該分則分

林麗娜

一、分類討論遵循原則

分類討論所包含的中心思想主要是指如何對問題進行合理分類，要做到合理分類，首先需要遵循四個基本原則：

（一）同一性

進行分類必須按照明確同一的標準，不能同時通過幾個不同的標準進行分類，否則思路會更加混亂。

例如：三角形主要分為銳角三角形、等腰直角三角形、等邊三角形、鈍角三角形

在對三角形進行分類時，不能按照邊分的同時又按照角進行分類，這樣很容易造成分類的混亂，從而影響解題思路。

（二）全面性

進行分類討論時必須考慮全面，主要指分類后子項的外延之和應等于母項的外延，而不能出現母項外延遺漏的現象。

例如，假如 為實數，

很明顯，分類后丟掉了 的情況，造成分類后子項的外延出現了遺漏，導致分類不完整。

（三）互斥性

分類后的每項都應互不包含，達到相互排斥，如果分類后出現一些事物既屬于這個范圍，又同時屬于那個范圍，這樣就造成子項外延重疊的現象。

例如，若 為實數，

這里， 被兩個范圍同時包含，這也就是違背了子項外延互斥性的原則。

（四）逐級性

簡單的數學問題可能只需要一次分類，相反復雜的數學問題則會需要多次進行分類。多次進行分類主要是因為被討論的對象較為復雜，需要將首次分類后的子項重新進行分類，直至滿足需要為止，從而達到能夠解決整個數學問題的目的。

例如，對方程 的解的討論，要進行多次分類討論。先對a是否等于0進行第一次分類討論，當a=0時，方程為一元一次方程，有唯一解。但 時又要分為 進行第二次分類討論。當 時，又要對兩個根的大小進行第三次分類討論。

二、不同問題中的分類討論

分類討論主要指的是將數學問題劃分為若干情況，然后逐一求解的過程。數學例題中求解過程的不確定性是引起分類討論的主要原因。如果問題中的條件不能夠使我們得到一個準確的答案或者沒有辦法求解釋，這就表明需要運用分類討論思想進行解答。分類討論思想解題的根本實質，主要指的是將整體這個大問題分解成幾個小問題來解決，化成小問題之后，就增加了問題的解題條件。這不僅與數學問題相關，還影響我們的現實生活，無論什么問題，都有可能因為有一定的變數從而使得結果模糊，但是當我們把變數一旦明晰化，就是增加了一個甚至多個解題條件，就可以得到確定的答案。

分類討論的基本要求是不重復、不遺漏。然而，初中數學中的分類討論問題往往是學生不容易掌握好的一類問題，從近幾年的中考閱卷中發現，學生在解此類問題時，常常是不知道要進行分類討論，或者知道了要分類討論卻考慮不周全，導致解答此類問題時得分率偏低。究其原因，主要是平時對“分類討論”的數學思想滲透不夠，學生對分類討論思想的運用不熟練。以下就四個常見的問題，分別舉例說明。

（一）、絕對值問題

絕對值是初中代數中的一個基本概念，在絕對值問題中主要是因為數不確定正負即表示數的點不確定在原點的哪一側而需要進行分類。

例1：已知甲數的絕對值是乙數絕對值的3倍，兩點之間的距離為12，求這兩個數；

分析：因為數軸上表示這兩個數的點不確定位置，所以應該分為在原點的同側或兩側，在這兩個分類中數都還要再分為正數或負數。

解：設甲數為m，乙數為n，由題意得：

（1）數軸上表示這兩數的點在原點兩側：

若m在原點左側，n在原點右側，即m<0，n>0，則 4n=12，所以n=3，m= -9。

若m在原點右側，n在原點左側，即m>0，n<0，則-4n=12，所以n=-3，m=9。

（2）數軸上表示這兩數的點在原點同側：

若m、n在原點左側，即m<0，n<0，則 -2n=12，所以 n=-6，m=-18。

若m、n在原點右側，即m>0，n>0，則 2n=12，所以 n=6，m=18。

綜上所述：這兩個數為3，-9或-3，9或-6，-18或6，18。

（二）、應用問題

在應用問題中，分類討論主要是由于變量的不同取值會導致不同結果。解決這類問題時，要做到分析清楚問題中變量在整個過程中會造成質變的臨界點，即變量的不同取值會對問題產生哪些不同的結果，把它們一一羅列出來，系統地分類，才能正確求解。

（三）方程問題

方程知識是初中數學知識的重點及基礎，它涉及到一元一次方程、二元一次方程組、一元二次方程，分式方程等，這些不同類型的方程之間又可以互相轉化。解此類問題的關鍵是理清概念，在解題時應注意概念的重要性。學生解此類問題的錯誤往住是由于不細心審題，沒有弄清已知條件中的各種可能情況而急于解題所造成。只有審清了題意，全面、系統地考慮問題，才可以確定出各種可能情況的分類框架，分類時也能做到條理清楚，解答此類問題就不易造成漏解。

例2：已知方程 。是關于 的一元二次方程，求 的值。

分析題意可得，指數 可以取不大于2的所有自然數，即2、1、0。

解：（1）當 時， 或 ，此時方程為 ；

（2）當 時， 或 ，此時方程為

（3）當 時， ，此時方程為

綜上所述， 的值為 ， ， ， 或

（四）、圓的問題

針對這種例題非常容易產生遺漏的現象，主要因為考慮不周全，聯想不到如何使用分類討論。正確解答此類問題的關鍵是必須熟悉符合條件的圖形的各種可能位置，緊扣條件，準確地畫出圖形。解決此種例題的關鍵是擁有熟練的畫圖能力和空間想象能力，平時應注意多操作、多探索，提高動手能力和實踐能力。

三、概括

初中數學的全部知識點都會需要運用分類討論思想，解題的關鍵首先要清楚分類的起因，知曉分類討論的對象以及分類的標準，按照所有可能出現的情況都要做好準確的分類，然后再分別求解，最后歸納綜合，從而得到正確答案。數學中的分類討論思想不僅可以培養學生思維的連貫性和有序性，更能夠培養學生完整細致地分析問題的習慣和探索問題的能力，從而對養成學生嚴謹的思維品質有較大益處。