讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)中的美

周宏光

內(nèi)容摘要： 本文用牛頓力學(xué)定律F=ma中的數(shù)學(xué)美作引子，先談一組奇妙等式、兩個(gè)數(shù)字黑洞的美妙，再談數(shù)形結(jié)合中的數(shù)學(xué)美、體現(xiàn)在建筑中的數(shù)學(xué)美，用概率與統(tǒng)計(jì)例子看現(xiàn)實(shí)生活中橫生的妙趣，最后用兩個(gè)數(shù)理邏輯悖論體會(huì)數(shù)學(xué)中的美不可妙言。

關(guān)鍵詞：欣賞 數(shù)學(xué)美

數(shù)學(xué)作為一種科學(xué)語(yǔ)言，是人類(lèi)“現(xiàn)代文明”的重要組成部分，其重要性不言而喻。數(shù)學(xué)中包含的美無(wú)處不在，可以這樣說(shuō)，哪里有數(shù)學(xué)，哪里就有美。中學(xué)生熟知的F=ma，牛頓用一個(gè)數(shù)學(xué)公式，就把大自然中難以捉摸的力學(xué)現(xiàn)象，描述得那樣的簡(jiǎn)潔、明了，進(jìn)而推動(dòng)了近代科學(xué)技術(shù)的大發(fā)展。我們可能體會(huì)不到牛頓發(fā)現(xiàn)這一偉大定律時(shí)內(nèi)心對(duì)美的享受，但是一定能體會(huì)得到這一數(shù)學(xué)公式的美。自然科學(xué)中用數(shù)學(xué)推演、描述的事就太多、太多了，要說(shuō)數(shù)學(xué)被譽(yù)為“科學(xué)之母”，在現(xiàn)代科技的發(fā)展中起著定海神針般的作用，一點(diǎn)也不夸張。

本文就從數(shù)學(xué)的角度探討讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)中的美。

10個(gè)數(shù)字，構(gòu)筑起一個(gè)無(wú)限真與美的王國(guó)，數(shù)學(xué)就是人造的宇宙。隨著新課程的實(shí)施，審美教育的范圍正日益廣泛地滲透到人類(lèi)社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域之中，人們不僅通過(guò)音樂(lè)、藝術(shù)，而且也通過(guò)自然美、社會(huì)美、科學(xué)美得到美的熏陶，美化精神境界。數(shù)學(xué)教學(xué)的目的之一，是應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的審美能力，這不僅有利于激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)科學(xué)的愛(ài)好，也有助于增長(zhǎng)他們的創(chuàng)造發(fā)明能力。

一、奇妙的數(shù)字世界

請(qǐng)看下面這些有趣的等式：

122=144，換一下次序：212=441；

同樣的數(shù)還有一串：1022=10404，2012=40401；

1122=12544，2112=44521；

1222=14884，2212=48841；

1132=12769，3112=96721；

還有更一般的形式：（100…02）2=100…04 00…04；

倒一下：（200…01）2=40…00 40…01

當(dāng)學(xué)生們看到這些，會(huì)馬上想到怎么這樣美妙？這是為

什么？這種數(shù)究竟有多少？這種對(duì)稱、和諧的“數(shù)學(xué)美”將很好地激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，埋下要探索的種子。還有更奇妙的“數(shù)學(xué)黑洞”精靈。 黑洞是物質(zhì)密度極大，引力極強(qiáng)，任何物質(zhì)（包括光線）經(jīng)過(guò)它的附近，都要被它吸引進(jìn)去，再也不能出來(lái)，因此它不發(fā)光，黑洞的名稱由此而來(lái)。在數(shù)學(xué)中也有這種神秘的黑洞現(xiàn)象，無(wú)論怎樣設(shè)值，在規(guī)定的處理法則下，最終都將得到固定的一個(gè)值，再也逃不出去了，就像宇宙中的黑洞一樣。

⑴123黑洞（即西西弗斯串）

數(shù)學(xué)中的123就跟英語(yǔ)中的ABC一樣平凡和簡(jiǎn)單。然而，按以下運(yùn)算順序，就可以觀察到這個(gè)最簡(jiǎn)單的黑洞值：設(shè)定一個(gè)任意數(shù)字串，數(shù)出這個(gè)數(shù)中的偶數(shù)個(gè)數(shù)，奇數(shù)個(gè)數(shù)，及這個(gè)數(shù)中所包含的所有位數(shù)的總數(shù)，

例如，1234567890，

偶：數(shù)出該數(shù)數(shù)字中的偶數(shù)個(gè)數(shù)，在本例中為2，4，6，8，0，總共有 5 個(gè)。

奇：數(shù)出該數(shù)數(shù)字中的奇數(shù)個(gè)數(shù)，在本例中為1，3，5，7，9，總共有 5 個(gè)。

總：數(shù)出該數(shù)數(shù)字的總個(gè)數(shù)，本例中為 10 個(gè)。

新數(shù)：將答案按 “偶-奇-總”的位序，排出得到新數(shù)為：5510。

重復(fù)：將新數(shù)5510按以上算法重復(fù)運(yùn)算，可得到新數(shù)：134。

重復(fù)：將新數(shù)134按以上算法重復(fù)運(yùn)算，可得到新數(shù)：123。

結(jié)論：對(duì)數(shù)1234567890，按上述算法，最后必得出123的結(jié)果，我們可以用計(jì)算機(jī)寫(xiě)出程序，測(cè)試出對(duì)任意一個(gè)數(shù)經(jīng)有限次重復(fù)后都會(huì)是123。換言之，任何數(shù)的最終結(jié)果都無(wú)法逃逸123黑洞。

（2）卡普雷卡爾黑洞（神奇的數(shù)字6174）

取任何一個(gè)4位數(shù)（4個(gè)數(shù)字均為同一個(gè)數(shù)字的例外），將組成該數(shù)的4個(gè)數(shù)字重新組合成可能的最大數(shù)和可能的最小數(shù)，再將兩者的差求出來(lái)；對(duì)此差值重復(fù)同樣的過(guò)程（例如：開(kāi)始時(shí)取數(shù)8028，最大的重新組合數(shù)為8820，最小的為0288，二者的差8532。重復(fù)上述過(guò)程得出8532-2358=6174），最后總是達(dá)到卡普雷卡爾黑洞：6174。稱之“黑洞”是指再繼續(xù)運(yùn)算，都重復(fù)這個(gè)數(shù)，“逃”不出去。把以上計(jì)算過(guò)程稱為卡普雷卡爾運(yùn)算，這個(gè)現(xiàn)象稱歸斂，其結(jié)果6174稱歸斂結(jié)果。

二、豐富多彩的圖形世界

難以想象的是，看來(lái)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)浇蹩贪宓臄?shù)學(xué)公式，竟然會(huì)與優(yōu)美的幾何圖形（如曲線）相映成趣，交織成大自然一幅幅絢麗無(wú)比的圖畫(huà)。例如，公式C = 2лR，司空見(jiàn)慣的圖形——圓，內(nèi)含的周長(zhǎng)與半徑有著異常簡(jiǎn)潔、和諧的關(guān)系，一個(gè)傳奇的數(shù)л把它們緊緊相連。河上架著的一座座橋，筆直地延伸不是省時(shí)又省力嗎？可人們偏要修成“九曲橋”“拱形橋”，為的是它不僅合于力學(xué)原則，還有觀賞價(jià)值。曲線不僅有柔和而流暢的外形，它還有豐富又深刻的內(nèi)涵和意蘊(yùn)——圓，完美無(wú)缺，無(wú)可非議；螺旋線蜿蜒伸拓，暗示著某種人生真諦；漸近線欲達(dá)而不能，激起人們不懈的追求。

比例與對(duì)稱的數(shù)量關(guān)系，以其天造地設(shè)的美感令人嘆為觀止。“黃金分割”是最美、最巧妙的比例。世界上許多著名建筑的構(gòu)圖都融入了“黃金分割”的匠心。如，法國(guó)的巴黎圣母院、中國(guó)的故宮、希臘人建造的莊嚴(yán)肅穆的帕提儂神廟、埃及的胡夫金字塔等等。

幾何圖形的對(duì)稱美成了造型藝術(shù)、建筑美學(xué)的基礎(chǔ)。雪花的對(duì)稱性就是大自然的杰作。在人類(lèi)賴以生存的建筑群中，幾乎處處都有美麗的對(duì)稱形圖案。古代皇宮中的壁畫(huà)，無(wú)不含有極為壯麗的對(duì)稱美。

三、妙趣橫生的概率與統(tǒng)計(jì)

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)居然與游戲、賭博有密不可分的關(guān)系。為什么有的人買(mǎi)彩票能中大獎(jiǎng)，而有的人卻一無(wú)所獲；拋一枚硬幣，落下時(shí)正面朝上還是反面朝上，誰(shuí)也沒(méi)法回答；但大量重復(fù)上述實(shí)驗(yàn)，正面朝上與反面朝上的幾率又各占一半，真是一個(gè)有趣的現(xiàn)象；輪盤(pán)賭博，撲克游戲充滿了不確定性，而又有無(wú)比的吸引力，讓許多人流連忘返；要對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，可隨機(jī)地抽取一部分樣本進(jìn)行檢驗(yàn)，以此推斷這批產(chǎn)品的質(zhì)量情況；這種用樣本估計(jì)總體的思想讓人久久玩味，其樂(lè)無(wú)窮。同桌兩人事先分別選定“奇數(shù)”和“偶數(shù)”，然后擲出兩枚骰子，并依據(jù)骰子點(diǎn)數(shù)之和的奇偶來(lái)決定勝負(fù)，你說(shuō)這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？這些問(wèn)題，真是令人興趣倍增。這難道還不美嗎？

四、幽默的數(shù)理邏輯

n2+ n + 72491（n是自然數(shù)），以 n = 1，2，3，…代入都表示一個(gè)質(zhì)數(shù)，那么一直無(wú)限代下去都對(duì)嗎？不對(duì)，當(dāng) n 取 72490 時(shí)，代數(shù)式的值就成了一個(gè)合數(shù)。推理產(chǎn)生障礙，所以用此方法進(jìn)行命題的一般性證明是靠不住的。然而，用“數(shù)學(xué)歸納法”就可以解決這一難題。“數(shù)學(xué)歸納法”以藝術(shù)般的結(jié)構(gòu)布局，流暢的線條與鮮明的層次，令人信服地證明了一個(gè)又一個(gè)的“無(wú)限型命題”，充盈著無(wú)懈可擊的推理美感。

然而，幽默的邏輯也會(huì)開(kāi)人們的玩笑。有個(gè)“難題”稱為“說(shuō)謊者悖論”，困擾著形式邏輯世界長(zhǎng)達(dá)2300多年。它具有最簡(jiǎn)單的形式：

⑴說(shuō)謊者悖論：

“我說(shuō)的這句話是謊話”———這是真話，還是謊話？

把它判作真話，則它是謊話。判作謊話呢？則它已申明了自己說(shuō)謊話，因此成了真話。真話？則又成了謊話……這就是數(shù)學(xué)推理中的悖論，悖論中富有美妙、多樣的情趣，極富幽默感。這是數(shù)學(xué)世界的喜劇。類(lèi)似的例子還有很多。

⑵阿喀琉斯（Achilles）悖論

芝諾說(shuō)，動(dòng)得最慢的物體不會(huì)被動(dòng)得最快的物體追上。

理由是追趕者首先應(yīng)該達(dá)到被追者出發(fā)之點(diǎn)，此時(shí)被追者已經(jīng)往前走了一段距離，因此被追者總是在追趕者前面。我們都知道動(dòng)得最慢的物體遲早會(huì)被動(dòng)得最快的物體追上，但是芝若說(shuō)的又有那么一點(diǎn)道理。

雖然如柏拉圖描述說(shuō)， 芝諾這樣的悖論， 是興之所至的小玩笑，但其中的美妙太折也磨人的思維___這是怎么一事呀？

無(wú)數(shù)事實(shí)證明：當(dāng)你以審美的視野轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)世界時(shí)，一個(gè)巧思云集、群芳斗妍的科學(xué)“伊甸園”就呈現(xiàn)于你的眼前。數(shù)學(xué)始終是美的，簡(jiǎn)單美、統(tǒng)一美、對(duì)稱美、秩序美奇異美等，無(wú)處不在，讓學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)中的美，它將激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的喜愛(ài)，激發(fā)要去探索的沖動(dòng)。