銀行間金融傳導的沙堆崩塌模型

李易林

本文試圖從Bak-Tang-Wiesenfeld沙堆模型的角度解釋銀行間所存在的金融傳導造成的金融崩塌。世界對2008年全球金融海嘯的影響極其重視，學界在這之后試圖得出一個一般化理論解釋金融系統中的網絡傳導現象，即最初的美國次貸危機是如何造成全球經濟衰退的，機制是什么，動力是什么。在前人的許多研究基礎上，本文希望從一個全新的視角——物理學領域中自組織臨界的動力系統例子、相交、平均場理論等——來模擬該金融網絡傳導與崩潰。

金融傳導

金融理論 沙堆崩塌模型

模型基本要素

Bak-Tang-Wiesenfeld沙堆模型

Bak-Tang-Wiesenfeld沙堆模型又稱作Abelian沙堆模型，由Per Bak，Chao Tang和Kurt Wiesenfeld于1978年提出，是自組織臨界的動力系統中第一個發現的例子，其模型本質是一種細胞自動機（ CellularAutomation）。下面介紹這個沙堆模型。

首先從一個簡單模型開始，考慮一個3*3均勻分割的正方形網格平面，每個小格中最多容納3顆沙礫，并假設沙礫都是完全相同的，若某個小格中沙礫數量n_i（n_i∈N）超過3顆，n_i≥4，則該小格的沙堆會發生崩塌，向四邊的四個小格各擴散1顆沙礫，則變為n_it-4，其的四個相鄰小格的沙礫數量都+1，此時若還存在沙礫數量超過3顆的小格，則繼續上述崩塌過程。

繼續擴展到Bak-Tang-Wiesenfeld沙堆模型，考慮一個d維的邊長為L的超正方體網格面，每個網格點r的沙礫數量為z（r），當z（r）超過某個特定閾值，就會出現崩塌現象：

z（r）→z（r） - 2d

z（r+n）→z（r+n）+l，n=±e1，±e2，…，±ed

其中{e_i）是單位向量。不失一般性，令z_c= 2d -1，則當z（r）超過z_c時，即沙堆的平均坡度θ> θ_c時，崩塌就會發生。

馬爾可夫鏈（ Markov Chain）

馬爾可夫鏈為狀態空間中經過從一個狀態到另一個狀態的轉換的隨機過程。該過程要求具備“無記憶”盼性質：下一狀態的概率分布只能由當前狀態決定，在時間序列中它前面的事件均與之無關。這種特定類型的“無記憶性”稱作馬爾可夫性質。馬爾科夫鏈作為實際過程的統計模型具有許多應用。

模型結論與展望

本文所提出的沙堆模型是對金融傳導網絡擬合的一個嘗試，并取個體銀行的破產閾值為Y_c=（2d -l）y。出現的一個問題是y_r> y_c時，對于不同銀行r1≠r2，現實情況中其破產的可能性是不同的，大銀行往往能夠得到中央銀行等機構的支持，大銀行的企業外資源要遠遠高于小銀行，所以該沙堆模型中只能假設每個銀行擁有同樣的特點：可變現資產相同、社會資源相同、可承受風險能力相同。

其次，該模型的銀行間關系用是否相鄰來反映，因為在沙堆崩潰的過程中，一個網格面（點）的崩潰只能傳導給相鄰的網格面（點），所以只能認為這是發生直接聯系的銀行間才能出現的情況，而每兩個銀行間都能夠用一個距離來衡量聯系程度，可以將該距離定義為兩個銀行間的直接債務、間接債務所占總債務的百分比的加權平均，權重為間接銀行間的距離，即

這樣的一組方程組至少可以得到一組解。然而這種所謂的“距離”確是不可逆的，即銀行i對銀行j的距離并不需要與銀行j對銀行i的距離嚴格相等。本文一直希望克服這樣的一個非對稱性，構造一個對稱的距離指標，這樣的距離囊括了特定超立方體沙堆模型中的結構性質要素，從而這樣的距離m_ij就存在一個閾值m_c，當兩個銀行的距離m_ij< m_c時，則對銀行i施加的某個與銀行的資產負債相關的負面沖擊ε_i就會導致銀行j的崩潰。

第三，該模型存在一個崩潰邊緣。該崩潰邊緣是指，舉2維平面網格的例子來說，沙礫在該有限網格系統中是否能穩定留存：一個穩定的沙堆模型的邊界是確定的，一旦其在沖擊下向外擴散，則該模型相對于這些特定量的沖擊是不穩定的，形象的來講就是，需要依靠外部的力量去吸收這些多余的違約負債（沙礫）。閾值y_c=（2d -l）y衡量了一個沖擊ε的“大”和“小”：若ε>y_c，則該沖擊為大沖擊，能夠確定一組距離閾值{m_c}；反之為小沖擊，也能夠確定一組距離閾值{m_c}。這也是物理學中相變現象的應用。