數形結合方法中體現的美學思想

孫喜陸

一直以來，人們在學習數學時，往往很容易進入這樣一個誤區，認為數學只是一門枯燥乏味的工具性學科，只注重其實用原則，卻忽略了其美學原則。通過對初中學生的數學課堂學習表現以及學習動機的調查，我們發現很多學生學習數學僅僅是為了應付考試，本身對數學并沒有什么興趣，顯然這與我們所提倡的新課程教育理念相違背。眾所周知，喜歡美好的事物是人類的天性，人們在實際生活中也都傾向于追求美麗的事物，這對我們的數學教育工作者開展數學教學而言也是一種啟發。初中教師在課堂教學中，一定要注重將實用性原則與美學原則相結合，在傳授學生基本的解題能力的同時，還應當引導學生去發現數學之美，培養學生對數學的學習興趣。數形結合的美主要體現在數與形二者的統一美與簡潔美，我國著名的宋代數學家楊輝在推導三角形面積公式時，就巧妙運用了數形結合的思想，在其所著的書中，我們既能夠欣賞到數學之美，也能夠深刻領會到數形結合、對稱思想等多種數學研究思想，以及數形之間的統一協調美。

我國著名數學家華羅庚于1964年在其科普小冊子《談談與蜂房結構有關的數學問題》一文中，在討論蜂房結構時最早提及了“數形結合”一詞。如蜂窩的表面是有許多個正六邊形組成的，形狀緊湊而復雜，那么蜜蜂為何會選擇使用六邊形這種圖案而不是正三角形、正四邊形等圖案來建造蜂窩，這個問題引發了人們的思考。

眾所周知，在所有的正多邊形中，能夠進行自鑲嵌的只有正三角形、正方形以及正六邊形三種，從面積角度來看，如果規定一定的面積，那么正六邊形的周長最小，結合蜂蜜筑巢的實際情況，即在確保同樣的儲存面積時，將巢穴建成六邊形所需花費的材料最少，顯然蜜蜂并沒有學過數學，更不懂什么叫做鑲嵌理論，這讓人們不得不感嘆于蜜蜂這種神奇的建筑能力。

我們將畢達哥拉斯定理以及黃金分割定理稱為幾何學的兩大研究瑰寶，如果說前者是金礦的話，那么后者則是鉆石礦，可見其在數學幾何學研究中的重要價值，黃金分割定理完美地呈現了數形結合的統一美。

黃金分割定理在現實生活中的應用十分廣泛，尤其是繪畫藝術創作中，很多作家在進行創作時都會運用到黃金分割定理來增加作品在視覺上的和諧感與美感，例如由米洛創作的“維納斯”、達·芬奇的《蒙娜麗莎的微笑》、《最后的晚餐》等，都使用了黃金分割定理。

此外，黃金分割定理在大自然界中也有著奇妙的體現，例如海螺、蝸牛的外殼與對數螺線非常接近，并且是有多個黃金矩形所組成的黃金螺線。

所謂的黃金矩形就是長與寬之比剛好等于黃金比例的矩形，在一個矩形中，理論上，可以作出無限個黃金矩形，用圓規在黃金矩形中正方形部分里作四分之一圓弧，將這些弧線連接起來形成一條連貫的曲線，我們將這條曲線叫做黃金螺。

由于對數螺線的切線與螺線半徑所形成的角都是互相全等的角，所以，對數螺線又叫等角螺線。如果動點極徑的對數與其極角之間存在著正比例關系，則動點的運動軌跡即為一條對數螺線，其極坐標方程為：

或

上式中，角 以等差數列的規律增大或減小，而 則依等比數列而變化。

科學家研究表明，當腿長與身高的比例接近黃金比例即 時，身材看起來是最美的，這也是為什么現代很多女性會喜歡穿高跟鞋，就是為了在視覺上拉長雙腿，使腿長身高比更加接近于黃金比例。可見數形結合的美除了在大自然中也有著不可言喻的神奇體現，還滲透進我們日常生活中的各個方面，與生產制造以及人們的行為活動密切相關。

數與形思想中的簡潔美主要是指解題方法、邏輯以及結果的簡潔性。教師在教學過程中，經常會稱贊某種解題方法“非常漂亮”，這里所說的漂亮就是指解題方法既巧妙又簡潔，例如在有理數一章中，經常會遇到這種類型的題目：

例1 如果 試將 按由小到大的順序排列。

解法一： 且 ，

解法二：根據題意，畫一條數軸，將a和b分別表示出來，而 即為a，b關于原點在數軸上的對稱點，四者之間的關系一目了然，如圖所示：

在課堂中，大多數同學通常想到的都是解法一，經過教師講解了解法二之后，不少同學都紛紛表示非常驚奇，感嘆于這種運用數形結合思想來解題的直觀簡潔。函數是初中數學中的重點教學內容，教師在講解函數這一章節時，常常需要作大量的圖進行輔助教學，幫助學生直觀清晰地掌握函數的性質與變化規律等。

例 已知： 是方程 的兩個根，且 ，試比較 的大小。

解題點撥：如果將本題視為一道代數題進行分析，題目中有四個未知變量，對于學生而言，運算量較大，且根本無從下手，而我們如果如果利用函數的圖形性質來看待這道題目，不難發現，可以分別將 以及4看作兩個函數，即 與 ，則方程 的含義就是這兩個函數在坐標系中相交，則 即為兩個函數相交點的橫坐標，而 為函數 與 軸的交點橫坐標。如圖所示

又由題目中已知條件 ，不難得出：

上述例題充分說明了數形結合思想能夠將復雜問題簡單化，讓學生運用直觀、簡潔明了的方式去解題，一方面加強了他們數形轉化的思維能力，另一方面也提高了他們解題效率和解題正確率。

（作者單位：赤峰市松山區王府學校）