàn)著數(shù)學(xué)建模帶來的力量，享受著思維磨煉后帶來的成功的喜悅，這也正是我設(shè)計(jì)這節(jié)課所期盼的。