第二類曲面積分一題多解

黃輝

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?第二類曲面積分是高等數學教學中的重點，也是高等數學七類積分計算中最難的一種，就一道例題給出三種不同的解法，使學生加深對第二類曲面積分的了解，找到適合自己的方法.

[關 ? ?鍵 ? 詞] ?第二類曲面積分;公式法;高斯公式;兩類曲面積分關系

[中圖分類號] ?O172.2-4 ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ? [文章編號] ?2096-0603（2018）27-0137-01

在高等數學中積分學占有重要地位，而第二類曲面積分的計算是高等數學七類積分計算中最難的一種，同時也是各高校期末考試試題及考研試題中的必考題型.因為在計算時既要考慮投影又要考慮曲面的側，很多學生初學時往往掌握不好，本文就一道例題給出三種不同的解法，使學生加深對第二類曲面積分的了解，找到便于理解適合自己的解題方法.

例 計算I=■xdydz+ydzdx+zdxdy，其中∑是柱面x2+y2=1被平面z=0及z=3所截得的在第一卦限部分的前側.

分析一：直接利用公式法，即通過投影將第二類曲面積化成二重積分來計算.簡單來說是“一換二定三算”.“一換”指換被積函數，將被積函數換成由曲面方程所表示的函數;“二定”指由曲面的側來決定符號是“+”還是“-”;“三算”指計算投影在相應坐標面上的二重積分.

解法一：∑在xoy面上的投影為一條圓弧，即■zdxdy=0，

I=■xdydz+ydzdx，

由∑：x2+y2=1關于x，y的輪換對稱性有

■xdydz=■ydzdx，

則I=■xdydz+ydzdx=2■xdydz=2■■dydz=2■dz■■dy

=2·3·■■dy■6■■·costdt=6■cos2tdt=6·■·■=■.

分析二：利用高斯公式來計算.需要注意的是使用高斯公式計算第二類曲面積分時，積分曲面∑必須是封閉的，如果∑不封閉，我們要先補面使之變成封閉的，然后才能應用高斯公式計算.補面時通常選取平行于坐標面的有向平面，并使該有向平面的側與積分曲面的側保持一致，即同指向所圍成封閉曲面的外側或內側.最后計算原曲面積分時還要減去補的有向平面上積分.

解法二：作輔助平面∑1∶z=0（x2+y2≤1，x≥0，y≥0）取下側;

∑2∶z=3（x2+y2≤1，x≥0，y≥0）取上側;∑3∶y=0（0≤x≤1，0≤z≤3）取左側;∑4∶x=0（0≤y≤1，0≤z≤3）取后側，則∑+∑1+∑2+∑3+∑4構成封閉曲面，設其所圍成的空間區域為Ω，由高斯公式有

■xdydz+ydzdx+zdxdy=■（1+1+1）dv=3VΩ=3·■·π·3=■，

而∑1，∑2在yoz面和zox面投影為零，即

■xdydz+ydzdx+zdxdy=■zdxdy=■0dxdy=0，

■xdydz+ydzdx+zdxdy=■zdxdy=■3dxdy=3■=3·■π=■，

∑3在yoz面和xoy面的投影為零，而∑4在zox面和xoy面的投影為零，有

■xdydz+ydzdx+zdxdy=■ydzdx=■0dzdx=0，

■xdydz+ydzdx+zdxdy=■xdydz=■0dydz=0，

則I=■xdydz+ydzdx+zdxdy=■-■xdydz+ydzdx+zdxdy=■-0-■-0-0=■.

注：在使用高斯公式時除了要關注曲面∑是否封閉外，還要注意以下幾點：（1）P，Q，R在Ω上具有一階連續的偏導數;（2）如果在內有使P，Q，R一階偏導數不連續的點，則應在Ω內先挖去該點，然后再應用高斯公式;（3）有向曲面∑要取向外側，如取向內側時要變符號.

分析三：利用兩類曲面積分之間關系將第二類曲面積分轉化

為第一類曲面積分進行計算，該解法須先求出曲面的法向量再表示出法向量的方向余弦.

解法三：∑∶x2+y2=1，則■={2x，2y，0}，從而

cosα=■，cosβ=■，cosγ=0，

則

I=■xdydz+ydzdx+zdxdy=■（x·■+y·■+z·0）dS

=■（■+y·■）dS=■■dS=■dS=S∑

=■·2π·3=■.

對第二類曲面積分的求解，主要就是利用公式法，高斯公式或兩類曲面積分之間的關系，同時配合積分曲面的對稱性、輪換性，被積函數的奇偶性等解題技巧，將積分式進行簡化處理求出曲面積分的最終值.以上解題方法各有利弊，大家可以靈活選擇一種適合自己且掌握起來相對容易的方法.

參考文獻：

同濟大學數學系.高等數學（同濟七版）[M].北京：高等教育出版社，2017.