把握環節 分析現狀 提高復習效率

曾中華

摘要： 高三復習中存在一種普遍現象，在對基本知識復習時，認為這些都已經學過，只是簡單地重復或羅列一遍；在習題講解過程中，重量輕質，即化大量精力和時間給學生演示問題的解答過程，輕視對問題的認識分析過程。

關鍵詞： 知識結構現狀；優化和重組知識結構；問題的閱讀理解；辯證的認識問題；解題方案設計；數學表達能力

高三復習課如何上？是每個高三教師所關注的問題，任何一節課總是有教學目的和教學過程所構成的。教學實踐表明：教學目的明確、教學過程中采用方法得當，是一節課成功的關鍵。高三復習課也不例外，雖然高三復習中最功利的做法是應試策略，但應試策略往往會使學生思維僵化，應變能力不強。同時在高三復習課中，有些教師把復習課上成習題課，讓學生大量重復練習，這樣做使學生的付出了很大的精力，但最后得到效果并不理想。從高考實踐中可以發現，許多成績不理想的同學并不因為缺少練習，而是不能有效組織和整理貯備知識，導致不能靈活運用所學知識，這從本質上講是沒有完整合理的知識結構，缺乏分析解決問題的能力。在高三復習課教學中怎樣才能讓學生形成合理的知識結構，有較強的分析問題和解決問題的能力？首先要明確把握高三數學復習過程，這個過程包括對基本知識復習與知識結構合理重組、問題的辯證認識過程、數學表達能力的培養，其次要重視在這三個環節上對學生現狀進行分析。本文就是在這三個環節上研究分析學生的現狀，探討研究如何提高高三復習效率。

一、知識結構現狀與復習策略

良好的知識結構應具有以下特點：全面性、深刻性、系統性、遷移性。對知識的理解首先是全面的，能知道哪些知識容易錯及錯誤的主要原因；其次是深刻的，不僅能熟悉結論，而且熟悉知識的形成過程；同時對知識的認識應該是系統的，能夠縱橫之間相互有機的聯系，還具有較強的把知識點遷移到具體問題的能力。

學生的知識結構又是怎樣呢？高三學生雖然已對高中知識和解題方法和規律有了一定的認識，但他們對知識、方法、規律的認識往往是不深入的。因此學生的知識結構往往具有以下特點：片面性、表面性、孤立性、呆板性。

例如：在一次測驗中我給學生出了如下問題：在一次抽樣分析中，要抽取一個樣本，分別采用簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣，每個個體被抽到的概率分別為 ，則 （分別用： 填空），結果有相當一部分同學填錯，究其原因，學生只知道采用同一種抽樣方法對每個個體被抽到的概率是相等的，明顯反映出學生對這三種抽樣方法不能全面系統地理解，更不能從一個高度上去認識一種科學合理的抽樣方法應具備的必要條件。

例如： ， 且 ， 關于點

對稱，圖象如右圖，求證： 。

學生對此題的雖然能從中心對稱一般方法去證明，但感覺較

復雜，我引導學生從特殊情況出發思考，如果一個函數是關于原

點 對稱，則此函數是奇函數，一定有 ，那

么要證明的問題是：函數 關于 對稱，那么能否對 實施變換使之變為奇函數，即關于 對稱呢？學生提出把函數向下平移 得到的函數 是奇函數，然后利用奇函數性質輕而易舉解決了問題！從這個問題上可以看出：學生對所學的知識遷移到具體問題上的能力不強！

合理重組知識結構，提高知識應用能力的復習對策：知識是解決問題的必要工具，是考查學生能力的載體。首先重視知識點的深化與相互聯系，其次要挖掘教材的內在邏輯體系，幫助學生優化和重組知識結構，同時培養學生把知識點遷移到具體問題的應用能力，使學生知識結構具有：全面性、系統性、深刻性、遷移性。對策實施方法：網絡與表格結合。

二、對問題認識的現狀與教學對策

G·波利亞提出的數學解題思維過程的四個階段，即弄清問題、擬定計劃、實現計劃和回顧。這四個階段的思維實質可以用下列八個字加以概括：理解、轉換、實施、反思。

對問題的認識是解決問題的前提，也是解決問題的關鍵，一個完整的認識問題的過程應包括：問題的閱讀理解、辯證的認識問題、解題方案設計。解決問題的操作過程如下圖：

在認識問題的各個過程中學生對問題的認識也存在很大的差異性，認識上的差異性最終導致對問題解決的差異性，即解決方法上的差異性和解決質量上的差異性。因此認真分析學生在認識問題上的現狀，采取有效的策略縮小差異性，切實提高學生能力是高三復習重要的一環。

2.1 1.問題閱讀理解的現狀與教學對策

G·波利亞在其名著《怎樣解題》中所列的“解題表”將“審題”作為解題的第一步，而審題是對命題語言的觀察、分析。問題的閱讀理解是解決問題的關鍵一步，主要包括對數學語言（主要包括文字語言、符號語言、圖象語言、表格語言）的理解聯系和隱含條件的發現。由于數學的高度概括性使得其抽象程度相對較高，因此學生往往對缺乏對數學語言的理解能力。

首先主要表現在各種數學語言之間相互轉化相互聯系的能力不強，以及對新的數學符號理解接受能力差。

例1 定義域和值域均為 （常數 ）的

函數 和 的圖像如圖所示，給

出下列四個命題：

（1）方程 有且僅有三個解；（2）方程 有且僅有三個解；

（3）方程 有且僅有九個解；（4）方程 有且僅有一個解。

其中正確的命題個數是

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

解答本題有些學生感覺毫無頭緒，障礙所在就是不能把圖象與圖象、圖象與符號進行有機聯系和相互轉換。又如：

例2（浙江2005高考理9）設 ，記 ，則 （ ）

（A）{0，3} （B）{1，2} （C）{3，4，5} （D）{1，2，6，7}

本題雖是一個選擇題，卻涉及符號多，僅集合符號就有六個！而且學生對兩個用新符號表示的集合 的理解是解決本題的困難所在。

其次在問題的閱讀理解過程中要重視隱含條件的把握，能合理把握和應用隱含條件能使解題簡化。

例3：已知函數 ，問是否存在實數 ，使 的定義域和值域分別為 。

分析一：這是一題定函數在動區間上的值域問題。由于 ，按常規思路，將要按三種情況： ； ； 結合二次函數圖象進行分類討論。

分析二：因為 ，而函數的值域為 ，隱含著： ，即 。所以函數的定義域受到 的制約，函數

圖象如圖所示：

顯然： 在 上是增函數，則題意有：

即存在實數 使函數 在定義域為 時，值域為

通過上面分析一和分析二的比較，分析二解法簡單明了，省去了復雜的討論！因此教師在講解例題的過程中經常要抓住這一環節，培養學生仔細觀察認真閱讀理解問題，深刻挖掘隱含條件，這樣做不僅為找到合理簡單的解題思路找到突破口，而且有利于培養學生的觀察能力，提高綜合分析能力，增強思維的深刻性，嚴密性！

提高學生數學語言能力的復習對策：（1）規范教師的課堂語言：教師是主導，學生是主體，教師的數學語言表達能力的優劣，不僅影響著學生對數學知識的吸收、學習的積極性和教學效果，而且直接影響著學生對數學語言的理解能力和應用能力；（2）加強學生閱讀理解能力的培養：抽象語言形象化，增強轉化能力； 隱晦語言通俗化，發展分析能力；（3）文字語言數學化，提高數學建模能力；（4）及時引進或設計一些新的符號，培養學生對新符號的接受和理解能力。

2.2 2.辯證的認識問題與教學對策

辯證的認識問題就是能從不同的角度去認識同一個問題，也就是認識問題要具有靈活性和合理性。辯證的認識問題的過程是解題思維的核心，是探索解題方向和途徑的積極嘗試的發現過程，是思維策略的選擇和調整過程，也是進行正確等價轉換的過程。學生對問題的認識往往缺乏靈活性，缺乏轉換的能力，不容易找到解題的突破口，解題思維易受阻。因此我在教學中特別重視培養學生對問題的辯證認識的能力，加強學生發散性思維訓練和想象能力的培養。

例如：當 時，已知 分別是方程 和 的解，則

（A） （B） （C） （D）0

學生一看到此題一籌莫展，無法下手。我在講解時重視分析我對問題的認識過程，幫助學生提高認識問題的能力，從而找到解題的突破口。如對此問題我是這樣分步引導的：

第一步：問學生你能確定是什么問題——方程問題

第二步：解決此題關鍵涉及方程中的什么問題——方程的解

第三步：求方程的解一般用什么方法——代數方法和幾何方法

第四步：如何求此題中的 ——用幾何方法

這時學生就找到了解題的突破口： 就是 與 的交點， 就是 與 的交點。，然后讓學生畫出圖形（如圖），

而且直線 與直線 互相垂直，它們的交點即兩曲線與 交點的中點，使使問題得到順利解決！又如：

例如：是否存在這樣的等差數列 ：它的首項為8，僅有一項 ，滿足

我讓學生解這個問題，結果大部分學生寫出： 代入 中，得到一元二次方程： ，想利用 來判斷，結果解題受阻！這個問題，雖然相關的知識點非常明確，但就是無法達到目的。我是這樣引導學生的：

第一步：你能做什么——能夠寫出等差數列的通項： ；

第二步： 和 象什么？——象直線和圓的方程；

第三步：問題中僅有一項的含義是什么——直線和圓相切；

第四步：如何判斷直線和圓相切——圓心到直線距離等于半徑。

因此，學生在此啟發下，引導學生得出如下解法：

解：設等差數列 符合要求，則 必須滿足： 和 ，其中 為公差。

設直線 ，圓C： 。則點 必是直線 與圓C唯一公共點，所以一定有： 。整理得： 必有實數解，但 表明方程無實解，

矛盾。因此符合題設條件的等差數列不存在。

教學對策：針對學生的實際情況，為了提高學生對問題辯證認識的能力，我在教學中幫助學生建立了如下的思考問題的思維模式（如下圖）：。

“是什么”：就是大部分數學問題，能通過理解分析后非常明確地確定與什么知識有關，而且能利用相關知識把問題解決。

“象什么”：就是有些數學問題，雖然與明顯的數學知識相關，但直接利用相關知識去解決，非常麻煩或無法解決。解決這類問題就需要想象能力，進行類比其它相關知識或相關問題去解決。

在教學中我堅持圍繞這個模式和學生一起重視認識問題的過程，學生有了正確有效的認識問題的基本方法，不僅能夠提高理解與認識問題的能力，而且也培養了學生的思維能力。

2.3 3.解題方案的設計與教學對策

所謂解題方案的設計，就是在辯證認識問題的基礎上對解題方法的選擇和解題過程的設計。有一個好的解法和一個合理的過程，是解題成功的關鍵。解題方法的選擇就是一個問題往往有幾種解法，就是要選擇一種我們最有把握和最簡便的方法去解答；解題過程的設計，就是要求能夠預見在解題過程中可能會遇到什么問題或困難，以及如何解決問題或困難。在這方面學生的現狀是比較欠缺的，對解決問題的方法選擇帶有盲目性。有些學生下筆前不認真考慮，解了一半后發現遇到無法解決的問題或困難，部分學生又重頭開始，這樣既浪費時間又影響了整潔性，而部分學生喪失了解題的信心，陷入了一種緊張混亂的情緒中，嚴重影響了整個考試過程和得分。

教學對策：解題方案的設計實際上是人腦的一種理性的思維活動，在辯證的認識問題的基礎上，首先認真分析解決問題的各種方法，其次能預見所采用方法在解題過程中會遇到什么問題或困難，能否解決所遇到的問題或困難。然后選擇一種自己所熟悉的方法，且能較順利地解決其中所遇到的問題或困難！

在教學中教師要引導學生在下筆前就進行理性思考，認真進行解題方案的設計。為了提高學生解題方案設計能力，我幫助學生建立了如下思維模式：

三、數學表達能力的現狀與教學對策

學習數學就要學會表達，表達是數學交流的基礎，也是學習數學的必備條件。表達能力強弱不僅表現一個學生數學語言能力的強弱，而且也表現出思維能力的強弱。因此數學表達能力的強弱在一定程度上反映出學生思維能力的高低和數學素養的層次。對一些表達能力不強的學生，就會出現對一些問題知道解法，但不能用自己的思想和準確的數學語言表達出來，影響考試成績。

在平時練習和作業中，一些學生的表達能力相當差，主要表現在以下幾個方面：

例如：已知函數 ，（1）求 ；（2）判斷 在 處是否否連續？（3）求出 的連續區間。這是我們組織的一次月考中的一個題目，（3）一般學生都能正確寫出兩個連續區間，但卻表達成 ，因表達錯誤而沒有得分。這反映出學生對知識表達缺乏準確性。

又例如：已知數列 滿足 ，若 。（1）求證： ， ；（2）求 的值。

這也是我校月考中的一個題目，是廣東卷第10題，原是一個選擇題改編的。大部分學生對（1）是采用數學歸納法證明的，主要錯誤是：①不能正確認識已知中的n與求證中的n取值范圍不同，在證明時錯誤認為 開始命題才成立；②在證明過程中：假設 ， 命題成立，則 時， ；③一般的同學由于（1）不會證，（2）也自然地放棄。

學生體現主要錯誤原因是：缺乏邏輯嚴密性。

書面表達是數學表達能力的一種重要形式，因此在書寫表達上應該做到：條理清晰，敘述簡潔；書寫整潔，格式規范”。有相當部分學生在作業和考試中，經常表現出“條理混亂，顛三倒四；書寫潦草，缺乏規范”。

提高學生數學表達能力復習對策：數學語言的書面表達能力對一個人來說不是一朝一夕能夠提高的，它是一個系統工程，因此在高三復習中要切實提高學生的表達能力應從以下幾方面著手：首先規范教師自身的課堂教學，給學生以示范。教師在給學生講解例題時，解題證明都要一絲不茍，數學語言表達要準確，運算或推理過程不僅要具嚴密的邏輯性而且格式要規范；其次在課堂上讓學生積極參與解題思路探索的同時，應給學生多動手的機會，多讓學生到在黑板上板演，通過師生共同活動找出其表達方面所存在的問題。同時要對學生課后作業必須精批細改，幫助學生克服解題表達中存在的問題。