淺析導數在高考數學中的應用

黃超

一、導數基礎知識

（一）導數定義

設 在點 有定義，在 自變數x的改變量是 相應函數的改變量是 ，若極限 = 存在，稱函數 在 可導（或存在導數），此極限稱為函數 在 的導數（或微商），表示為 或 ，即 或 。若極限不存在，稱函數 在 不可導。

（二）導數的幾何意義

函數 在點a處的導數 ，就是曲線 在點 處的切線斜率，即 。相應地，切線方程為 。

二、導數的基本公式

1.和、差、積、商的求導法則

，

，

。

2.反函數的導數

如果函數 在 內嚴格單調、可導，則它有反函數 ，當 時， 可導，且有 。

3.復合函數的導數

如果函數 在點 可導，而 在 可導，則復合函數 在點 可導，且其導數為： 。

三、導數在函數中的應用

1.利用導數圖像分析函數的圖像

分析函數的圖像是高中階段重要的學習內容，也是解決數學問題的一種重要方法。

例1，設 是 的導函數， 的圖像如圖1所示，則 的圖像可能是（ ）

例1利用導數圖像分析出原函數的圖像。 的圖像在 或 的區域上 ，那么在 或 的定義域上 是增函數；在 上函數 是減函數。從而可以排除ABD選項得到此題的答案C選項。通過這個例子我們可以發現利用導數的知識來判斷一些題目的圖像是非常好用的。

2.利用導數求函數的單調區間

在高中階段，函數的單調性一直是一個重點。利用導數不僅可以確定函數的單調性，還可以求出函數的單調區間。一般方法難以解決的題目，利用求導的方法可以輕松解答。

例2，設 ，求函數 的單調區間。

解：

當 時為增函數

即： 解得： 為增區間。

當 時為減函數 同理可得： 為減區間。

例2利用定義法確定該函數的單調性容易，然而要確定該函數的單調區間就比較困難。用求導的方法確定該函數的單調區間就比較簡便。令函數的導數 ，則求出的解為原函數的減區間；令 ，則求出的解為函數的增區間。

3.導數與函數的極值和最值的關系

在高考數學中，極值和最值問題一直都是重難點。在解決這一類問題的時候，要求學生具備較高的解題能力。許多解決此類問題的方法都有一定的局限性，這里可以用導數，使得解題過程變得簡單有序，也能使學生的解題過程具有嚴密的邏輯性。

例3，求函數 的極值及在 上的最值。

解：極值：

令 解得： （駐點）

當 時 當 時

是函數單調遞增區間 是單調遞減區間

所以：原函數在 處取得極大值

原函數在 處取得極小值

最值：

當 時 當 時

是函數單調遞增區間

是單調遞減區間

為函數的最大值 為函數的最小值

例3為一道較為復雜的極值問題，此題用導數的方法，可以很快得出正確答案。學生只需要對該函數進行求導，然后找到其駐點，利用草圖進行分析，從而確定該函數的極值點，再求出該函數的極值。許多類似的題目，用同樣的方法可以確定該函數的極值以及最值。

4.利用導數判斷函數奇偶性

利用導數不僅可以分析函數的單調性，也能分析函數的圖像，同時還可以利用導數判斷函數的奇偶性。在高考數學中，主要運用定理：“已知函數 在定義域內可導，若函數 為奇函數，則 為偶函數；若函數 為偶函數，則 為奇函數[5]。”來判斷。許多題目用定義法判斷其奇偶性比較困難，就可以利用該定理來解決。

例4：設函數 ，其中 ，則函數 是偶函數的充分必要條件是（ ）

本題用常規方法很難判斷出函數 是偶函數的充要條件。由題知 ，因為函數 是偶函數，則 為奇函數，∴ ，又當 時，即 ，此時有 ，代入 有 或 ，此時函數 是偶函數。

四、導數在不等式恒等問題中的應用

利用導數不僅可以將一些不常見的不等式問題轉化成我們常見的函數問題，而且利用導數可以確定函數單調性從而比較嚴密地得出結果。不僅解決了需要解決的問題，而且體現了嚴密的數學思維與邏輯性。

五、利用導數研究方程的根

利用導數研究方程的根，就是將原函數進行求導，轉化成二次方程，然后分析其極值，確定原函數的單調性以及單調區間，再結合圖像來分析判斷原方程根的情況。

六、導數在解析幾何中的應用

導數不僅可以解決許多代數問題，導數還可以應用到解析幾何中解決一些關于圖像切線的問題。這體現了導數在高考數學中應用廣泛，更體現了導數在高考數學中充當有力的工具。

七、導數在數列中的應用

導數在數列中也有一定的應用。利用導數能很好地解決一些特殊問題，既能避免了錯綜復雜的計算，還能提高了運算結果的準確性。

八、導數在實際問題中的應用

在日常生產和生活中，有很多優化問題。比如，在一定條件下的用料最省、利潤最大、強度最大、效率最高等問題。利用導數解決問題就更加重要了，導數是求最值的有力工具。

在高考數學中，導數始終充當著解決問題的有力工具，它從根本意義上體現了導數的數學價值。它既為學生提供了解決高考數學的新方法，也培養了學生在高考數學中辯證的思維能力。

通過本論文，可以讓學生更好地了解導數在高考數學中的應用，不難發現，雖然導數可以解決很多類型的題目，但其運用方法都萬變不離其宗。“導數的應用”這個知識點，具有重要的意義，而其中的奧秘和精髓依然值得更深更廣的挖掘。