平移齊次化妙解定點定值問題

陳國宗?全紅盈

一、概述

圓錐曲線是歷年高考命題的重點與難點，而定點定值問題又始終在圓錐曲線的問題中占有一席之地，該問題對學生分析問題能力，知識綜合運用能力，數學運算能力與技巧要求較高.學生普遍存在計算不完或者計算不對的現象.為此，本文將介紹平移齊次化方法解決一類定點定值問題，以提高運算的效率與準確率.

二、例題分析

例1，已知 為拋物線 上異于原點 的兩點，設 分別為直線 的斜率且 .證明：直線 的斜率為定值.

解：設直線 與拋物線的交點 ，

設直線 的方程為 .

由 聯立得： 即

變形得：

又 ，即 即

直線 的斜率 .

點評：①上述解法的巧妙之處在于將條件中 與 的關系轉化為關于 （視為整體）的一元二次方程的兩根關系.

②將直線 的方程設為 是為了聯立拋物線方程后方便將方程中的各項補齊為二次式，進而轉化為關于 的一元二次方程.

例2，如圖1所示，已知橢圓 的右焦點為 ，點 及點 都在橢圓 上，若直線 與直線 的傾斜角互補.

（1）求橢圓 的標準方程；

（2）證明：直線 的斜率為定值.

解：（1）依題意 ，化簡得

解得 或 （舍去）

故橢圓 的標準方程為 .

（2）分別平移 軸，建立以 為原點的直角坐標系 ，如圖2所示

在直角坐標系 下：已知 ，設

設直線 方程為

易知橢圓 的方程為

變形得：

由

聯立得：

化簡變形得：

直線 與直線 的傾斜角互補，故

即

直線 的斜率為 .

易知直線在平移前后斜率不變，綜上所述：直線 的斜率為定值 .

點評：一是上述解法的核心在于對坐標軸進行平移，聯立直線與橢圓方程齊次化，最后轉化為關于 的一元二次方程的兩根關系問題.故我們稱上述方法為平移齊次化.

二是一般地，設 為圓錐曲線 上一點，由點 引傾斜角互補的兩弦 ，利用平移齊次化方法證明直線 斜率為定值的基本步驟為：

①平移坐標軸，建立以 為原點的新平面直角坐標系 .

②在直角坐標系 下，求得圓錐曲線 的方程為 ，并將直線 方程設為 .

③聯立直線與橢圓方程齊次化，將問題轉化為關于 的一元二次方程兩根關系問題.

三是解題過程中應注意到圓錐曲線 ： 的常數項為0，以及直線平移前后斜率不變的一般規律.

事實上，利用平移齊次化方法我們還可以得到一個更為一般的結論：設 為二次曲線（圓、橢圓、雙曲線） 上一點，由點 引傾斜角互補的兩弦 ，則直線 的斜率為定值 ，證明留給讀者.

三、結束語

以上是本人對平移齊次化方法在定點定值問題中的一些見解，通過文中的幾則實例，我們可以感受到該方法摒棄常規、獨辟蹊徑、解法高效.這也啟發我們學習數學應該要有敢于創新、勇于突破的精神，而非墨守成規、千篇一律.