“一元二次方程”教學設計及反思

祁榮圣

一、教學內容

蘇科版《數學》九年級上冊第一章“一元二次方程”。

二、教學目標

1.會根據簡單的實際問題列出方程，能歸納一元二次方程的概念及一般形式。

2.通過類比，感知一元二次方程的基本內容；初步感知將一元二次方程的求解轉化為一元一次方程解決。

3.通過探索實際問題中的數量關系及變化規律，經歷由具體問題抽象出一元二次方程的過程，進一步感受方程、函數是刻畫現實世界數量關系的有效模型。

三、教學重點

經歷根據實際問題建立一元二次方程的過程，感知研究一元二次方程的基本思路和方法。

四、教學難點

發展符號意識、方程意識，培養提出問題的能力，滲透轉化、類比等基本的思想方法。

五、教學方法與手段

教學方法：問題引領、類比發現；教學手段：框圖板書、PPT投影。

六、教學過程

1.課前展示PPT。

PPT的內容：在數學中，我們發現真理的主要工具是歸納和類比?！绽?/p>

2.版塊一：從實際問題到方程，歸納一元二次方程的定義。

（1）從實際問題到方程。

問題情景1：已知，正方形桌面的面積是2cm2。你能提出與正方形面積有關的數學問題嗎？正方形的邊長與面積之間有何數量關系？我們可以用什么樣的數學式子來描述它們之間的關系？

設計說明：根據題干提出問題，讓學生經歷運用方程表示等量關系的過程，初步感受方程的作用，培養學生提出問題、解決問題的能力。

問題情境2：①矩形花圃一面靠墻，另外三面所圍的柵欄的總長度是19m，花圃的面積是24m2。你能提出什么數學問題？（教師直接點名回答，注意分清兩種設法。）

②某校圖書館的藏書在兩年內從5萬冊增加到9.8萬冊。假設這兩年圖書館的藏書平均年增長率為x。怎么理解平均年增長率x？怎樣列出關于x的方程？（小組交流討論年增長率的含義。）

③長5m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端與墻的距離比梯子的頂端與地面的距離多1m。設梯子的底端與墻的距離是xm，怎樣用方程來描述其中的數量關系？依據是什么？（學生板演。）

設計說明：依據問題難度，教師采用不同形式組織教學，引導學生觀察、分析、比較，讓學生發現一元二次方程與之前所學的方程的區別，找出等量關系并運用方程解決實際問題，從而感知方程是解決實際問題的有效模型。

（2）歸納一元二次方程的定義。

問題1：你能給它們命名嗎？為什么？（教師列舉一些分式方程的反例，即容易誤認為是整式方程的分式方程，突出學生的易錯點。）

問題2：回憶之前認識的方程，一元二次方程應該如何歸類？

問題3：類比數的分類、式的分類，方程如何分類？

問題4：回顧一元一次方程定義（一般形式），用語言歸納一元二次方程定義。

問題5：類比學習一元一次方程的過程，你覺得我們應該怎樣研究一元二次方程？

設計說明：小組交流一元二次方程的特點，類比一元一次方程的定義，嘗試歸納一元二次方程的定義；類比一元一次方程的知識流程圖，構建一元二次方程章節的流程圖，解決“學什么”的問題，整體感知章節內容，建構知識體系。

3.板塊二：歸納一元二次方程的一般形式，了解相關概念。

問題6：可以類似地用更一般的式子表示一元二次方程嗎？（教師引導學生類比一元一次方程，用字母表示數，從特殊到一般進行思考。）

師生共同歸納一元二次方程一般形式：任何一個關于x的一元二次方程都可以化成 ax2+bx+c=0（a、b、c是常數，a≠0）的一般形式。（教師引導學生注意辨析二次項、一次項、常數項、二次項系數和一次項系數。）

問題7：a ≠0可以省略嗎？常數b、c有限制要求嗎？

問題8：板演練習，寫出板塊一的4個方程中的a、b、c。

設計說明：讓學生類比ax+b=0 （a、b是常數， a≠0）的一般形式，自主探究一元二次方程的一般形式；在ax2+b=0（a、b是常數，a≠0）處滲透反例，延伸一元二次方程一般形式的發展過程，讓學生在類比學習的過程中，感悟類比時既要注意相關事物的相同之處，又要在不同之處辨析，從而訓練學生的思維。

4.板塊三：初步了解方程的解，感知如何解一元二次方程。

PPT投影：你會解一元二次方程嗎？①x2=2；②x2+4x=0。

問題9：方程①如何解？依據是什么？如何驗證方程的解？

問題10：你能解方程②嗎？

（教師注意預設情形：學生可能會看出一個解是0，或者嘗試用完全平方公式轉化，或者借助分式章節的ab=0的討論聯想因式分解。）

問題11：正方形桌面的面積是2m2，如何求它的邊長？

設計說明：（1）讓學生經歷求解簡單一元二次方程的過程，感知一元二次方程解的定義，體會借助已有知識儲備如開方、平方等，將未知問題轉化為已知一元一次方程的思想；（2）嚴格控制解方程的難度，不關注學生是否能掌握解法，重點讓學生在“走馬觀花”解方程的過程中體驗方程的解的內涵，激發學趣，留下懸念，完善對實際問題的解決。

問題12：歸納利用方程解決實際問題的思路。

設計說明：借助問題9、11，完善學生的認知結構，整體關聯教學，初步形成解決問題的基本思路。

5.板塊四：運用方程解決實際問題。

問題情景：一塊石頭從45m高的絕壁上落下，若時間x（s）分別取0，1，2，2.5 …可以發現石頭離海面高度h（m）對應值為45，40，25，13.75 …

問題13：石頭下落的過程中，h和x之間是何種關系？（教師引導學生注意變量。）

問題解決：借助x和h的對應值，溫故函數基本定義，得到石頭離海面高度h（m）和下落時間x（s）大致有關系h=-5x2+45。借助解析式，感知當 x確定，代入求函數值h的過程就是解一元二次方程。

問題14：石頭經過多長時間落到海面？

問題15：可以換一種數學語言表述嗎？

（教師注意預設情形：實際就是令h=0，解一元二次方程0=-5x2+45。）

設計說明：呈現教材章頭圖中的一道實際問題，考慮學生的認知能力，改變問題出現的順序，引導學生初步感知函數與方程的聯系與區別；扣住變量和未知常量，引導學生發現函數與方程的區別與聯系，讓學生感知方程、函數之間的關聯即“瞻前顧后思關聯”，架構本章節所學內容與未知的二次函數的關聯，進一步設疑激趣。

6.板塊五：歸納總結。

問題16：分享交流本節課令你印象最深的地方。

設計說明：讓學生歸納學會的知識，梳理“會學”的方法。

7.板塊六：作業布置。

必做題：教材第8頁習題1；選做題：借鑒八年級上冊“一次函數、一元一次方程、一元一次不等式”的探究經驗，嘗試類比解決下列問題：已知函數y=x2-6x+9，求該函數圖像與x軸交點坐標。

設計說明：通過采用必做題、選做題的形式，分層布置作業，檢查學生學習效果的同時，使各個層次的學生得到發展。

七、教后反思

本節課采用單元教學課型，借助章頭圖設計整體關聯教學。本節內容不僅是教材的第一課時，而且是全章內容的整體建構，重在引導學生為什么要學、將要學什么、如何學。筆者從以下3點入手，設計了本節課的教學。

1.體會學習一元二次方程的必要性。列舉生活實例，讓學生充分感悟到方程是解決實際問題的一種常見數學模型；類比數、式的分類，讓學生了解學習一元二次方程是對方程學習的一次擴充以及生產、生活的需要，從而提高學生學習一元二次方程的積極性。

2.類比了解一元二次方程的基本內容。本節課的設計立足于“先行組織者”，要讓學生了解本章知識的基本框架與結構的構建。教學中用實際問題進行引領，類比一元一次方程，用“走馬觀花”的方式讓學生對一元二次方程的內容有一個整體認識，力爭使學生在后續學習中能“見木見林”，為學習新知識做好準備的同時激發學生的學習興趣并有效降低學習的難度。

3.歸納梳理一元二次方程解決實際問題的基本思路。讓學生通過類比一元二次方程，了解一元二次方程學習內容：定義→解法→應用（解決實際問題），再回歸到課前的實際問題中，歸納梳理用一元二次方程解決實際問題的思路。

（作者單位：江蘇省揚州市江都區浦頭中學）