二項式定理

趙攀峰

二項式定理是中學數學的一個重要定理，不僅在初等數學學習中有著廣泛應用，而且又是學習概率、微積分等有關高等數學知識的重要基礎.

（1）二項式定理是恒等式，要注意公式的正用和逆用：從左往右用，可解決如整除性問題、余數問題、近似計算等；從右往左用，是把一個多項式合并，或者是一個求和公式，利用它可解決某些求和的問題.

（2）二項式系數、系數、常數項、項數等概念，需在平時加以對比分析，結合通項公式進行重點訓練.

（3）在熟練掌握二項式系數的所有性質的基礎上，要進一步掌握二項式系數有關性質的證明方法，其中最重要的方法是賦值法. 賦值法是解決二項展開式中有關系數問題的重要手段，許多復雜的與系數有關的問題均可利用賦值法解決.

■例1 在■+■8的展開式中，含x的非整數次冪的項的系數之和為（ ）

A. 72 B. 112 C. 184 D. 256

思索 根據二項式展開式的通項公式寫出通項，再進行整理化簡.由x的指數為整數，確定哪幾項是整數次冪的項，最后計算出非整數次冪的項的系數之和.

破解 Tr+1=C■■（■）8-r■r=C■■·x■，r=0，1，2，···，8，所以當r=0，4，8時，x的次冪是整數；且C■■=1，C■■=70，C■■=1. 又二項式展開式的所有項系數之和為28=256，故含x的非整數次冪的項的系數之和為256-1-1-70=184. 選項C正確.

■例2 已知x+■2x-■5的展開式中各項系數的和為2，則該展開式中常數項為________.

思索 首先，由x=1確定a的值，然后需要利用排列組合知識求解特定項.

破解 對于x+■2x-■5，令x=1，得a+1=2，a=1. 又知2x-■5的展開式的通項Tk+1=C■■（2x）5-k·-■k=Ck525-k×（-1）k×x5-2k. 要得到展開式的常數項，則x+■中的x與2x-■5的展開式中含■的項相乘，x+■中的■與2x-■5的展開式中含x的項相乘，故令5-2k=-1，得k=3；令5-2k=1得k=2. 從而可得常數項為C■■×22（-1）3+C■■×23×（-1）2=40.

變式練習

1. （x-y）（x+y）8的展開式中x2y7的系數為________.

2. 在■+■24的展開式中，x的冪指數是整數的項共有（ ）

A. 3項 B. 4項 C. 5項 D. 6項

3. C■■+C■■+···+C■■+···+C■■的值為（ ）

A. 2n B. 22n-1

C. 2n-1 D. 22n-1-1

4. 若ax2+■6的展開式中x3項的系數為20，則a2+b2的最小值為________.

參考答案

1. -20 2. C 3. D 4. 2endprint