金融工程中具有半方差的幾何投資組合優化問題

許新宇

摘 要：在本文中，我們考慮了一個投資組合優化問題，即在金融工程中將幾何平均收益最小化作為風險測量的對象，而這個最小回報受較低半變異影響。給出了它的最優條件和蒙特卡羅模擬的求解方法，并給出了數值實驗以證明該方法的有效性。

關鍵詞：金融工程； 組合優化； 蒙特卡羅；模擬； 數值實驗

一、介紹

幾何平均投資策略[1]，引入最近在學術界金融和經濟學文獻中收到的一些注意事項。以收益率方差[2]作為風險度量來考慮投資組合的幾何平均收益。然而，方差是一個值得懷疑的風險度量，至少有兩個原因：第一，只有當回報的基本分布是對稱的時，它才是適當的風險度量。其次，它可以應用于直接地作為一種風險測量，只有返回底層的分布是正常的。然而，股票回報的對稱性和常態性都受到有關這個問題的經驗證據的嚴重質疑，從而得到收益較低的半方差函數，另一方面，是有幾個原因的風險，一個更合理的措施：首先，投資者顯然不喜歡波動性；他們只厭惡自己的側面波動。第二，下半方差比方差，當返回底層的分布是不對稱的，就像有用當底層的分布是對稱的更有用的；換句話說，下半方差函數至少是有用的衡量風險的方差。第三，下半方差測度統計提供的信息—方差偏度，從而可以使用單因素模型來估計所需的回報。因此，我們將考慮下半方差作為風險度量最大化投資組合的幾何平均收益。論文的組織如下。第2節開發了我們的投資組合優化模型及其最優條件。在第3節中，提出了一種求解該模型的蒙特卡洛方法，并用數值例子說明了該模型的有效性。第4節給出結論。

二、模型

考慮一個時期的金融投資問題。假設投資者（個人或公司）在資本市場上投資有限資產的單位資本。如果xi表示投資者投資與資產i的財富比例，并且。ηi>0表示資產i提供的定期支付，包括本金回報，i=1，2，3，……，n。另x=（xi，……，xn）為投資組合向量，且η=（ηi，……，ηn）T為定義在概率上的隨機向量，空間（Ω，F，P）具有連續分布函數F[*]，很容易得出公式：

三、蒙特卡羅方法與數值實驗

根據概率密度函數p（η），我們使用蒙特卡羅方法[3]生成一個樣本，N是數字樣本，k是模擬的時間。因此問題近似于下面的確定的優化問題：

四、結論

我們研究了一個金融優化問題，最大限度地提高了幾何平均收益受制于較低的半方差約束，事實上這是一個特定的凸隨機優化。給出了最佳條件。為了解決這一問題，提出了一種基于蒙特卡羅模擬的框架求解方法，使該問題等價于近似優化問題。在給定的參數下，用matlab軟件進行了數值實驗。

參考文獻：

[1]李光舉. 幾何平均價格投資組合保險策略研究及實證分析[D]. 河南大學， 2013.

[2]劉燕武， 張忠楨. 基于實際收益率分布的均值-方差-條件風險價值多目標投資優化模型[J]. 系統管理學報， 2010， 19（4）：444-450.

[3]馬俊海， 張維. 金融衍生工具定價中蒙特卡羅方法的近期應用分析[J]. 管理工程學報， 2000， 14（2）：47-50.

[4]邵言劍， 陶卿， 姜紀遠，等. 一種求解強凸優化問題的最優隨機算法[J]. 軟件學報， 2014（9）：2160-2171.