基于貝葉斯網絡和證據理論的地鐵運營結構健康風險評價

張立茂,吳賢國,張文靜,姚春橋,曾鐵梅

(1.華中科技大學土木工程與力學學院,武漢 430074； 2.武漢地鐵集團,武漢 430074)

1 概述

在地鐵運營過程中，在隧道自身及外部使用的影響下，其結構會出現各種病害，進而產生功能降低威脅運營安全的風險[1]。因此，需要對地鐵運營進行適時監控定期評價，進而進行管理和養護維修來保證地鐵正常運營。洪平等[2]將改進的層次分析法與模糊評價法結合對運營結構健康風險進行定量化分析和評價，減少評估主觀因素并且可操作性好。Chris J. Baker[3]也提出將三角模糊效應應用于層次分析，賦予各個系統不同的權重，構造事故發生的風險度與嚴重程度的矩陣模型，以達到更加準確的目的。王洪德等[4]創立了多級可拓評價模型，結合地鐵運營情況和相關法律法規，分析各子系統的相關性，同時計算出與風險等級的關聯性，從而得出風險水平的總體情況。吳賢國等開始利用云理論處理不確定性信息的隨機性和模糊性，分別利用云模型[5]和云推理[6]對運營地鐵結構健康進行風險評價，具有較好的可行性與適用性。

現有的分析方法能夠有效地進行風險評估與管理，但是無法進行系統風險的反向診斷，并且在實際工程的概率獲取中，往往存在現場數據信息缺失、專家知識不完備等方面的不確定性，導致風險概率并非為確定值。而貝葉斯網絡[7](Bayesian Network，BN)在處理復雜系統的預測、診斷和推理方面的問題時，能夠充分結合專家知識和監測數據進行分析。D-S證據理論(Dempster/Shafer證據理論)[8]具有較強的理論基礎，在使用其過程中不要求給出先驗概率，并能區分“不確定”和“不知道”信息，能夠較好處理貝葉斯網絡中的不確定性問題。

本文將證據理論的不確定性概念引入貝葉斯網絡模型中，在解決貝葉斯網絡中不確定性的同時，很好地處理實際工程中的多態風險問題。即在利用證據理論確定貝葉斯根節點的不確定性概率后，利用貝葉斯網絡推理模型對風險進行正向推理與反向診斷，確定系統中比較薄弱的根節點，提高整個風險系統的穩定性和可靠性，為利用貝葉斯網絡模型方法對工程領域的風險的評價提供了一種新的思路和方法。并以武漢長江隧道為例，驗證了本文中方法的有效性。

2 理論基礎

2.1 證據理論

Dempster在上下限概率的基礎上提出了D-S證據理論，后經Shafer引入信任函數概念作了相關改進，進而隨著補充發展，成了基于“證據”和“組合”這兩個概念來處理不確定性問題的數學方法[9]。作為一種不確定性精準推理方法，D-S證據理論是一種簡潔的融合結果分析與決策方法，其最大優勢于其計算不需要任何的先驗知識，可以很好地解決“不確定性”與“先知”等重要問題[10]。

(1)基本可信度分配

(2)信任度函數

給定一個識別框架Θ，集函數m:2Θ→[0，1]為識別框架Θ上的基本可信度分配，則[12]

?X，Y?Θ

(1)

定義的函數Bel:2Θ→[0，1]為識別框架Θ上的信任度函數(Belief Function)。從定義可以看出，Bel(X)表示對X所有子集的精確信任度總和，也可解釋為對X的總信任程度，表示該命題所有前提本身提供的支持度總和。

(3)似真度函數

給定一個識別框架Θ，Bel:m:2Θ→[0，1]為識別框架Θ上的信任度函數，則

(2)

需要說明的是，基本可信度m(X)，信任度函數Bel(X)，似真度函數(Plausibility Function)Pls(X)都是彼此唯一確定的，是同一證據的不同表示。信任度函數與似真度函數之間的關系如圖1所示[13]。

圖1 信任度函數與似真度函數的關系

2.2 貝葉斯網絡

貝葉斯網絡是描述多元統計關系的模型，由圖論和概率論結合而成，通過有向無環圖(Directed Acyclic Graph， DAG)表征隨機變量間的聯合概率分布及其條件獨立性[14]。貝葉斯網絡理論下風險因子X、Y的條件概率可表示為[15]

(3)

其中，P(X，Y)是X、Y的聯合概率；P(X|Y)為X、Y的后驗概率。

依據式(3)，根節點X的n個風險等級狀態u1，u2，…，un，的聯合概率可表示為[16]

(4)

3 基于證據理論和貝葉斯網絡的滲漏水風險評價

本文構建的基于證據理論和貝葉斯網絡的滲漏水評價模型如圖 2所示，即在由于各種不確定性根節點對于各個風險等級的概率值不為確定值時，利用證據理論來描述父節點在各個風險等級下的概率可能性區間，得到其子節點對于不同風險等級的信任概率(Bel)、釋然概率(Pl)，將父節點的不確定性傳至子節點，解決了實際工程中的不確定性多態風險評價問題。并對各個根節點的重要度、靈敏度進行分析，識別系統中的高質量因子與薄弱環節，確定決策順序，更加高效、客觀、有理論支持地提高風險系統的可靠度。

圖2 證據理論不確定性下貝葉斯網絡模型

3.1 葉節點的風險概率

PI(T=Tq)=[Bel(T=Tq)，Pl(T=Tq)]

(5)

式中

Bel(T=Tq)=

(6)

Pl(T=Tq)=

(7)

式中，Bel(T=Tq) ，Pl(T=Tq)分別為葉節點T風險等級狀態為Tq的區間的下、上限，即信任和似然風險等級概率。

由式(6)、式(7)可得，葉節點風險等級概率的平均值為

(8)

3.2 根節點重要度

(1)根節點的概率重要度

(9)

式中

Bel(T=Tq|xi=1)

(10)

Pl(T=Tq|xi=1)

(11)

由式(10)、式(11)可得，根節點的概率重要度的平均值

(12)

(13)

(14)

式中，ki為基本事件xi風險狀態的個數。

(2)根節點的關鍵重要度

(15)

式中

(16)

(17)

由式(16)、式(17)可得，根節點的關鍵重要度的平均值

(18)

(19)

(20)

3.3 根節點靈敏度

(21)

式中

(22)

(23)

由式(22)、式(23)可得，根節點的靈敏度的平均值

(24)

(25)

(26)

4 實證分析

4.1 工程概況

基于武漢長江隧道為工程背景，構建運營地鐵結構健康風險評價的貝葉斯網絡圖。(1)選擇實際工程中比較重視的監測指標，且在實際的健康監測中能夠監測得到[19-20]，包括：裂縫密度、剝落面積、每100 mL滲漏點數、單點滲透面積、滲透水量；(2)選擇出敏感性較大的指標，包括：拱頂水壓力過大、差異沉降；同時為了簡化網絡模型，未選擇地下水位和上部附加荷載這兩個監測難度大的指標，以及地鐵埋深這個在同一監測點一直保持不變的指標；(3)增加在規范和相關文獻分析中較為重視的指標。根據文獻[20-22]和相關規范[23]的研究成果，裂縫面積、環向接縫寬度、縱向接縫寬度、內外鋼筋壓力差是對運營地鐵結構影響較大的指標。所選11個指標按照性質可歸為4個二級指標，即外部荷載(B1)、材質劣化(B2)、滲漏水(B3)、管片變形(B4)，所構建的風險評價指標體系如圖3所示。

圖3 武漢長江隧道貝葉斯網絡圖

根據工程實際及專家經驗可得11個根節點對于各個風險等級風險概率如表 1所示。根據工程實際，設根節點與葉節點均有3個風險狀態，分別為：S1=安全；S2=基本安全；S3=危險。

表1 根節點先驗概率

4.2 風險評價

(1)風險概率計算結果

根據已獲取的各個根節點對于各個風險等級的發生概率，將根節點的不確定性沿著貝葉斯網絡的有向邊傳遞，分別得到B1、B2、B3、B4及葉節點T對于各個風險等級的概率如表2所示。表2中加粗數字為Bi、T相對于3個風險等級的最大值。由表2可知，對于該檢測區段的運營地鐵結構健康狀態(葉節點T)

(a)Bel(T=T2)>Bel(T=T3)>Bel(T=T1)；

(b)Pl(T=T2)>Pl(T=T3)>Pl(T=T1)；

表2 節點Bi、T的風險概率

同理可得B1(材質劣化)、B3(管片變形)當前處于危險狀態，且B3當前的風險概率均值為0.541 1，為對于風險等級S3絕對值較大的概率值，需在下文的分析中引起重視，B2(滲漏水)為安全狀態，B4(外部荷載)為基本安全狀態，需加強監控。

(2)根節點重要度

在由各個風險因子組成的風險系統中，不同根節點對于葉節點及整個系統的影響大小用根節點的重要度表示，重要度有概率重要度和關鍵重要度兩種。不同風險因子的重要度是對于系統不同風險狀態的綜合評價，重要度越大，該風險因子質量越高，改變該因子相對于系統中其他普通因子更能夠保證系統風險大幅度降低，即系統可靠度較大程度上提高，故在系統風險較大時其決策順序越具有優先權。利用重要度概念對系統進行調整來降低風險，從客觀角度提高系統可靠度，也使這個過程更加具有針對性和準確性。

①概率重要度

②根節點關鍵重要度

表3 根節點Ci的概率重要度

表4 根節點Ci的關鍵重要度

(3)根節點靈敏度

葉節點對于根節點同等變化幅度的敏感程度可用根節點的靈敏度來表示，敏感度較大的風險因子的細微變化，便可帶來葉節點和風險系統可靠度的顯著變化。這些敏感度較大的風險因子為風險系統的薄弱環節，其危險程度或者風險變化較小時，也能夠使葉節點狀態概率值的截斷誤差較大或使整個系統可靠性差值很大，故在系統風險較大時，其決策順序越具有優先權。利用敏感度概念對系統進行調整來降低風險，從客觀和理論角度提高系統可靠度，也使這個過程更加具有針對性和準確性。

依據式(21)～式(26)可得各個根節點Ci的靈敏度如表5所示，加粗數字為各個根節點Ci(i=1，2，…，11)對于葉節點T的Sj(j=1，2，3)三個等級下的最大信任及似然靈敏度、靈敏度平均值。

表5 根節點Ci的靈敏度

5 結論

本文針對實際工程中的多風險狀態下不確定性問題，采取利用證據理論的信任概率和釋然概率描述根節點不確定性，并利用貝葉斯網絡模型中父節點對子節點的影響與決定關系將不確定性傳遞至葉節點，并對整個風險系統進行分析與推理，確定薄弱環節。以武漢長江隧道為例，驗證了在根節點風險概率具有不確定性或者較難精確獲得的情況下，本方法的有效性，結論如下。

(1)將證據理論與貝葉斯網絡結合，利用證據理論處理地鐵運營結構健康風險評價系統中根節點風險概率的不確定性，進而利用貝葉斯網絡進行正向推理與反向診斷，確定地鐵運營結構健康的風險狀態及風險系統薄弱環節，制定相應措施降低系統風險的同時提高系統的可靠度。

(2)以武漢長江隧道為例，將根節點的不確定性使用根節點信任概率(Bel)和似然概率(Pl)表示，再利用貝葉斯正向推理，確定武漢長江隧道地鐵運營結構健康風險等級為S2(基本安全)，且有向S3(危險)等級發展的趨勢；B1(材質劣化)、B2(滲漏水)、B3(管片變形)、B4(外部荷載)的風險等級分別為S3(危險)、S1(安全)、S3(危險)、S2(基本安全)。

(3)通過貝葉斯網絡的反向推理計算各個根節點概率重要度、靈敏度，確定風險系統的高質量風險因子為C1(裂縫面積)、C10(拱頂水壓力過大)，相應的決策順序為C1、C10；根據關鍵重要度確定的系統薄弱環節為C1(裂縫面積)、C6(滲透水量)，相應的決策順序為C1、C6。故分別對C1、C10、C6進行風險排查，改變運營地鐵結構健康狀態，提高系統可靠度，這與實際工程相符合。