任務驅動法在函數的微分教學中的應用

秦琳，張恩路

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?以建構主義為背景，在課堂教學中采用任務驅動教學模式，按照任務驅動教學模式的建構過程，對《函數的微分》這一課題進行課堂設計。圍繞一個中心任務——緊固件噴涂量計算，將知識點巧妙穿插串聯。這是對教學模式和教學方法一次改革的嘗試。

[關 ? ?鍵 ? 詞] ?任務驅動; 函數微分;建構主義

[中圖分類號] ?G712 ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻標志碼] ?A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號] ?2096-0603（2018）27-0180-02

一、背景

任務驅動的教學模式是建構主義理論和信息技術相結合的產物，是由教師將所要學習的新知識轉化成一個或幾個具體的任務。學生在強烈的問題動機驅動下，通過有效地查找和使用各種學習資源，對所提的任務進行分析、討論，明確新舊知識間的聯系，再在教師的指導幫助下找出解決問題的方法，最后通過任務的完成實現對所學知識的意義建構，從而培養出獨立探索、勇于開拓進取的自學能力和解決實際問題的能力。

本文應用任務驅動教學法，按照任務驅動教學模式的實施過程，運用數學建模的思想，對《函數的微分》這一課題進行教學設計，與專業課相銜接，實施高等數學教學改革的嘗試。

二、教學實踐

【設計任務】備課環節中，在分析課程目標和學生特征的基礎上遵循吸引學生、分層設計和系統達標等原則設計任務。

本課題的教學目標：理解并掌握微分的概念;領會數學思想;提升兩種能力。

教學方法：任務驅動、情境教學。圍繞一個中心任務——緊固件噴涂量計算，將知識點巧妙穿插串聯。

【實踐任務】現有一批定量的機械零件，要對其表面進行噴涂，以延長使用壽命，需要多少涂料呢？

【分析任務】這是對機械零件噴涂的涂料用量的預算問題，通過對涂料用量的科學計算，可以降低成本，減少浪費，提高效率。此任務貼近機械專業，學生對機械零件比較熟悉，能很快進入情境，具有直觀性和形象化的特點，激發學生探究新知的欲望。接下來引導學生對該任務進行分析、建模。

機械零件種類繁多，在這里我們以常見的柱狀零件——螺栓、螺柱、圓柱銷為例。

引導學生分組討論，要完成此任務，需要做什么模型假設，需要解決哪些問題，引導學生形成正確的解決任務的思路和計劃。

【假定】要噴涂的零件是圓柱銷，且只噴涂圓柱銷的側面，涂層均勻。要計算涂料的用量，根據m=ρv，涂料的密度ρ是一個常數，只需要計算涂層體積就可以。

【問題建模】已知一圓柱體底半徑為r0，高為h。當底半徑增加Δr時，試計算體積的改變量（用ΔV表示）。

此時適時提問學生，怎么計算涂層體積的精確值呢？有學生積極回答：用圓柱的側面積乘以涂層的厚度。教師再次引導，這樣計算得到的是涂層體積的精確值嗎？學生在教師的提示下恍然大悟，這樣計算并不是精確值。

那么ΔV的精確值該如何計算呢？有的學生馬上想到用體積差來計算。即

ΔV=π（r0+Δr）2h-πr02h=2πr0h·Δr+πr（Δr）2=2πr0hΔr+πh（Δr）2

我們用了7次乘法，1次加法，得到了涂層體積的精確值。但是這樣計算計算量比較大，如何能夠減少計算量呢？在計算機科學中，有一個重要的思想，那就是在精度要求不是非常高的情況下，我們考慮用精度換速度，那么

ΔV=2πr0hΔr+πh（Δr）2 ? （1）

在完成任務的過程中，再次對學生提出問題：（1）式中如果只保留一項，計算量能減少，但是精度能保證嗎？有兩個相關聯的問題需要解決：（1）式中如果只保留一項，該保留哪一項？保留下來的這一項作為ΔV的近似值，精度高不高？為回答這兩個問題，引導學生從立體幾何的角度進行剖析。

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從圖形上看，要求的ΔV，實際上就是這樣一個很薄的圓環柱體的體積（如圖a），動員引導學生沿紅色的地方將圓環柱體剪開，然后展開，會得到一個什么樣的立體呢？通過動畫演示，可以看到展開后是一個棱柱，棱柱的截面是一個等腰梯形。將其平鋪，棱柱的相關數據可以根據圓環柱的數據得到。將棱柱做進一步處理，沿著上邊緣線豎直向下切開，棱柱就變成了三部分，中間是一個長方體，剪下的兩部分是同等大小的三棱柱，這兩個小三棱柱可以通過重組拼接成一個小長方體。大長方體的體積等于2πr0hΔr，小長方體體積等于πr（Δr）2，ΔV=■+■，這一大一小長方體的體積，恰好對應著（1）的兩項。

這樣，前面兩個問題就得到了解決，誰去誰留？顯然要舍棄小長方體的體積，保留大長方體的體積，得到ΔV的近似值。同時從幾何角度也得到，用大長方體的體積來近似涂層的體積，精度上可以得到保證。

因此，ΔV≈2πr0hΔr，在這個式子里，Δr即為涂層的厚度，2πr0h即為側面積，用側面積乘以涂層厚度，這正是我們最先想到的辦法。這樣我們從幾何角度證明了學生最初的想法，雖然不是精確值，但是它卻可以有效降低計算量，同時滿足一定的精度，因此不失為完成任務既快又好的方法。同時，2πr0h除了是側面積，與體積函數又有什么關系呢？如果保持h不變，2πr0h是體積函數對r的導數，即ΔV≈V′|■·Δr。其實，函數導數與自變量增量成績的形式出現在函數增量的近似值中并非個例，在數學發展史上，數學家正是發現了這一特點，經過艱苦努力的研究，得到函數增量近似表達式的一個重要的數學概念——函數的微分。

以上我們利用建構主義理論，引導學生建立了一個新的數學概念，在這個過程中，學生可以通過不斷發現問題、解決問題找到成就感，另一方面，教師可以通過交流討論、引導建構等方式關注學生，以此來肯定、激勵、指導學生。對學生的不同結論要及時總結和分享，在不斷的反饋評價中，構建完善的知識體系，必要時加以拓展應用。

在本節課的教學中，我們也及時對函數微分的概念進行實際問題的延伸，以此對知識點進行拓展。

【任務延伸1】緊固件螺紋部分的噴涂計算問題，如何解決？

查閱GB/T5267.1-2002，針對規格為M10×100（直徑為10mm，長度為100mm，螺紋桿長為52mm）的螺柱，估算其側面涂層的體積（假定涂層厚度為0.05mm）。

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【任務延伸2】（油路檢修）保證發動機的油路暢通是發動機日常維護的一項重要內容。日常工作中，由于一些因素的影響，通常會使發動機的油管半徑變小，因此需要定期對油管進行疏通。假定在固定壓力下，單位時間內通過油管的油料體積V與油管半徑r的四次方成正比，即V=kr4。問：如果油路疏通使油管的半徑r增加3%，那么V會增加多少？

通過對上述延伸任務的解決，學生真實地感受到發動機的日常維護工作很重要。

三、效果反饋

通過在課堂中實際采用任務驅動教學模式授課，提高了課堂的教學質量，培養了學生學習數學的興趣及責任感。通過與實際任務相結合的方式，讓學生了解數學，了解數學的美。學生通過運用所學的數學知識解決一些實際生活中遇到的問題，使學生體會到解決實際問題的快樂，從而培養學生的興趣。

四、教學思考

教學改革是一項長期、復雜、艱巨的系統性工程，我院數學教師通過多次學習研究“十九大”報告精神及《教育部關于全面提高高等教育質量的若干意見》（教高【2012】4號）等文件，發現校企合作、基礎與專業深度融合，培養適應社會需要的復合型人才是高等職業教育的發展趨勢。在下一步的教學改革嘗試中，進一步改變傳統教學模式為模塊化教學模式，按照若干個相對獨立的知識點，將“高等數學”課程內容分為幾個模塊，各專業可依據專業課程的需求，選擇合適的若干模塊組合進行學習。在模塊組合教學過程中，教師可依據不同內容要求、不同專業要求，靈活運用多種教學方法。通過教學改革，突出培養學生的數學交流能力和數學遷移能力。在學習過程中用數學的語言表達數學的思想和情感，突出數學知識的應用性和數學知識專業應用中的遷移性。在設計教學過程時，教師嘗試使用與專業技術課程、專業課程的實際應用密切相關的基本案例。

參考文獻：

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