從古錢幣談幾何命題

付藝穎 付金雷

雨果說：“收藏家就是一批具有非凡毅力的普通人” .

收藏界“錢幣為大，硬幣為王” ，而價值不菲的硬幣，多是古今中外的金銀銅鐵硬幣，中國古錢幣是文化藝術寶庫中的一朵奇葩，萌芽于夏朝，殷朝得以廣泛發展至今四千多年，古錢幣設計思想精妙，將“天圓地方” 的宇宙觀溶于錢幣中，古錢幣能夠反映岀一個朝代一個民族在不同的社會環境政治背景下的文化，風俗，習慣，而古錢幣又以銅幣居多，特別是珍稀品，更是價值連城。我國古錢硬幣雖品種繁雜（如圖一） ，但大多數古錢幣外形是圓形中要么開一個正方形的小孔，要么開一個小圓孔，要么不開孔，就又用一個或多個圓組成，這為幾何命題提供了淵遠歷史背景，古人做人崇尚花好月圓，福祿壽喜俱全與花好月圓的大團圓并成人之美，做事堂堂正正，可方可圓，而初中平面幾何亦覆蓋做事為人內涵，點、線、三角形、四邊形、相似形又在圓中“大團圓” 而 完美收官，下面就從眾多古錢幣中遴選幾種作幾何命題探究，以饗讀者。

1·“五帝錢”

五帝錢，是指清朝順治、康熙、雍正、乾隆、嘉慶五個皇帝在位時發行的貨幣。五帝處于中國國力最強大的年代，時代相連，國運昌盛，社會安定繁榮，帝王獨尊，百姓樂業，錢幣鑄造精良，流通時久，得“天、地、人”之精氣，故能鎮宅、化煞，并兼具旺財功能。以元寶，重寶，通寶為例構建命題這五位皇帝用的“方孔”錢和大多其他古錢一樣都是，同心圓中開一個正方形的孔。（如圖二） 會構建命題：

（1） 一枚圓形方孔錢（如圖二）的外圓直徑為a，中間方孔邊長為b，則圓中實體面積為？（ ）。

（2） 某仿古錢幣直徑為4cm，錢幣內孔邊緣恰好是圓心在錢幣外緣均勻分布的等弧（如圖三）.求錢幣在桌面上能覆蓋的面積為多少？（10.84cm2）。

（3） 如圖四，一枚直徑為4cm的中華民國古錢幣沿著直線滾動一周，圓心移動的距離是？（4 cm）

（預設命題） 這個正方形有一個與錢幣圓同心的外接圓。

（再命題1） 如果畫岀這個正方形的對角線（如圖五），那么∠OAB=45°，∠OBA=45°，于是A、B、B、A四點共圓，同理可證B、C、C、B，C、D、D、C，D、A、A、D，都分別共圓。

（命題2變式） 現在，我們把上述問題變換如下：

如圖六，若以下各組點都共圓：（1） A、B、B、A（2） B、C、C、B（3） C、D、D、C（4） D、A、A、D（5） A、B、C、D，那么（6） A、B、C、D仍然共圓嗎？（四邊形ABCD不一定是正方形）

證明：∵A、B、B、A共圓 ∴∠1=∠AAB ，

∵B、C、C、B共圓 ∴∠2=∠CCB，

∵C、D、D、C共圓 ∴∠3=∠CCB

∵D、A、A、D共圓 ∴∠4=∠AAD

∴∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4=∠DAB + ∠BCD

又∵A、B、C、D共圓 ∴∠DAB+∠BCD=180°

∴∠1+∠2+∠3+∠4=180° ∴A、B、C、D共圓

（命題3推論） 六組四點共圓，若有其中任何五組共圓，則最后一組四點必共圓。

2·“孫小頭”

1912年是中華民國成立的開始，為了紀念這件翻天覆地的大事，國民政府決定鑄銀元紀念。1912年的民元國會。選舉孫中山為第一領導人。鑄造的首批銀元以孫中山頭像為背景圖案。 開國紀念幣為例實心同心圓，如圖七作命題構想

（命題4）如圖七，（1）內圓S1和圓環S2，S3有相同的圓心，且小圓S1和圓環S2，S3面積相等， 又S1，S2，S3對應的半徑分別為R1，R2，R3則 =________ .（3）

（2） 若兩條R2互相垂直，和圓環相交四點組成等腰梯形面積為25cm2，，則圓環的面積為多少？（50cm2）

3. “四川銅幣”

民國時期發行的一種貨幣。銅幣是機器鑄造的，少量翻砂造，銅元數量很大，是很重要的一個品類，甚至可以說是民國銅元的主體品種。1911年辛亥革命勝利后，清帝退位，中華民國成立，中華民國開國紀念幣是由民國政府發行的一款紀念銅錢，正面“軍政府造”字樣，背面背“漢” 或交叉龍旗。銅幣當時面值以當十、當二十，當五十，當一百為主，多數實心，尤其有大大小小的圓。

如圖八 為例18個實心圓圈居多，因軍閥混戰，由于此古錢幣為機制幣，存在人為或模具磨損而岀現“錯幣” 和“殘幣” ，比如岀現圖五的“月牙兒幣” 成為“趣味幣” ，從而構建命題，多個實心圓

（1）（趣味幣命題5） 如圖八所示，在大圓周上有16個小圓圈，小明將其中一些不相鄰的小圓圈涂成紅色，這時無論再將哪個小圓圈涂成紅色，都會使圓周上岀現兩個相鄰的紅色小圓圈，問小明最少涂紅了幾個小圓圈？（6個）

（2） （月牙兒錯幣命題6）如圖九所示，在圓O中，弧ADB =90°，弦AB=a，以B為圓心，BA為半徑畫圓弧交于圓O于另一點C，則由兩條圓弧所圍成的月亮形（圖中陰影部分） 的面積s=？（ ）

4. “花錢”

花錢源于漢代，花錢在早期是漢族民間自娛自樂的一種玩錢，這種錢幣由于不是流通錢，因此它的材質和工藝大都比較粗糙。“花錢”雖然具有錢幣的形態，但不作流通使用，是錢幣中的“非正用品”。漢族民間花錢的種類繁多，五花八門，諸如開爐、鎮庫、饋贈、祝福、等等都要鑄錢，這種“錢”，其實是專供某種需要的辟邪品、吉利品、紀念品，風花雪月品。其中“吉語錢”是比較普遍的一類花錢。主要以“長命富貴”、“福德長壽”、“加官進祿”、 “天下太平”等吉語為內容，這同時也反應了中國傳統文化的滲透力。其珍稀美勝過官局制錢幣，這一實一空同心圓構建命題。

（命題7）有兩個半徑差為2cm的圓，它們各有一個內接正十二邊形（如圖十）所示，已知陰影部分的面積是2016cm2，請問小圓的半徑是多少？（167cm）

5. “刀幣”

春秋晚期至戰國時期的燕國、齊國、趙國、中山國所通行的刀類貨幣 ，外形由同心圓和曲多邊形組成，象一把“鑰匙” ，構建命題。

（命題8）如圖十二<1>若圓內接六邊形ABCDEF對邊CD//AF，對邊AB，ED延長交于M，BC，FE延長交于N，則MN//CD.

事實上，本命題對于六邊形ABCDEF不是凸六邊形，六邊形發生相交的情況亦是成立的。由此可演變出21個命題，下面選擇幾個羅列如下，它們證明方法羅列基本相同，不再一一寫出，其余命題留作讀后探究。

變式1：圓內接六邊形ABCDEF的對角線AF與CD平行，對角線AB，DE交于M，BC，EF交于N，則MN//CD. （圖十二<2>）

變式2： 圓內接六邊形ABCDEF邊CD//AF，對角線MN//CD。（圖十二<3>）

變式3：圓內接六邊形AECDBF對邊CD//AF，對角線AB，ED延長線交于M，BC、FE延長交于N，則MN//CD. （圖十二<4>）

變式4： 圓內接六邊形ABEFCD對角線AF//DC，對角線DE與邊AB延長交于N，則MN//CD. （圖十二<5>）

變式5：圓內接六邊形ABDCFE對角線AF//DC，對角線ED與邊AB延長交于M，對角線BC與EF延長交于N，則MN//DC。（圖十二<6>）

變式1-5中，若仍看作六邊形ABCDEF，則它不再是凸六邊形，而回到命題8的形式。

不勝枚舉，幾千年古今中外硬幣不計其數，從古錢幣看幾何圖歷史悠久，作圖題，對稱美，運動，點的軌跡無一不覆蓋，建模命題也會取之不盡，用之不竭而豐富多彩，由模主要聯想圓與圓位置關系及圓與正多邊形關系，真是生活處處皆學問，古錢價值幾何中有無限的幾何呀！