淺析類比的思想方法在高等數學教學中的應用

【摘要】類比思維主要指的是在進行研究的過程中，對新的研究、認識對象開展聯想，對與其相似的已被認知的對象進行探究，并結合新對象與已被認知對象之間的相似屬性，推斷新對象其他屬性，從而發現新對象發展規律的一種思維活動模式。顯然，與其他的研究方法想象比，類比思維對新對象的研究結果具備一定的偶然性，存在三種研究結果，即正確、錯誤或不完全正確。

【關鍵詞】偶然性；科研創新；多元方程

由于類比整個思維活動的過程主要以聯想為基礎，以兩種事物之間的相似性為研究指導，將猜想的結果作為結論，并以發現新事物的最終發展規律為類比目的，因此整個思維過程是一個完整的推想活動。無論取得的實際研究結果如何，都為自然、物理、數學等學科的科學認識項目提供了一種富有創意與生命力的思維方式，因此，部分專家將類比的思維稱為“通過已被認知事物通向未知的道路”。

一、類比思維活動的性質及其主要作用

（一）類比思維過程的靈活性與偶然性

相較于其他新對象的研究方法，類比法的聯想過程具備靈活性與偶然性。在科學的實踐探索過程中，經常會面臨多種假設，需要進行選擇，而類比思維在進行未知事物檢驗的過程中能夠提供一種重要的思維活動方式。以物理學的學科研究為例，科學家在進行電荷作用規律的研究過程中，面臨的選擇多樣，如兩個不同位置電荷之間的作用力大小與其位置距離之間是否存在關系？若存在關系，是正比關系、反比關系、立方反比關系還是平方反比關系？科學家在研究的過程中運用類比思維，推斷不同電荷之間作用力關系與萬有引力規律可能存在相關性，選擇了平方反比進行作用力研究。在進行力學系統具體研究的過程中，類比生物系統的發展規律，取得了較為良好的實踐效果。在此基礎上，現階段人們利用力學系統類比推想社會經濟系統，對經濟的發展提供了有效的參考。

（二）在數學研究領域運用類比思想的主要作用

類比作為一種思維研究方式，是進行科研創新的重要基礎之一。可以說，類比實驗、思維、研究活動是科學研究中作為常見的推想模式之一，加強了不同學科研究成果的發現概率。巧妙的類比推想還可以對研究的正確方向做出預示，往往能夠取得較為顯著的科研成果。康德認為，當理智沒有可靠的思考方向時，使用類比的思維方法，往往會為人們指引前進的道路。著名的數學研究學家波利亞將一般化以及特殊化與類比并稱為獲取研究靈感的源泉。偉大的科學研究學家牛頓通過蘋果落地的啟示，將其類比成物體向地面下落、兩個物體移動的力學規律，最終提出了萬有引力的力學定律。

與此同時，在數學學科的研究過程中，類比思維是數學概念、定理、公式以及法則的重要研究途徑，也是進行假設、猜想與創新的主要手段。如，笛卡兒以聯想為基礎，通過類比思維建立起了解析幾何體系。他偶然間觀察蜘蛛網的網格，產生了相關的聯想，蜘蛛網由縱橫交錯的經緯線組成，而蜘蛛通過經緯線交錯的網可以到達蜘蛛網的任意位置。在此基礎之上，他運用類比思維，使用線條，平行線與垂直線相互交錯構成坐標網，建立起了以平面為基礎的點同有序數對之間的關系網，從而形成了直角坐標系。在數學領域，直線通常代表點的運動，因此，坐標點的位置也可以用數字表示變量。笛卡爾解析幾何理念的提出，不僅開創了幾何領域的研究新方向，還將變量引進到幾何坐標中，為深入研究圓錐曲線、二元二次方程等數學原理提供了基礎。

二、運用類比思想解決數學問題的具體案例

（一）類比思維在數學解題中的應用

當遇到一個數學題目時，首先應該考慮運用什么方式解決問題，也就是尋找正確的解題思路。將類比思想運用到解題過程中，不僅可以盡快的尋找到解決問題的路徑，還能進一步提升解題的準確性。以不同維空間的題目為例，對類比思維的實際運用進行分析。如果想要在數軸上對一個點列不收斂的結果進行證明，首先要找到一個發散子列；其次，找到兩個收斂子列，子列的極限不同。證明高維空間中相似的點列，也可以使用類似的解題思路，只需要在證明過程中注意敘述的區別。與此同時，線性代數領域，二元、三元進行方程組解題過程中，有相應的公式法，可以以此推斷出多元的方程解題思路，即克萊姆法則。

除此之外，二元一次數學問題的解題方法還有消元法，通過類比思維能夠得出多元線性的解題思路。遇到高維向量的相關空間題目，一般是通過類比三維、二維空間的解題思路得到相應的啟示。數學分析過程中，通過格林公式可以解決平面上第二型曲線積分類型的題目，由此延伸到空間中的封閉曲線題目。

（二）下面通過具體的數學例題，對類比法的實際運用進行說明

2.條件、結論或結構相似的題目類比尋找解題思路

在遇到數學問題時，我們往往會對題目中的條件、結構以及相關結論進行聯想，尋找正確的解題路徑，下面通過具體數學案例予以說明：

例1：如果函數f（x）能夠滿足常數c的要求，可以成立任意實數x等式f（x+c）=1+f（x）/1-f（x），判定f（x）是否屬于周期函數，如果屬于周期函數，則求f（x）的函數周期。

分析：函數周期中我們最常接觸的是三角函數，在解題過程中，可以運用類比思維，tan（x+π/4）=1+tanx/1-tanx，假設f（x）是4c周期函數，運用三角函數的相關原理對f（x）的周期進行驗證。

三、結語

在數學研究與解題領域，類比思維方式起著不可替代的思路指向作用，為研究活動及解題提供了更多的選擇。在此基礎上，本文從類比思想的性質與重要作用等角度出發，通過實際例題分析，對一維到多維空間、離散及連續等數學問題的具體解題思路進行探討，以期類比思維的實際運用提供合理參考。

參考文獻

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作者簡介：趙軒（1981.02—），女，河南駐馬店人，講師，研究方向：數學教學與研究。