基于比例放大的聲波共振頻率測試方法

李致遠，陳楚林，王學文，方飛楊，李路軍，謝文科

(中南大學 物理與電子學院，湖南長沙，410083）

0 引言

共振是一個物理系統在特定頻率下比其他頻率以更大振幅振動的情形，聲波共振系統的共振頻率在物體質量檢測、損傷探測等領域具有重要意義[1,2]。聲波由振動產生，其傳播對物體產生的宏觀表現為物體振動，主要有簡諧振動、阻尼振動、等幅振動、受迫振動等[3,4]。共振是一個物理系統在特定頻率下比其他頻率以更大振幅振動的情形，屬于受迫振動，這些特定頻率即共振頻率[5,6]，本文以玻璃杯共振頻率為研究對象，提出一種基于比例放大的聲波共振頻率測試方法并進行了相關分析。

共振發生狀態下玻璃杯共振頻率與材質、高度、口徑、厚度、杯內水的量以及聲音頻率有關，由于材料和加工工藝等原因，發生共振時以最大振動幅度運動，但仍難以用常規方法探測[1,6]。針對這一特點，提出了光學比例放大法通過反射激光光斑在光屏上移動幅度將振動的幅度放大，從而反映振動玻璃杯共振最大位置，各個因子與共振現象的影響關系。

1 振動幅度測量的光學放大方法和原理分析

在周期持續性聲音下受迫振動發生時的系統激勵響應是定常性激勵，在定常性激勵下單自由度帶阻尼的系統的運動微分方程可寫作[5]：

其中0sinFtω為諧和激勵。

分析可知系統振動響應是阻尼振動、受迫振動兩部分的和，一部分是阻尼振動的響應，這部分隨時間增大而迅速衰減；另一部分受迫振動的響應可寫作[6]：

其中 h /F0，為定常響應振幅與激勵振幅之比，表征幅頻特性或稱增益函數；ψ為定常響應和激勵的相位差，表征相頻特性；ω為激勵頻率。

在小阻尼情況下，幅頻曲線具有單峰，對應于峰頂的頻率為系統的共振頻率。小阻尼情況時共振頻率與固有頻率差別不大，當激振頻率與固有頻率接近時，振幅急劇增加，產生共振。共振時系統的增益取極大值受迫振動最為激烈。不論阻尼大小，在ω處相位差ψ =π/2。這樣，可利用系統振動幅頻、相頻的特點開展聲音共振測量和分析。

定常聲波的周期性激勵迫使玻璃杯振動，杯壁的徑向振動由音源方向沿徑向朝玻璃杯中心傳播。當聲音停止后，玻璃杯振動迅速減弱，在此過程中可以認為玻璃杯做阻尼振動。由于玻璃杯的形狀不規則，無法直接計算出玻璃杯或裝有水的玻璃杯的固有頻率，可以通過控制變量法通過變化聲音頻率測量出玻璃振動的最大值。由振動理論可知，固有頻率ω與玻璃杯質量及玻璃杯壁的物理特性有關[5]：

式中C是與玻璃杯壁的物理特性有關量，m為有效質量。

控制變量法的影響如下：由于杯子的固有屬性無法改變，通過改變玻璃杯中液體有效質量m，改變玻璃杯的共振頻率發生變化。

針對玻璃杯壁振動極其微弱，幅度在約0.1-0.5mm之間的情況，通過光線的移動及反射鏡的旋轉從而放大旋轉的弧長，進而達到放大微小變化，如：彈性形變、微小振動等。通過懸掛的反射鏡接觸振動的玻璃杯將振動轉化成反射鏡的振動，通過反射光的光斑位移放大共振振幅，以最大振幅對應的頻率作為共振頻率。利用激光光斑共振振幅放大原理示意圖如圖1所示。

圖1 利用激光光斑共振振幅放大原理示意圖

將反射鏡輕觸在玻璃杯壁上，沒有振動時激光器反射的光原路返回，反射鏡隨玻璃振動而產生偏轉時，會造成反射光路相對垂直反射的角度發生偏轉，接收屏上光斑產生位移，位移大小可反映振動大小。根據反射定律，圖中的入射激光與反射光幾何關系，有：

其中d為光斑移動距離，x為反射鏡到光屏的距離，r為激光入射點與反射鏡轉軸的距離（即旋轉半徑），a為玻璃杯振動幅度,θ為反射鏡旋轉角度。

結合公式（5）、（6），可知 a、θ均為較小量，r、d、x 均為較大值且可測定。具有典型放大作用。因此，用刻度尺測量激光光斑的位移d等參數可反映玻璃杯振動情況，通過測量出玻璃杯振動最大值對應的頻率參數，可判定共振頻率。

2 測量系統設計和數據分析

根據控制變量法，光屏—反射鏡距離、測量裝置、聲源與玻璃杯距離、反射鏡旋轉半徑等參數保持不變，控制的變量包括：物理參數、蓄水量、聲音頻率等。實驗對象按照高度從大到小依次使用口徑分別為7.1cm、6.8cm、5.8cm、5.2cm分別標記為1號、2號、3號、4號，分別對應高度20.7cm、16.5cm、15.2cm、13.5cm。

激勵源采用華旗AP600型音響作為激勵源，主要技術指標如下，信噪比大于80dB、尺寸：248*215*98mm、峰值功率：400W、喇叭尺寸：6.5寸、高密度纖板材質。實驗選用DV/9V 2200毫安大功率音響。

激勵源聲信號控制軟件。通過C++編程開發控制所需特定頻率聲波的軟件。計算機通過音頻線與音響連接后將信號傳給喇叭放大音頻信號提供所需頻率的聲音激勵源，控制精度為1Hz，激勵源聲信號控制軟件界面如圖2所示。

圖2 激勵源聲信號控制軟件界面

反射鏡采用類平面鏡的材質，可反射激光且保持激光光斑形狀規則。光屏用來接收反射后的激光光斑，用刻度尺測量激光光斑位移及其他距離參數，用固定支架固定反射鏡。采用防風裝置避免實驗中反射鏡受到空氣流動的干擾減小實驗誤差。設計的測量系統裝置和場景如圖3所示。

圖3 實驗裝置和場景圖

3 共振現象及數據分析

針對典型參數做了大量玻璃杯共振實驗，實時記錄實驗數據并利用Origin 8和matlab軟件進行數據擬合分析。

反射鏡隨杯子振動而做往復的定軸旋轉，隨著反射鏡的旋轉，激光光斑產生明顯的移動，范圍是0-3.5cm。當聲音達到某一頻率時光斑移動距離有最大值，前期隨著聲音頻率的增加，光斑移動距離增大，達到共振頻率后移動距離隨頻率增加而減小。不同杯子的共振頻率不同，達到共振時的振動光斑的位移不同。激光光路和光斑的實驗現象如圖4所示。

圖4 激光光路及反射光斑實物圖

3.1 結果及其分析

針對不同水量與共振頻率的實驗得到時頻率—位移分布圖，其中1號杯子水量的部分時頻率—位移分布圖分別如圖5、圖6、圖7、圖8所示。

圖5 未裝水的時頻率—位移圖

圖6 裝1/4水量的時頻率—位移圖

圖7 裝1/2水量的時頻率—位移圖

圖8 裝滿水的時頻率—位移圖

圖中,頻率Frequency是播放的聲音頻率，距離Distance是激光反射后在光屏上的光斑移動幅度。根據所有數據分布擬合的第1號杯水量—共振頻率函數表達式為：

2號杯的水量—共振頻率函數關系式為：

3號杯的水量—頻率函數表達式為：

3.2 誤差和共振對相關量依賴規律分析

根據實驗誤差來源于軟件頻率不準確、響度不一致造成振動不同、反射鏡附近的空氣流動對懸掛的反射鏡的影響以及反射光斑大小對觀測記錄的影響。

聲音頻率的影響。利用測試—校準方法，根據音叉的發音頻率固定的特點，通過和選用440Hz的標準音叉頻率進行對程序的發音頻率進行校準。測試中作為對照。當程序輸入440Hz的指令時，音響發出的聲音頻率與同頻率的音叉相近，相差約2Hz。采取的校準方法與鋼琴調律過程中用音叉取“標準音”的原理相似。敲響音叉后，對比輸入同頻率的聲音，調制軟件至頻率相同，并以該頻率作為標準頻率。在編程過程中認為程序的發聲頻率與標準頻率的誤差則是定值，通過修改程序使得發聲頻率均為以音叉為基準的標準頻率。

響度的影響。同一頻率下響度不同時其振動幅度也不同，為了避免響度變量對實驗造成影響，測量時統一把音響響度調至最大，保證不同頻率下聲音響度一致，排除無關變量影響。

反射鏡附近空氣流動的影響。為了保證反射鏡能夠不受阻力地旋轉，采用懸掛式的方法，最大程度地減小反射鏡在旋轉時所受的阻力。盡量定的室內做實驗并使用防風罩等裝置減小空氣流動的影響。通過激光光斑位移測量無音源激勵下的反射鏡旋轉情況，發現不同情況下光斑移動最大不超過0.5cm，其中某時段的無音源激勵時反射光斑穩定性測試數據如表1所示。

表1 無音源激勵時光斑穩定性測試數據

根據實驗結果分析了玻璃杯共振對相關參量的依賴程度和規律，玻璃杯隨著聲音的振動激勵產生振動，在某一特定頻率下其振動有最大值，該頻率為共振頻率。共振現象與水量、高度、口徑、杯子質量以及聲音頻率有密切關系。隨著杯內液體的增加，共振頻率減小；隨著玻璃杯的高度增加，共振頻率減小；隨著玻璃杯的口徑增加，共振頻率減小；隨著玻璃杯的質量增加，共振頻率減小；共振現象與聲音響度、音色無明顯關系。

4 結論

利用比例放大方法對玻璃杯共振現象進行了實驗研究，分析了玻璃杯共振對相關參量的依賴程度和規律。提出了一種微小振動的測量方法，通過觀察激光反射后在光屏上的光斑移動幅度，解決了振動幅度小、難以探測的實際問題。針對典型情況下的實驗數據，利用Origin 8和matlab軟件進行了多項式擬合分析，開展了參量依賴性研究。

參考文獻

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