采用俞茂宏統一強度理論求解套管的極限外壓強

田紅亮, 何孔德, 陳從平, 鐘先友, 郤能

(三峽大學機械與動力學院, 443002, 湖北宜昌)

強度理論用于判斷材料在復雜應力下是否遭受破壞。對于各向同性材料,強度理論可以表述為3個主應力的標量函數。某種強度理論是否成立,在什么條件下能夠成立,需要經受科學試驗和生產實踐的檢驗。1961年,西安交通大學的俞茂宏教授提出了雙剪應力屈服準則[1]和十二面體廣義雙剪應力強度理論[2];1985年,他在雙剪屈服準則的基礎上引入拉壓強度比α,提出了考慮拉壓強度差和靜水應力效應的廣義雙剪應力強度理論[3-4];1991年,他又在廣義雙剪強度理論的基礎上引入中間主應力系數b,提出了靜水應力型廣義雙剪應力屈服準則[5],從而創建了統一強度理論。俞茂宏統一強度理論的發展過程前后歷經了30年。令人感興趣的是,雖然各個階段從不同的數學建模方程出發,但是得出的數學方程十分相似,這些十分簡潔的表達式反映了它們之間的內在聯系:雙剪屈服準則是廣義雙剪強度理論在α=1時的特例,并且也是統一強度理論在b=1和α=1時的特例,而廣義雙剪強度理論則是統一強度理論在b=1時的特例。2002年,俞茂宏教授在著名的力學期刊《Applied Mechanics Reviews》上獨撰發表了關于材料強度理論進展的論文[6],篇幅達50頁之多。俞茂宏統一強度理論在強度理論的發展史上具有突出的貢獻,得到了國內外同行的高度評價。

本文基于俞茂宏統一強度理論,研究油氣井用套管的極限外壓強。油氣井的深度一般大于1 km,為保證安全生產及延長套管使用壽命,套管與地層間的空隙一般用水泥填充,套管、水泥以及地層三者間要緊密膠結。在油氣田開發過程中,苛刻的工況往往會使套管腐蝕加劇,從而給生產安全帶來隱患,可能造成生命財產損失和環境污染等問題[7]。受腐蝕及外壓力的相互作用,套管的服役安全面臨著嚴峻的挑戰,尤其對高溫高產油氣井,套管還面臨著高溫高壓的作用。多年以來,科技人員在試驗和理論上對套管的極限壓力進行了許多研究。例如:張微敬等為研究縱筋套筒擠壓連接的預制柱抗震性能,給出了偏心受壓承載力的計算表達式[8];楊睿月等采用蒙特卡羅方法預測了巖屑顆粒進入割縫篩管與連接油管之間環空的情況,并計算了環空中被巖屑顆粒堵塞的臨界參數[9];劉波等對TBM斜井圍巖應力場和滲流場進行耦合分析,基于統一強度理論對斜井圍巖進行彈塑性力學研究,考慮中間主應力、側壓力系數、斜井傾角和滲流作用的影響,推導出了TBM斜井襯砌和圍巖中應力、位移的解析表達式和塑性區半徑計算公式[10];朱瑞林等在分析熱應力與總應力特性的基礎上,得出了最佳設計條件,提出了基于第四強度理論的熱預應力自增強厚壁圓筒設計方法[11];陳梁等基于德魯克-普拉格屈服準則和非關聯流動法則,考慮中間主應力、塑性區彈性應變及巖體剪脹性的影響,推導了深部圓形巷道圍巖應力、變形及塑性區半徑的封閉解析解[12];Fang等計算了多層膠接套管的擠毀阻力[13];Deng等計算了套管的擠毀強度[14];劉奎等建立了套管在局部載荷作用下的應力計算模型,討論了局部載荷范圍、套管壁厚、套管外徑對現場使用的P110套管受力與變形的影響[15];李寧波等為研究部分豎向分布鋼筋套筒擠壓連接的預制剪力墻的抗震性能,完成了3個預制墻試件和1個現澆墻試件的擬靜力試驗[16];齊昌廣等考慮到路堤柔性荷載下剛性樁復合地基樁土存在沉降差,采用明德林應力解計算了塑料套管樁群在復合地基中產生的附加應力[17];曹雪葉等將凍結壁等效為彈性模量、黏聚力呈拋物線分布的功能梯度材料厚壁圓筒,基于統一強度理論并考慮中間主應力的影響,推導出了凍結壁的彈性極限荷載、彈塑性應力場及塑性極限荷載的解析解[18];Yin等預測了頁巖氣水平井中套管的壓強[19];Huang等基于精細減縮模量計算方法,研究了套管擠毀的臨界外壓強[20];Xu等推導了地下圓孔圍巖的統一強度理論解[21];Chen等基于大變形的彈塑性理論,提出了預測套管爆破壓強的三維有限元模型[22];Zhang等考慮了彈性參數的匹配,用有限元方法獲得了套管外壓強的分布規律和影響[23]。

分析以上文獻中套管極限壓強的研究成果,發現存在4個方面的不足:①對理論模型方面的研究尚不多見,現有文獻直接給出的公式大多缺乏實用性,理論上的原創性偏少,沒有根據套管極限壓強的產生機理構建其極限壓強的公式,不同文獻提出的理論公式存在相互矛盾或沖突;②有些假設和前提條件過于簡化、苛刻和牽強,例如假定材料在彈性和塑性階段皆為不可壓縮,即假定泊松比ν=1/2[24],實際上,由熱力學原理可以給出各向同性材料泊松比的取值范圍為-1≤ν≤1/2;③沒有嚴格區別閉端、開端和平面應變套管,應該分別解算這3種約束條件下的套管極限壓強;④沒有給出理論計算結果與公認權威試驗數據或自己試驗數據之間的絕對誤差和相對誤差。

本文采用俞茂宏統一強度理論分別求解了承受外壓強時閉端、開端和平面應變套管彈塑性極限外壓強的統一解,然后將理論計算結果與試驗值進行了對比,驗證了計算結果的準確性。

1 套管的彈性極限外壓強

物體由于發生彈性形變而產生的力稱為彈力。放在桌面上的水杯受到桌面對它的支持力,支持力是彈力;桌面受到水杯的壓力,壓力也是彈力。在物理學中,物體所受的壓力與受力面積之比稱為壓強。考慮一個承受外壓強p的套管,如圖1所示,其內、外半徑分別為ra和rb,塑性外邊界半徑為rp。

(b)彈性區和塑性區圖1 承受外壓強的套管

根據廣義虎克定律,套管在彈性階段的縱向應力

σz=Eεz+ν(σr+σθ)

(1)

式中:E為彈性模量;εz為縱向應變;σr為徑向正應力;σθ為環向正應力。

拉梅彈性應力解為

(2)

(3)

如果套管上作用有縱向載荷F,則軸向應力

(4)

套管的3種約束條件為

(5a)

F=0, 開端

(5b)

εz=0, 平面應變

(5c)

將式(5a)和(5b)分別代入式(4),得

(6a)

σz=0, 開端

(6b)

式中:k為套管的外內半徑比,k=rb/ra。

將式(2)(3)和(5c)代入式(1),得

(6c)

將式(2)(3)和(6a)代入式(1),得

(7a)

將式(2)(3)和(6b)代入式(1),得

(7b)

由式(4)與式(6c)相等,得

(7c)

由式(2)(3)和(6a)～(6c),得3種約束條件下的3個主應力

σ1=σr,σ2=σz,σ3=σθ, 閉端

(8)

由式(2)(3)(6a)和(8)得

(9a)

由式(2)(3)(6b)和(8)得

(9b)

由式(2)(3)(6c)和(8)得

(9c)

對于0≤α≤1,以下不等式恒成立

(10)

雙剪單元體由單剪單元體發展而來,其形成過程如圖2所示。

(a)主應力六面體單元體

(b)同時與σ1和σ3成45°的單剪六面體單元體

(c)同時與σ1和σ2成45°的單剪六面體單元體

(d)同時與σ2和σ3成45°的單剪六面體單元體

(e)在τ12作用時的雙剪正交八面體單元體

(f)在τ23作用時的雙剪正交八面體單元體

(g)三剪菱形十二面體單元體圖2 應力單元體的形成過程

俞茂宏統一強度理論的2個數學表達式[25]為

(11a)

(11b)

式中:σt為抗拉強度。

將式(8)和(9a)代入式(11a),得

(12a)

將式(8)和(9b)代入式(11a),得

(12b)

將式(8)和(9c)代入式(11a),得

(12c)

將式(2)和(3)代入式(12a),得

(13a)

將式(2)和(3)代入式(12b),得

(13b)

將式(2)和(3)代入式(12c),得

(13c)

令r=ra,由式(13a)～(13c),可得彈性極限外壓強分別為

(14a)

(14b)

(14c)

對于拉壓同性材料,α=1,由式(14a)得

(15a)

(15b)

(15c)

對于拉壓同性材料,α=1,由式(14b)和(14c)分別得

(16a)

(16b)

令人驚奇的是,式(15a)(16a)與(16b)是一致的。

經典第四強度理論的屈服準則為

(17)

將式(2)(3)(6a)和(8)代入式(17),得

(18a)

將式(2)(3)(6b)和(8)代入式(17),得

(18b)

將式(2)(3)(6c)和(8)代入式(17),得

(18c)

設r=ra,由式(18a)～(18c),可得經典第四強度理論的彈性極限外壓強分別為

(19a)

(19b)

(19c)

圖3 3種強度理論對應的極限跡線

2 套管的塑性極限外壓強

2.1 套管彈塑性階段的彈性區分析

當作用于套管的外壓強超過彈性極限外壓強pe時,在套管的內壁將開始出現塑性區,并向外部擴展。當塑性區達到套管外表面時,套管的外壓強達到最大值,即為塑性極限外壓強。如圖1b所示,彈性區的范圍為rp≤r≤rb,在彈性區的內壁作用有壓強pe,在外壁作用有壓強p。

拉梅彈性應力解為

(20)

(21)

將式(5c)(20)和(21)代入式(1),得

(22a)

σz=0, 開端

(22b)

(22c)

將式(8)(20)(21)和(22a)代入式(11a),得

(23a)

將式(8)(20)(21)和(22b)代入式(11a),得

(23b)

將式(8)(20)(21)和(22c)代入式(11a),得

(23c)

令r=rp,由式(23a)～(23c)分別得

(24a)

(24b)

(24c)

2.2 套管彈塑性階段的塑性區分析

如圖1b所示,塑性區的范圍為ra≤r≤rp,在塑性區的外壁作用有壓強pe。在極坐標中,將微元體所受各力投影到微元體中心的徑向軸上,得

(25)

由式(12a)～(12c)分別得

(26a)

(26b)

(26c)

將式(26a)代入式(25),得

(27a)

將式(26b)代入式(25),得

(27b)

將式(26c)代入式(25),得

(27c)

一階非齊次線性微分方程(27a)的通解為

(28a)

式中:C為任意常數。

一階非齊次線性微分方程(27b)的通解為

(28b)

一階非齊次線性微分方程(27c)的通解為

(28c)

邊界條件為

σr|r=ra=0

(29)

將式(28a)～(28c)分別代入式(29),得

(30a)

(30b)

(30c)

由式(30a)～(30c)分別得

(31a)

(31b)

(31c)

將式(31a)～(31c)分別代入式(28a)～(28c),得

(32a)

(32b)

(32c)

將式(32a)～(32c)分別代入式(26a)～(26c),得

(33a)

(33b)

(33c)

2.3 套管彈塑性階段的塑性區半徑

徑向正應力在塑性區半徑rp處的連續性為

σr|r=rp(彈性區)=σr|r=rp(塑性區)

(34)

將式(20)(24a)和(32a)代入式(34),得

(35a)

將式(20)(24b)和(32b)代入式(34),得

(35b)

將式(20)(24c)和(32c)代入式(34),得

(35c)

由式(35a)～(35c)分別得

閉端

(36a)

(36b)

(36c)

2.4 套管的塑性極限外壓強

當套管塑性區半徑rp達到套管的外半徑rb,即rp=rb時,套管處于完全塑性狀態,由式(36a)～(36c),可得塑性極限外壓強分別為

(37a)

(37b)

(37c)

將r=rb代入式(20)和(32a),也可得式(37a);將r=rb代入式(20)和(32b),也可得式(37b);將r=rb代入式(20)和(32c),亦可得式(37c)。

對于拉壓同性材料,α=1,由式(37a)得

pp=σtlnk, 閉端(b=0,第三強度理論)

(38a)

(38b)

(38c)

式(38c)比式(38a)的計算值大33.33%,式(38c)比式(38b)的計算值大15.47%。令人驚奇的是,這2個數據與對式(15)的分析結果一樣。俞茂宏統一強度理論與傳統的單剪強度理論相比能更好地發揮材料的強度潛力,應用于工程可以使材料和結構的強度潛力提高15%～33%,可取得顯著的經濟效益。

對拉壓同性材料,α=1,由式(37b)和(37c)得

pp=σtlnk, 開端(b=0,第三強度理論)

(39a)

pp=σtlnk, 平面應變(b=0,第三強度理論)

(39b)

同樣,式(38a)(39a)與式(39b)也一致。

3 套管極限外壓強的分析與討論

3.1 拉壓強度比對彈性極限外壓強的影響

令泊松比ν=0.3。圖4給出了一個外內半徑比k=2的套管的彈性極限外壓強與拉壓強度比α和中間主應力系數b的關系,可見彈性極限外壓強隨拉壓強度比的減小而增大,即抗壓強度與抗拉強度之差越大,彈性極限外壓強也越大;彈性極限外壓強隨中間主應力系數的增大而增大;開端套管的彈性極限外壓強最大,平面應變套管的次之,閉端套管的最小。

圖4 彈性極限外壓強與中間主應力系數的關系

3.2 外壓強對塑性區半徑的影響

(a)塑性區半徑與中間主應力系數的關系(α=0.8)

(b)塑性區半徑與拉壓強度比的關系(b=1/2)圖5 塑性區半徑與外壓強的關系

令泊松比ν=0.3。圖5給出了一個k=2的套管的rp與p、b、α的變化關系。由圖5可知,rp隨p的增大而增大。因為當rp=ra時,式(36a)變為式(14a),式(36b)變為式(14b),式(36c)變為式(14c),所以當p增大時,套管由彈性狀態進入彈塑性狀態,rp逐步從ra擴大到rb。由圖5a可見,在同類條件(閉端、開端或平面應變)和相同外壓強作用下,套管在b=1.0時的塑性區半徑最小,在b=0.1時的塑性區半徑最大;由圖5b可見,在同類條件下,α=0.6時的塑性區半徑最小,α=1.0時的塑性區半徑最大。

3.3 中間主應力系數對塑性極限外壓強的影響

(a)k=1.8

(b)k=2.0

(c)k=2.5

(d)k=3.0圖6 塑性極限外壓強與中間主應力系數的關系

圖7 本文計算值、ISO和API推薦數據與試驗值的對比

令泊松比ν=0.3。具有不同外內半徑比的套管的塑性極限外壓強與中間主應力系數的關系如圖6所示,可見塑性極限外壓強隨拉壓強度比的減小而增大,即抗壓強度與抗拉強度的差越大,塑性極限外壓強越大;隨外內半徑比的增大,在相同參數下,閉端、開端和平面應變套管塑性極限外壓強之間的差異增大。對比圖4與圖6b可知,套管的塑性極限外壓強大于彈性極限外壓強。

4 試驗驗證

圖7顯示了本文的塑性極限外壓強計算值、國際標準化組織(ISO)樣板數據[26]、美國石油協會(API)推薦數據[27]與試驗測試數據[28]的比較情況,可見本文的計算值最接近試驗值,而ISO和API的數據皆遠遠小于試驗值。通過分析可知,雙剪屈服準則對應公式(38c)的計算值可作為塑性極限外壓強設計的上限。

圖7中本文、ISO和API的塑性極限外壓強計算數據與試驗測試數據的相對誤差見表1,可見本文的計算值與試驗測試值之間的相對誤差在-4%～-9%的范圍內,相對誤差最小;ISO樣板數據與試驗測試值之間的相對誤差在-12%～-25%的范圍內,相對誤差較大;API推薦數據與試驗測試值之間的相對誤差在-17%～-30%的范圍內,相對誤差最大。

表1 本文和2個機構的塑性極限外壓強與試驗值的定量誤差

5 結 論

本文采用俞茂宏統一強度理論求解了承受外壓強時閉端、開端和平面應變套管彈塑性極限外壓強的統一解,分析了塑性區半徑的作用,獲得的具體結論如下。

(1)推導出了承受外壓強時閉端、開端和平面應變套管彈性與塑性極限外壓強的統一解。

(2)彈性極限外壓強隨拉壓強度比的減小而增大,隨中間主應力系數的增大而增大;開端套管的彈性極限外壓強最大,平面應變套管的次之,閉端套管的最小。

(3)塑性區的半徑隨外壓強的增大而增大;當外壓強增大時,套管由彈性狀態進入彈塑性狀態,塑性區的半徑逐步從內半徑擴大到外半徑。

(4)塑性極限外壓強隨拉壓強度比的減小而增大;隨外內半徑比的增大,在相同的統一強度理論參數下,閉端、開端和平面應變套管塑性極限外壓強之間的差異增大;套管的塑性極限外壓強大于彈性極限外壓強。

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