數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)解題中的妙用

孫美玲

[摘 要] 數(shù)學(xué)歸納法是一種非常有用的數(shù)學(xué)方法，它不但對民族地區(qū)高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有著很大的幫助，而且在今后大學(xué)數(shù)學(xué)課程中也是一種重要的方法，數(shù)學(xué)歸納法對公式的正確性檢驗中也有著很大的應(yīng)用。數(shù)學(xué)歸納法是將無限化為有限的媒介，主要從幾何、數(shù)列、證明不等式、證明整除等幾個方面來印證數(shù)學(xué)歸納法在高中數(shù)學(xué)中的地位，目的是通過運用數(shù)學(xué)歸納法來解題，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算等能力。

[關(guān) 鍵 詞] 高中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)歸納法；問題分析

[中圖分類號] G632 [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）05-0124-01

數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種證明方法，它是以皮亞諾公理自然數(shù)公理中的歸納公理為大前提、以證明過程中的（1）（2）為小前提的三段論形式的演繹法。合理地運用數(shù)學(xué)歸納法解決問題是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中不可缺少的一個重要內(nèi)容。

一、妙用數(shù)學(xué)歸納法解幾何問題

細(xì)細(xì)體會數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵：由“n=k時命題成立”，到“n=k+1時命題成立”。這句話可理解為由k個幾何元素又增加了一個元素到k+1個，要找出增加的元素與原來的k個幾何元素彼此間的關(guān)系及其引起的幾何元素的變化，最終找到f（k+1）與f（k）的關(guān)系。

例1：平面上有n條直線，其沒有兩條平行，也沒有三條直線交于一點，求證這n條直線共有pn=■n（n-1）個交點。

證明：（1）易知當(dāng)n=2，p2=1，命題成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k>2）時，命題成立。即k條直線有pk=■k（k-1）個交點。當(dāng)n=k+1時，增加了一條直線，由于沒有兩條直線平行，也沒有三條直線相交于一點，所以新增加的直線與原來k條直線各有一個交點，就是比n=k條直線時增加了k個交點，即

pk+1=pk+k（即f（k+1）=f（k）+k）=■k（k-1）+k

=■k[（k-1）+2]=■k（k+1）[（k+1）-1]

所以當(dāng)n=k+1時，命題也成立。

由（1）和（2）知，對任意自然數(shù)n命題都成立。

二、巧用數(shù)學(xué)歸納法解數(shù)列問題

大家都很熟悉，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，它與自然數(shù)有著直接的關(guān)系，所以，在證明數(shù)列問題中自然也會想到用數(shù)學(xué)歸納法對其進(jìn)行證明。

例2：已知數(shù)列{an}的通項公式an=■，數(shù)列{bn}的通項滿足bn=（1-a1）（1-a2）…（1-an）。用數(shù)學(xué)歸納法證明：bn=■。

證明：（1）當(dāng)n=1時，b1=（1-a1）=（1-4）=-3=■=-3成立；

（2）假設(shè)bk=■，則bk+1=■（1-ak+1）=■1-■=■=■。

即n=k+1時命題成立。

由（1）和（2）知，對任意自然數(shù)n命題都成立。

三、愛用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題

與自然數(shù)有關(guān)的不等式，我們也可以運用數(shù)學(xué)歸納法對其進(jìn)行證明。值得注意的是用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，在假設(shè)f（k）成立到f（k+1）時，為了利用歸納假設(shè)，在變形中常會用替換法放縮不等式。

例3：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1+■+■+…+■<2-■（n≥2）

證明：（1）當(dāng)n=2時，1+■=■<2-■=■，命題成立。

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，即1+■+■+…+■<2-■

當(dāng)n=k+1時，1+■+■+…+■+■<2-■+■<2-■+■=2-■+■-■=2-■，命題成立。

由（1）和（2）知，原不等式在n≥2時均成立。

四、活用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題

在整除性問題，因其與自然數(shù)也密不可分，所以我們也常用數(shù)學(xué)歸納法對其進(jìn)行證明。在假設(shè)f（k）成立到f（k+1）時，一般的“變形”是將f（k+1）變化表示為f（k+1）=g（k）f（k）+h（k）的形式（必須變?yōu)檫@種形式，才能利用歸納假設(shè)），由歸納假設(shè)知g（k）f（k）能被整除，關(guān)鍵是h（k）也要能被整除即可。

例4：用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于所有的正整數(shù)n，8n-1都能被7整除。

證明：（1）當(dāng)n=1時，7能被7整除，原命題成立。

（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，原命題也成立，即8k-1=7t（t為整數(shù)），當(dāng)n=k+1時，8k+1-1=8k+1-8+7=8（8k-1）+7，8（8k-1）+7=56t+7，顯然8n-1也能被7整除。

由（1）和（2）知，對任意自然數(shù)n命題都成立。

總之，數(shù)學(xué)歸納法在高中教學(xué)過程中的運用非常廣泛，可以說凡是與自然數(shù)有關(guān)的結(jié)論都可以用它來證明。但是用數(shù)學(xué)歸納法在證明數(shù)學(xué)題的過程中，學(xué)生往往會遇到很多問題，比如式子的變形、放縮等都使學(xué)生無從下手，基于此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師應(yīng)當(dāng)給予學(xué)生耐心的指導(dǎo)，教其會用觀察—猜測—論證的方法來分析問題、解決問題，并且在學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法有了一定認(rèn)識的基礎(chǔ)上，再給學(xué)生上一堂數(shù)學(xué)歸納法錯誤分析課，這樣會使學(xué)生能夠更加深刻地理解數(shù)學(xué)歸納法，進(jìn)而更好地掌握它并能很好地把它運用到數(shù)學(xué)解題過程中。數(shù)學(xué)歸納法能夠培養(yǎng)學(xué)生的運算能力、觀察能力、數(shù)學(xué)化能力、邏輯思維推理能力和解決綜合性問題的能力。另外，它也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)銜接的一條紐帶，是初等數(shù)學(xué)中不可或缺的一部分。

參考文獻(xiàn)：

[1]蔣文蔚.數(shù)學(xué)歸納法[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，1985-06：122-124.

[2]孫德菊.累計數(shù)學(xué)歸納法[J].數(shù)學(xué)通報，2001（5）.