數(shù)學(xué)例題教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維能力的策略

方良京

廣東省新課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出要進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，運(yùn)算能力，空間想象能力，以逐步形成運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)分析和解決問(wèn)題的能力。因此，如何通過(guò)數(shù)學(xué)的例題教學(xué)來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，是例題教學(xué)的關(guān)鍵問(wèn)題，對(duì)此，本人結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，談一談例題教

學(xué)的一些做法與看法。

一、例題教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)直覺(jué)思維能力的培養(yǎng)

布魯納認(rèn)為：“直覺(jué)思維是突如其來(lái)的領(lǐng)悟和理解，往往是在百思不得其解之后產(chǎn)生的”。但其前提是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)及其結(jié)構(gòu)的掌握，以及對(duì)問(wèn)題提出合理的猜測(cè)和假設(shè)，這樣一個(gè)人才得以放過(guò)個(gè)別細(xì)節(jié)而從突然領(lǐng)悟的方式中得到結(jié)果。

例1：計(jì)算

直覺(jué)告訴我們本例的結(jié)果可能也是一個(gè)含有階乘的表達(dá)式，而且是比n大的數(shù)的階乘。計(jì)算當(dāng) 1、2、3、4時(shí)表達(dá)式的值分別為1、5、23、119。這使我們發(fā)現(xiàn)，它們恰是2！-1，3！-1，4！-1，5！-1，于是，我們可作出猜想，前n項(xiàng)之和為（n+1）！-1，這一猜想是正確的，要加以證明也是不困難的。

二、例題教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)發(fā)散思維能力的培養(yǎng)

發(fā)散思維是根據(jù)所給問(wèn)題的條件，從多個(gè)方面分析、探索，以求得大量新穎思維結(jié)果的一種思維方式。在例題教學(xué)中，若僅滿足正確的求解，淺嘗輒止，例題的潛在功能就可能被淹沒(méi)，學(xué)生的求知意識(shí)也會(huì)引起泯滅。在教學(xué)中，可通過(guò)典型的一題多解、一題多變、一題多用來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性求異思維機(jī)制。從而使學(xué)生的發(fā)散思維能力得到提高。

例2：一條直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，且在兩坐標(biāo)軸上的截距和是6，求該直線的方程。

解析：解法一：設(shè)直線在 軸上的截距分別是 ，

（1）當(dāng) 時(shí)，設(shè)所求直線為 ，由已知得 ，解得： ，

此時(shí)直線方程為 .

（2）當(dāng) 中有一個(gè)是0時(shí)，直線方程分別為 ，它們均不滿足題設(shè)的另一條件“在兩坐標(biāo)軸的截距和是6”，因而舍去.

故所求的直線方程為 .

解法二：若所求直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線斜率為 ，在 軸上的截距為 ，

直線方程為 ，由題知： ，

解之得： ，

此時(shí)直線方程為 .

當(dāng) 或 不存在時(shí)，不合題意.

故所求的直線方程為 .

解法三：由題知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，且在兩坐標(biāo)軸上的截距和是6，顯然斜率存在，設(shè)直線方程為 ，不難求得該直線在 軸上的截距分別為 ，以下求解基本同解法二。

三、例題教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)逆向思維能力的培養(yǎng)

在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中，如果單純用一種思維方式去思考，有時(shí)會(huì)陷入困難境。在例題教學(xué)中，要善于引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)從不同的角度，不同方向思考問(wèn)題，順推不行時(shí)考慮逆推；直接解決不行時(shí)考慮間接解決。在解決問(wèn)題遇到障礙時(shí)，迅速轉(zhuǎn)變思維方向，尋找解決問(wèn)題的其他途徑，促使問(wèn)題得以解決。

例3：求證方程 無(wú)實(shí)根。

本題若用求根公式來(lái)討論，則運(yùn)算量大；若運(yùn)用逆向思維，考慮用反證法，則易如反掌。

證明：設(shè)原方程的兩根分別為 ，其中至少有一個(gè)整數(shù)根，不妨設(shè) 為整數(shù)根，由韋達(dá)定理得：

由①知 也是整數(shù)，由②知 必定都是奇數(shù)，而兩個(gè)奇數(shù)之和是偶數(shù)與①矛盾。故 不可能為整數(shù)，而原方程無(wú)整數(shù)根。

四、例題教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)創(chuàng)新思維能力的培養(yǎng)

荷蘭著名學(xué)者弗來(lái)登爾說(shuō)過(guò)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的唯一正確方法是實(shí)行“再創(chuàng)造”，也就是由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出需要學(xué)習(xí)的東西。教師在例題教學(xué)中若能應(yīng)用探索性問(wèn)題不斷加深問(wèn)題的層面，善于創(chuàng)設(shè)各種問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行創(chuàng)造性的思考，則有益于發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新能力。

例5：水池有甲、乙、丙、丁四根進(jìn)水管，若甲、乙、丙三管同時(shí)打開(kāi)，12分鐘可注滿水池；若乙、丙、丁三管同時(shí)打開(kāi)，15分鐘可注滿水池；若甲、丁兩管同時(shí)打開(kāi)，20分鐘可注滿水池；如果四管同時(shí)打開(kāi)，需要多少時(shí)間可注滿水池？

對(duì)于本例，常規(guī)的想法是設(shè)未知數(shù)，列出方程組去解題。但是這樣的解法比較傳統(tǒng)，并且學(xué)生解方程組也容易出錯(cuò)。此時(shí)，若教師引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)：兩個(gè)甲管、兩個(gè)乙管、兩個(gè)丙管、兩個(gè)丁管同時(shí)打開(kāi)一分鐘可注滿水池的 ，所以甲、乙、丙、丁同時(shí)打開(kāi)可注滿水池的 ，通過(guò)這樣的引導(dǎo)，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)注滿水池只需要10分鐘，問(wèn)題得到解決。

這個(gè)解法跳出了常規(guī)的列方程解應(yīng)用題的模式，根據(jù)題中的隱含條件，使解題過(guò)程簡(jiǎn)捷、流暢、易懂，經(jīng)過(guò)這樣的分析，有助于創(chuàng)新思維能力的形成。

總之，培養(yǎng)學(xué)生思維能力是一個(gè)復(fù)雜、漫長(zhǎng)的過(guò)程。教師應(yīng)潛心鉆研例題的特點(diǎn)與解法，通過(guò)有效的途徑加以引導(dǎo)，從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維能力的目的。