齒間動態載荷分配下的齒輪磨損分析

朱麗莎, 向磊, 鄒常青

(1.東北大學機械工程與自動化學院, 110819, 沈陽; 2. 肇慶學院機械與汽車工程學院, 526061, 廣東肇慶; 3.鞍鋼集團工程技術有限公司, 114021, 遼寧鞍山)

齒輪在傳遞動力的過程中會不可避免地發生摩擦磨損,雖然在最初的跑合過程中磨損是輕微無害的,但是隨著磨損量不斷累積,齒輪齒廓形狀及尺寸參數的變化會導致接觸環境的惡化,從而產生更大的齒間動態載荷,造成更加嚴重的輪齒失效形式。如果能減少磨損,將會降低齒輪的振動沖擊,延長齒輪的使用壽命。

在對直齒圓柱齒輪磨損的數值計算中,國內外學者普遍基于Archard磨損模型,只是在確定齒輪的嚙合載荷和齒面滑動距離時采用的方法不盡相同。例如:Anddersson通過齒輪幾何學理論得到了嚙合過程中滑動距離與嚙合位置的關系,其中雙齒嚙合時的載荷是平均分配的[1];Flodin等通過單點觀測法確定了滑動速度和嚙合壓力,在分配載荷時并未考慮時變嚙合剛度[2-3];Wu等考慮了齒輪動力學和彈性流體動力潤滑的影響,推導出齒輪磨損的計算公式,其中嚙合載荷為平均載荷[4];王曉筍和Kuang等研究了齒面累積磨損量對輪齒嚙合剛度的影響,并進行了動力學分析,在計算磨損時考慮的載荷為最大載荷[5-6];Liu等研究了磨損對齒輪動力學特性的影響,其磨損模型中采用的是平均壓力[7]。

在一個嚙合周期內,雙齒嚙合和單齒嚙合交替出現。在雙齒嚙合區中,2對嚙合齒輪副共同承擔法向載荷,如果只考慮彈性變形而不考慮誤差,可將2對嚙合齒輪副視為一對并聯彈簧進行載荷分配,此時只需考慮沿嚙合線上各對齒輪副的時變剛度。但是,低速重載齒輪由于存在磨損,不可避免地會在輪齒之間形成間隙,引起嚙合點偏離理想漸開線位置,因此,需要建立更符合實際的幾何側隙下的齒間載荷分配公式。

1 齒間載荷分配公式

以重合度1<ε<2為例,嚙合齒輪的受力情況如圖1所示。根據總載荷等于2對齒的承載力之和,有

W=W1+W2

(1)

式中:W為單位寬度的總法向力;W1為第1對齒輪副分擔的法向力;W2為第2對齒輪副分擔的法向力。

在圖1a中:et1

W1=k1(t)(x-et1)

(2)

W2=k2(t)(x-et2)

(3)

(a)et1

(b)et1>et2圖1 嚙合齒輪受力圖

聯立式(1)～式(3),可得載荷分配系數

(4)

2對齒輪副分別承擔的載荷為

(5)

在圖1b中,第2對齒輪先接觸,由于Δ>0,故在第1對齒輪副中產生間隙。此時,載荷分配系數

(6)

2對齒輪副分別承擔的載荷為

(7)

考慮齒輪磨損后,幾何側隙的表達式可進一步推導如下。

當嚙合點在圖2所示的B1C段時

|Δ|=|h1(y)+h2(y)-[h1(y+pb)+

h2(y+pb)]|

(8)

當嚙合點在DB2段時

|Δ|=|h1(y)+h2(y)-[h1(y-pb)+

h2(y-pb)]|

(9)

式中:y為接觸點i和節點i′沿著嚙合線的距離;h(y)為磨損深度;下角標1、2分別表示主動輪和從動輪。齒輪嚙合原理如圖2所示。

圖2 齒輪嚙合原理示意圖

2 直齒輪磨損預測數值模型

齒輪在高接觸壓力的作用下,相互嚙合的輪齒表面發生相對滾動和滑動。雖然大部分齒輪采用了油脂潤滑,但是潤滑狀態通常為邊界潤滑或混合潤滑,這表明嚙合表面不能被潤滑劑完全隔開,摩擦表面會產生金屬間的直接摩擦。此時,相互嚙合的輪齒表面在低速重載作用下,會形成材料的轉移以及表層金屬剝落,這種現象稱為齒輪的磨損。

基于廣義的Archard磨損方程

(10)

來模擬直齒輪的磨損,式中:V為材料的體積磨損量;S為相互嚙合齒面的滑動距離;W為施加的法向載荷;H為觀測表面的材料硬度;K為磨損因數,與潤滑狀態和磨損機理相關。

對于相互作用表面上的一個接觸點i,Archard磨損方程可以表示為

(11)

式中:h為磨損深度;k為磨損系數,與潤滑狀態、磨損機理、材料硬度相關;p為接觸點的壓力。

由于齒輪嚙合過程中磨損深度和滑動距離是實時變化的,因此式(11)可進一步轉化為一般形式的磨損模型,其微分形式為

(12)

由于滑動距離是滑動速度v和時間t的乘積,因此式(12)可轉化為

(13)

式(13)對時間t積分,可得到磨損表面上點i的磨損量

(14)

假定k是常數,并且在極短的時間內接觸點i的表面壓力pi和滑移速度vi保持不變,積分形式可轉化為如下形式

(15)

式中:n是當前磨損次數;Δt是時間步長;N是每次磨損運行間隔的轉數,在此期間齒輪輪廓將不進行更新;q是赫茲接觸半徑內的點數。

應用Winkler接觸模型[8],可確定接觸點i的表面壓力

(16)

式中:a為接觸半徑;x為點j到嚙合點i的距離;P為沿軸向施加的單位長度集中力載荷,由式(5)和式(7)確定;E*為等效彈性模量;R為2個圓柱的等效半徑。式(16)中的間接變量計算公式為

(17)

(18)

R1=ia1=rb1tanβ1i

(19)

R2=ia2=rb2tanβ2i

(20)

(21)

根據齒輪嚙合理論,可以確定接觸點i的滑動速度

vi=(ω1+ω2)yi

(22)

yi=ii′=rb1(tanβ1i-tanφ)=rb2(tanφ-tanβ2i)

(23)

以上各式中:E1、E2、μ1、μ2分別為主、從動輪對應的彈性模量和泊松比;rb1、rb2分別為主、從動輪的基圓半徑;β1i、β2i分別為嚙合點i在齒輪1和齒輪2上對應的壓力角;φ為嚙合角。這些參數如圖3所示。

圖3 嚙合點與節點位置關系圖

3 算 例

表1列出了齒輪對的參數,將其應用于漸開線精確建模的方程,可確定齒對單位寬度上時變嚙合剛度k(t)[9],結果如圖4所示。根據文獻[10]可知,嚙合剛度對早期齒面磨損不敏感,因此本文不考慮磨損對時變嚙合剛度的影響。

表1 齒輪參數

圖4 單、雙齒的時變嚙合剛度變化曲線

定義磨損次數為150,從第n-1次磨損到第n次磨損之間,齒輪轉過的轉數N=1 000,并且在1,2,…,N的任意一轉中,齒輪的輪廓是恒定的,嚙合點的壓力和速度都相等。

圖5和圖6所示分別為在經過n次磨損后,主動輪和從動輪齒廓上的磨損深度,為了便于圖形清晰,只給出了10,20,…,150次磨損后的結果。圖中:橫坐標代表嚙合點與節點間的距離,節點處的坐標值為0,負值表示基圓到節點段的嚙合點與節點間的距離,正值表示節點到齒頂圓段的嚙合點與節點間的距離;對應圖2所示的嚙合原理示意圖,B1點為嚙合起點,B2點為嚙合終點。

由圖5和圖6可知,節點處的磨損最小,齒根處的磨損大于齒頂的磨損,主動輪(小齒輪)的磨損大于從動輪(大齒輪)的磨損,這與文獻[11]得到的結論一致。

圖5 主動輪n次磨損后的磨損深度(n=10,20,…,150)

圖6 從動輪n次磨損后的磨損深度(n=10,20,…,150)

由于本文還考慮了時變嚙合剛度和齒間載荷分配的影響,所以在這2個因素的作用下,嚙合點在單雙齒嚙合區的轉換處沒有出現“斷崖式”的突變,而文獻[1]中當嚙合點處為平均壓力時,轉換處出現了突變現象。在單雙齒轉換處的磨損有微幅的波動,節點到齒頂的磨損分布較均勻,而齒根到節點的磨損變化較劇烈。

圖7所示為采用本文磨損模型和Flodin磨損模型,在同時考慮載荷分配時的主動輪磨損量分布,可見結果非常接近。Flodin磨損模型已通過試驗驗證[12],證明了其科學性和準確性。

圖7 主動輪第150次磨損后本文模型與Flodin模型的計算結果對比

圖8和圖9是磨損次數為150次時,考慮載荷分配和未考慮載荷分配的齒面磨損分布圖。由圖可知,齒輪磨損趨勢大體相同,但是磨損深度有所不同:在A點(即剛進入嚙合的位置),考慮載荷分配的磨損量小于未考慮載荷分配的磨損量;在B點(即單雙齒嚙合轉換的位置),考慮載荷分配的磨損量略大于未考慮載荷分配的磨損量。從動輪存在同樣趨勢,不再贅述。

圖8 主動輪第150次磨損后的磨損深度

圖9 從動輪第150次磨損后的磨損深度

圖10和圖11所示為主動輪嚙合位置A和B處的磨損量變化圖,從中可以看出:隨磨損次數的增加磨損量逐漸增大;在嚙合點A,考慮載荷分配的磨損量小于未考慮載荷分配的磨損量;在嚙合點B,考慮載荷分配的磨損量大于未考慮載荷分配的磨損量。從動輪的磨損情況存在同樣的趨勢。

圖10 嚙合點A的磨損量變化

圖11 嚙合點B的磨損量變化

圖12 n次磨損后齒對1的時變動態載荷(n=10,20,…,150)

由于在2個齒輪對的載荷分配過程中考慮了間隙和時變嚙合剛度的影響,所以由圖12和圖13所示的載荷圖可以看出:在剛進入嚙合時(嚙合位置A),齒對1承擔的載荷隨磨損次數先減小后增大,而不考慮載荷分配時齒對1承擔的載荷是恒定的,因此考慮載荷分配時的磨損量小;在單雙齒轉換處(嚙合位置B)動態載荷超過了平均載荷,因此考慮載荷分配時磨損量大;在快要嚙出時,齒對1承擔的載荷隨磨損次數先增大后減小,因此考慮載荷分配時的磨損量也呈現先增大后減小的趨勢。

從圖12和圖13還可以看出,隨著磨損次數的增加,載荷的波動幅值變大,在單雙齒轉換處的突變也越來越明顯。這是由于每次磨損后齒輪的間隙變大,從而引起載荷的重新分配,而載荷變大又會引起磨損量的增加,因此載荷和磨損是耦合增加的。

圖13 n次磨損后齒對2的時變動態載荷(n=10,20,…,150)

4 結 論

本文考慮了磨損對齒廓表面幾何形狀的影響,推導了幾何側隙下的齒間載荷分配公式,并以此為基礎,引入Archard磨損模型和Winkler彈性力學模型,建立了更加符合實際的低速重載齒輪的磨損量計算模型,以期為減小齒輪振動沖擊提供一種途徑。通過研究,得到以下結論:

(1)節點處的磨損最小,齒根處的磨損大于齒頂的磨損,主動輪(小齒輪)的磨損大于從動輪(大齒輪)的磨損;

(2)在單雙齒轉換處的磨損有緩慢微幅的波動,無突變現象;

(3)節點到齒頂的磨損分布較均勻,而齒根到節點的磨損變化較劇烈,因此重點應該關注齒根附近的磨損;

(4)隨著磨損次數增加,傳遞載荷波動變大,這又會進一步加大磨損量,因此兩者是耦合增加的。

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