對兩道解析幾何模擬試題一般結論的探究

于娜

[關 ? ?鍵 ? 詞] ?解析幾何;模擬試題;一般結論

[中圖分類號] ?G633.65 ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ? [文章編號] ?2096-0603（2018）27-0136-01

在我們的高三模擬考試試題中，有兩道解析幾何試題值得我們研究一番，能使我們更好地研究這類題目和編擬模擬試題.

題1.如圖1，點B（■，0）是圓A：（x+■）2+y2=16內的一個定點，點P是圓A上的任意一點，線段BP的垂直平分線l和半徑AP相交于點Q，當點P在圓A上運動時，點Q的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程;

（2）點E（2，0），F（0，1），直線QE與y軸交于點M，直線QF與x軸交于點N，求EN×FM的值.

解：（1）因為點Q在BP的垂直平分線上，∴QB+QA=QP+QA=4，從而點Q的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，此時，a=2，c=3∴b=1，所以曲線C的方程為■+y2=1.

（2）由題設知，直線的斜率存在.

設直線QE的方程為y=k（x-2），Q（x1，y1），E（x2，y2），

由y=k（x-2）■+y2=1，得（1+4k2）x2-16k2x+16k2-4=0，

因為x1x2=■，x2=2，

所以x1=■，所以Q（■，■），

因為點F，N，Q共線，kFN=kFQ，

所以■=■，即xN=■=■，

又直線QE與y軸的交點縱坐標為yM=-2k，

所以EN=2-xN=■，FM=1-yM=1+2k，

所以EN×FM=4

此題有沒有一般性的結論，答案是肯定的.

推廣 已知點P（x0，y0）是橢圓■+■=1（a>b>0）上不同于頂點的任意一點，

A（a，0），B（0，b），直線AP交y軸于點C，直線BP交x軸于點D，則BC·AD為定值.

證明：直線AP方程為y=■（x-a），則C（0，■），

同理直線BP方程為y=■x+b，則D（■，0），

所以BC=■，AD=■

所以BC·AD=■·■

=■=2ab.

題2.已知橢圓C：■+■=1（a>b>0）過點T（■，-■），且半焦距c=■.

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）如圖2，已知點D（■，0），A（2，1），過點B（3，0）的直線l與橢圓相交于P，Q兩點，直線AP，AQ與x軸分別相交于M，N兩點，試問DM·DN是否為定值？如果是，求出這個定值：如果不是，請說明理由.

（1）解：由題意，得a2-b2=3■+■=1，解得■+■=1

（2）設直線l的方程為x=my+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），當直線AP的斜率不存在時，直線BP與橢圓C相切，不符合題意，同理可得直線AQ的斜率存在，故直線AP方程為

y-1=■（x-2），則點M（■，0），同理點N（■，0）

由a2-b2=3■+■=1，得（2+m2）y2+6my+3=0，

由Δ=36m2-12（2+m2）>0，得m2>1，

又y1+y2=-■，y1y2=■

所以DM·DN=[■-■][■-■]

=■=■=■

故DM·DN為定值，且DM·DN=■.

這個■是不是偶然結果，不是偶然結果，那么必然結果是什么，經過一番探索，答案是點D的橫坐標與點B的極線與x軸的交點的橫坐標之間距離的平方.

我們利用一些高中教材以外的知識對我們解過的解析幾何進行一番深刻的挖掘和推廣，能使我們更加靈活地研究高考試題和模擬試題，也會為我們編擬高考訓練模擬試題提供更廣闊的思維空間.