基于自適應分級滑模控制的球形器人定位控制

于濤　孫漢旭　趙偉　楊昆

摘要：探討一種三驅動球形機器人的定位控制問題，提出基于控制增益自適應調節的分級滑模控制方法。相比于現有定位控制方法，所提出的控制方法對于系統不確定性具有很強的魯棒性。將球形機器人系統分解為球體子系統和偏心質塊子系統，并在此基礎上分別設計系統的各級滑動面。基于Lyapunov函數法選取分級滑模控制律和控制增益自適應律，并采用邊界層法削弱分級滑模控制器的抖振。應用Barbalat引理證明閉環系統的穩定性，并利用數值仿真實驗驗證所提控制方法的可行性和有效性。數值仿真結果表明，該控制方法能夠實現帶有不確定性的球形機器人系統的定位控制。

關鍵詞：三驅動；球形機器人；定位控制；自適應分級滑模控制

文獻標志碼：A 文章編號：1674-5124（2018）05-0097-06

0引言

球形機器人是一種利用球形外殼滾動來實現自身運動的新型移動機器人，具有運動全向性和轉向靈活等優點。球形機器人將機械結構和控制電路都封裝在球殼內部，全封閉的外殼使其對復雜物理環境具有很強的適應能力，可應用于國防裝備、環境監測和行星探測等諸多領域。目前，球形機器人研究中所存在的共同理論和技術難點是其運動控制問題。因此，深入探索球形機器人的運動控制方法具有重要的理論和實際應用價值。

縱向運動是球形機器人的主要運動形式之一，縱向運動控制的有效性直接影響球形機器人的實際運動性能。目前，球形機器人縱向運動的定位控制方法主要有：學習控制、PID控制、滑模控制和反饋線性化控制。在實際的控制中，球形機器人不可避免地會受到參數不確定性等因素的影響：因此，在設計控制器時必須對這些因素加以考慮。但遺憾的是，現有定位控制方法均未充分考慮這些不確定因素的影響，因此無法確保閉環控制系統的魯棒穩定性。

球形機器人是一種典型的欠驅動系統，分級滑模控制是適用于此類欠驅動系統的有效方法。但對于不確定欠驅動系統而言，為保證系統穩定，必須依據不確定性上界值來選取控制器的控制增益：然而不確定性上界值通常難以直接獲得，這就使得控制增益的選擇變得十分困難。

針對現有定位控制方法和分級滑模控制方法存在的諸多不足，本文在分析一種三驅動球形機器人運動特性的基礎上，提出一種基于自適應分級滑模控制的定位控制方法。所提控制方法通過自適應機制動態調節控制器的控制增益，對于系統不確定性具有良好的魯棒性。從理論上分析了系統各級滑動面的漸近穩定性，并通過仿真實驗驗證了所提控制方法的有效性。

1球形機器人縱向運動的數學模型

BYQ-XII型球形機器人主要由球殼、主梁、偏心質塊和伺服電機等部分構成，其機械結構如圖1所示。球殼內表面赤道處的軌道上設有環形齒條，轉向支座通過與齒條嚙合的轉向輪與軌道相連。軌道電機驅動主梁和偏心質塊相對球殼轉動，從而實現機器人的轉向控制。主梁一端與轉向支座相連，另一端與導向支座相連。長軸電機帶動主梁相對球殼轉動，使機器人重心向前或向后移動，從而驅動機器人進行縱向運動。短軸電機驅動偏心質塊相對主梁轉動，使機器人重心向左或向右偏移，從而控制機器人向左或向右轉向。由此可見，當長軸電機分別與短軸電機或軌道電機配合使用時，機器人系統可以實現兩種不同的雙驅動模式。在這兩種不同的驅動模式下，該球形機器人均能在地面上全向滾動。

為便于對該機器人的運動特性進行分析，首先對該機器人做出如下4點假設：

假設1：將球殼視為均質對稱的薄壁球殼，球殼的質量為m₁，球殼的半徑為l₂。

假設2：主梁的質心與球心重合，主梁的質量為m₂，主梁相對長軸電機輸出軸軸線的轉動慣量為I₁。

假設3：將偏心質塊視為偏心質點，偏心質塊通過長度為l₂的無質量擺桿與主梁鉸接于球心處，偏心質塊的質量為m₃。

假設4：球形機器人在地面上運動時，球殼僅進行無滑動的純滾動。

然后計算系統的拉格朗日函數L=K-P，并應用拉格朗日一歐拉方程來推導球形機器人縱向運動的動力學模型，其中K和P分別表示系統的動能和勢能。

分別對球殼、主梁和偏心質塊的動能進行計算，進而可得系統的動能為

選取地面作為系統的零勢能面，可得系統的勢能為

忽略機器人系統內部的摩擦力，將拉格朗日函數L=K-P代入拉格朗日一歐拉方程，可得球形機器人縱向運動的動力學模型為

2定位控制器設計

對于式（5）所示的球形機器人系統，將整個系統分解為球體子系統A和偏心質塊子系統B：

在動力學模型式（4）中令所有的速度和加速度為零，從而可知當機器人站定在地面上時，系統的平衡擺角應為零。由此分析結果可見，球形機器人定位控制的目標包含了滾動球殼的位置控制和偏心質塊擺起角度的穩定控制兩個子目標。

對球體子系統A，設計第一級滑動面s₁為

由式（11）可得，第一級滑動面s₂的等效控制為

由于整個系統只有一個輸入變量，需要進一步將2個第一級滑動面聯系起來。為此，定義系統的第二級滑動面為

與文獻相比，本文方法在邊界層內外采用了相同的控制增益調節機制，因而避免了系統狀態穿越邊界層時由于控制增益切換而引起的控制輸入突變的問題。₂3穩定性證明

定理1：對于式（5）所示的機器人系統，分別按式（8）、式（9）和式（14）構造系統的各級滑動面，如果采用式（21）所示的分級滑模控制律和式（19）所示的控制增益自適應律，那么系統的第二級滑動面S是漸近穩定的。

定理2：對于式（5）所示的機器人系統，分別按式（8）、式（9）和式（14）構造系統的各級滑動面，如果采用式（21）所示的分級滑模控制律和式（19）所示的控制增益自適應律，那么系統的第一級滑動面s。和s₂是漸近穩定的。

4仿真研究

4.1機器人參數

為驗證本文提出的定位控制方法的有效性，利用Matlab/Simtdink仿真環境進行數值仿真實驗。仿真實驗分兩個部分來進行，分別用于驗證本文提出的控制方法的控制性能和對于系統不確定性的魯棒性。BYQ-XII型球形機器人各物理參數的標稱值分別為

4.2控制性能驗證

本文方法的仿真結果如圖3～圖5所示。圖3為球心位置和偏心質塊擺起角度的變化曲線。由圖可以看出，在本文控制器作用下，機器人在約7.7 s就能無超調地運動至指定位置，機器人的縱向滾動具有明顯的加速過程和減速過程。在加速過程的第1個階段，偏心質塊首先由豎直方向擺至正向最大擺角位置，這一階段機器人的加速度逐漸增大。在加速過程的第2個階段，偏心質塊由正向最大擺角位置擺回至豎直方向，這一階段機器人的加速度逐漸減小至0。機器人的減速過程也包括兩個階段，偏心質塊首先由豎直方向擺至反向最大擺角位置，然后再由反向最大擺角位置擺回至豎直方向。機器人系統最終實現偏心質塊擺起角度穩定控制的時間約為8.1 s，機器人滾動過程中偏心質塊的最大擺起幅度約為26.6°。圖4為系統各級滑動面的變化曲線，可以看出各級滑動面均能快速地收斂至零。圖5為控制器輸出的變化曲線，可以看出控制信號較為平滑且無抖振。

文獻方法的仿真結果如圖6所示，由圖可以看出在文獻控制器作用下，機器人運動至給定位置的時間約為8.2 s，實現偏心質塊擺起角度穩定控制的時間約為8.5 s，機器人滾動過程中偏心質塊的最大擺起幅度約為28.1°。對比本文方法和文獻方法可知，本文方法較為有效地減小了系統的調節時間和偏心質塊擺起角度的超調量。

4.3魯棒性驗證

為測試本文方法對于系統不確定性的魯棒性，假設系統模型帶有15%的參數不確定性。魯棒性驗證實驗中，選取系統模型各參數值為4.1中機器人各參數標稱值的1.15倍。需要說明的是，本文所提方法仍然采用標稱模型來選取控制律。同時為便于分析，將控制性能驗證結果與魯棒性驗證結果進行對比。

圖7為本文方法的魯棒性驗證結果。由圖可以看出，被控系統的動態性能在一定程度上受到了系統中存在的參數不確定性的影響，球心位置上產生了很小幅度的超調，同時系統的調節時間也稍有增加。盡管如此，在本文所提控制器作用下，機器人系統仍然能夠被鎮定至期望的平衡點，球心位置和偏心質塊擺起角度均能夠收斂至各自的目標值。由魯棒性驗證結果可見，本文方法對于系統不確定性具有很強的魯棒性。

5結束語

本文研究了一種三驅動球形移動機器人的定位控制問題，提出了一種自適應分級滑模控制器的設計方法。所設計的控制律中包含了由自適應律調節的變控制增益，可使系統狀態轉入滑動模態運動。該控制方法無需已知機器人系統不確定性的上界值，較好地解決了傳統方法中控制增益選取困難的問題，并可有效地實現帶有系統不確定性的球形機器人的定位控制。通過與現有控制方法的對比驗證了本文所提方法的控制性能，并采用帶有15%參數不確定性的機器人模型驗證了本文所提方法的魯棒性。在后續研究中，將進一步考慮在球殼與偏心質塊間存在阻尼情況下的球形機器人定位控制問題。

（編輯：莫婕）