半群的開分性

摘要：本文對半群的開分性進行了討論，得到如下結論：如果半群S為無則半群，可生成一個奇半群，任意包半群對于半群的運算具有相容性，滿足全向分解條件.S的任意擴導半群都有與之對應的逆算，并且每個擴導半群都是全分解的，則半群S為一個開分半群.或者后面條件改為S中存在方向元，使得其對應的正則元具有向深性，S的任意擴導半群都有與之對應的逆算，則半群S亦為一個開分半群。

關鍵詞：開分性；可逆分解；奇半群；相容性

中圖分類號：O152.7文獻標識碼：A

本文將討論關于半群開分性的幾個問題。

定義：設B為半群S的可容包半群，對于半群的運算以及可容運算構成環，并且滿足開合逆算條件，如果對B進行S上的可逆分解，使B成為無限奇半群，如果半群S是這個奇半群的生成半群，則稱半群S為一個開分半群。

定理 1：如果半群S為無則半群，可生成一個奇半群，任意包半群對于半群的運算具有相容性，滿足全向分解條件.S的任意擴導半群都有與之對應的逆算，并且每個擴導半群都是全分解的，則半群S為一個開分半群。

證明：由于半群S為無則半群，則對S的任意擴導半群都至少有一個相鄰半群T，使得半群T與半群S的一個無則擴導半群的核都有偏則半群.設這個偏則半群為D，則D外必有無核擴導半群，并且無核擴導的商半群必有偏子群.滿足合得條件，因此半群S存在多個逆向非等擴導半群，且這些逆向非等擴導半群具有逆偏向性。

設BD，BΚD=S，則eKaD，

所以pD，qT，pq∈B。

因為S的任意逆向非等擴導半群都具有逆偏向性，設F為S的一個逆向非等擴導半群，

則由逆向非等擴導半群的一般性質，考慮到半群S為無則半群，滿足合得條件，知pq∈BΔDΠS，n＼m∈B，使得mn∈DF，

又由于mn為逆向元，故

g、hD，有gh≠pqΠf 。

由于S可生成一個奇半群，并且任意包半群對于半群的運算具有相容性，滿足全向分解條件.所以存在擴導半群T，使得T中存在自半群，設D為T中的自半群，則半群S中的存在相應的冪等半群B，對于半群的運算以及可容運算構成環，又因為

n＼m∈B，使得mn∈DF，

又由于S的任意擴導半群都有與之對應的逆算，而

BD，BΚD=S，g、hD，有gh≠pqΠf，

所以B為半群S的可容包半群，由于對于半群的運算以及可容運算構成環，從而D外的無則擴導半群T，使得mnΠT 。

因此S滿足開合逆算條件，又由于半群S為無則半群，所以，如果對B進行S上的可逆分解，B成為無限奇半群，而半群S是這個奇半群的生成半群，

因此半群S為一個開分半群。

定理 2：如果半群S為無則半群，可生成一個奇半群，任意包半群對于半群的運算具有相容性，滿足全向分解條件.S中存在方向元，使得其對應的正則元具有向深性，S的任意擴導半群都有與之對應的逆算，則半群S為一個開分半群。

證明：設半群S中存在方向元，使得其對應的正則元具有向深性，由于半群S為無則半群，所以半群S可分解為n個偏向子半群的逆向積，不妨設這n個偏向子半群為

T1，T2，…Tn，

而D為半群S的逆向非等擴導子半群，F為S的全向分解子半群，則

n＼m∈B，使得mn∈DF，

由于半群S為無則半群，則對S的任意擴導半群都至少有一個相鄰半群T，使得半群T與半群S的一個無則擴導半群的核都有偏則半群.設這個偏則半群為D，設偏向元p，則存在成子元q，使得

pq∈BΔDΠS，

由擴導半群的性質知，T1，T2，…Tn，可生成外向分和半群，又由于D外必有無核擴導半群，并且無核擴導的商半群必有偏子群.使得偏子群滿足可分條件.而S滿足合得條件，因此半群S存在多個逆向非等擴導半群，且這些逆向非等擴導半群具有逆偏向性.所以可以分離F的偏向元為成子元的積.從而使得F可分解為外向分和半群的積。

T外的任意擴導半群都有其對應的偏則半群，所以由擴導半群的性質知，逆向擴導半群存在相應的逆向生成半群.設D為T的一個逆向生成半群半群，則S中存在一個成子元a，對a進行有限次的偏向分解，使a可變為一個可逆向成子元，則a∈T，a在這一分解過程中保持其成子性不變。

下面證明如果對D進行S上的可逆分解，可使D成為無限奇半群，

因為半群S為無則半群，可生成一個奇半群，所以有逆向元存在偏向性，設a可變為一個可逆向成子元，設a1，a2，…anD是S中存在偏向性的逆向元，由此可產生的偏向元。則由偏向元的性質可以導出一列元b1，b2，…，bn.從而可以進行T與D的擴導，使得該擴導滿足偏向性.因為S為無則半群，所以b1，b2，…，bn是半群S的逆向元。由于每個擴導都有由逆向元生成，所以

aiTi，ai的包含元bi，使得biD，從而aiT1ΔT2Δ…ΔTn，

又因S存在多個逆向非等擴導半群，

所以a1，a2，…anD， 因此

a=a1a2…an，

因為b1，b2，…，bn是偏向元，所以有b1，b2，…，bnD，因此，如果設B為半群S的可容包半群，因為b1，b2，…，bn是偏向元，B對于半群的運算以及可容運算構成環，而

b1，b2，…，bnD。

由于任意包半群對于半群的運算具有相容性，滿足全向分解條件。S中存在方向元，使得其對應的正則元具有向深性，S的任意擴導半群都有與之對應的逆算，因此B滿足開合逆算條件，如果對B進行S上的可逆分解，則a=a1a2…an，故B成為無限奇半群，由偏向元的外向性，a可分解為逆向元的積.顯然半群S是這個奇半群的生成半群，因此半群S為一個開分半群。

參考文獻：

[1]Ponizovskii.J.S，Semigroup rings[J].Semigroup Forum，36（1987），146.

[2]馬晨江.關于半群的原單集[J].科技研究，2014，1，578.

[3]Howie.J.M，An Introduction to Semigroup Theory[M].Acedemic Press Inc.（London），1976.

作者簡介：馬晨江（1965），男，講師，碩士。