圖像多分辨率表示方法概述

張卓

摘要：圖像處理的核心任務是視覺信息的有效表示，圖像多分辨率表示方法具有多尺度、多方向特性，能有效捕捉圖像紋理、邊緣等重要圖像結構信息。本文對國內外研究狀況進行了闡述，提出存在的問題，探討了圖像多分辨率表示的發展方向。

關鍵詞：圖像表示；多分辨率；圖像處理

中圖分類號：TP391.41 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2018）02-0207-01

1 引言

圖像處理的核心任務是視覺信息的有效表示，好的圖像表示能用較少的描述捕獲重要的目標信息。M.N.Do給出了圖像有效表示的目標為：多分辨率、局部性、臨界采樣、方向性和各向異性[1]，而多分辨率是符合人眼視覺的重要要求。

圖像多分辨率表示起源于圖像金字塔分解，故在第2部分首先介紹圖像金字塔的組織結構和特點，然后介紹基于金字塔結構發展而來的方向多分辨率圖像表示方法。在第3部分先給出四叉樹分解結構的變分辨率特征，然后介紹了復合多分辨率圖像表示方法。

2 方向多分辨率圖像表示

2.1 圖像金字塔

圖像金字塔是圖像多分辨率表示理論的最早應用。對一幅圖像進行金字塔分解，首先將其在兩個方向上進行1：2的亞采樣，然后經過濾波處理得到原始圖像的縮略圖。重復此過程，就可得到不同尺度的縮略圖。

圖像金字塔作為一種圖像多分辨率表示方法，僅能產生較粗的頻率分解，沒有方向分解，所有在同一個倍頻程的頻率，都包含在金字塔同一層中，因而應用領域受限。

2.2 方向多分辨率圖像表示的發展

圖像金字塔表示的方向匱乏問題使其應用受限，如何將圖像多分辨率表示與多方向性結合起來，是重要的發展方向。

Stephance G.Mallat于1989年將小波分析應用于圖像領域，圖像的小波分析不僅能對圖像進行不同尺度分解，而且二維小波基具有多方向性，能一定程度的表達圖像幾何正則性。但在二維小波逼近奇異曲線過程中，出現的大量不可忽略的系數使其無法“稀疏”表達原函數。為解決圖像等多維數據有效表達的問題，需尋找更優的方向多分辨率圖像表示方法。

1998年E.J.Candes和D.L.Donoho提出Ridgelet變換。此變換是針對直線奇異的多變量函數的最優逼近，為非自適應高維函數表示。變換過程首先運用radon變換，把線狀奇異性變換成點狀奇異性，再用小波變換進行處理。因此，Ridgelet變換具備了一定的方向辨識能力，對具有方向性的直線特征可有效表達。

Ridgelet變換雖能最優逼近含直線奇異的多變量函數，但對圖像中的曲線卻無能為例。1999年E.J.Candes又提出單尺度Ridgelet變換，用直線逼近曲線，能較好處理圖像曲線的奇異特征。較之小波變換，其針對含曲線奇異的多變量函數的逼近能力有所提升，但在計算復雜度上有所犧牲。

1999年E.J.Candes和D.L.Donoho提出第一代Curvelet變換。有別于單尺度Ridgelet變換只在某一尺度進行Ridgelet變換，Curvelet變換在所有尺度上完成Ridgelet變換。這種變換綜合了Ridgelet變換擅長表示直線和小波適合表示點奇異性目標的優點，但存在加窗效應，又因使用的仍為Ridgelet變換，復雜度高。

2005年E.J.Candes和D.L.Donoho對算法進行改進，提出第二代Curvelet變換。該方法不再使用Ridgelet變換，而是通過在頻域進行劃分，直接給出了具體的變換形式。第二代Curvelet變換在方向性、時頻域局部性和非線性逼近等方面有更好的表現，但仍沒有解決冗余度和加窗效應的問題。

M.N.Do和M.Vetterli于2001年提出Contourlet變換。該變換在離散頻域中直接定義，避免了復雜的離散化操作，比Curvelet變換的冗余度和計算復雜度低。但對于多數角度濾波器，該變換無法在頻域迅速局域化，造成圖像邊緣線的偽振蕩。另外，Contourlet變換缺乏完整、系統的逼近理論和算子理論，基礎理論還有待完善。

2007年K.Guo和D.Labate等人在合成膨脹的仿射變換基礎上提出Shearlet變換。該變換允許每個尺度上有不同數目的方向分解，其基支撐區間具有長寬比隨尺度而變的“各向異性”特點，能實現對圖像的稀疏表示。相比其它圖像多分辨率表示，Shearlet變換理論性強，算法實現簡單，計算復雜度低，在圖像處理方面應用廣泛。

3 復合多分辨率圖像表示

3.1 四叉樹

四叉樹表達法利用金字塔式的數據結構對圖像進行表達，樹根對應整幅圖像，樹葉對應單個像素或相同特征像素組成的方陣。

復合多分辨率圖像表示是一類結構較復雜的圖像多分辨率表示，基于四叉樹分裂結構的隱型模型。不同于金字塔多分辨率的分解形式，復合多分辨率表示是在四叉樹分裂結構的基礎上，根據預先已知的圖像幾何正則性，對圖像進行自適應二進剖分。

3.2 復合多分辨率圖像表示的發展

復合多分辨率圖像表示采用四叉樹分裂結構，對分塊進行恰當的描述來逼近圖像的幾何結構和邊緣信息。根據不同圖像內容，分塊大小隨之調整，體現多分辨率特性。

1999年D.L.Donoho提出Wedgelet變換。Wedgelet基是定義域為正方形區域的分片二值函數，Wedgelet字典由不同尺寸、不同方向的一組Wedgelet基構成，用以描述圖像邊緣。Wedgelet變換為水平模型的物體提供了一種近似最優的表示，主要用于檢測有噪圖像的線性奇異性信息，但由于Wedgelet逼近自底向上，計算時間較長。

2000年D.L.Donoho和霍小明提出Beamlet變換。Beamlet字典由在不同位置、方向和尺度上進行二進結構剖分的線段組成，可對全部線段實現多尺度逼近，能有效分析線段奇異性。相較于小波分析對光滑函數進行了最優稀疏表示，Beamlet變換最優稀疏表示了圖像中的光滑曲線。

Pennce和Mallat在2000年提出第一代Bandelet變換。這種變換能夠自適應跟蹤圖像幾何正則方向，為基于邊緣的多分辨率表示。變換首先將圖像的幾何特征轉換為矢量場，把灰度變化的局部正則方向用矢量來表示，然后在矢量線方向進行小波變換，用光滑的曲線描述不連續重要的小波系數。Pennce和Mallat給出了Bandelet變換的最優基快速尋找算法，在去噪和壓縮方面體現出一定優勢。

2005年Peyreg和Mallat改進算法，提出第二代Bandelet變換。該變換避免了重采樣和彎曲等在第一代Bandelet變換中造成算法實現復雜的操作，通過二維小波變換實現多分辨率分析，通過正交方向的一維小波變換實現幾何方向分析，二者共同實現了圖像表示。第二代Bandelet變換具有簡單、正交及沒有邊界效應等特點，在圖像處理領域應用更為廣泛。

4 結語

本文從兩條主線粗略探討了圖像多分辨率表示的發展概況，闡明了它們產生的背景和發展歷程，并指出其優缺點和發展方向。雖然圖像多分辨率表示已發展多年，但其重要價值才嶄露頭角，如何能更加有效地研究和利用圖像多分辨率表示方法，對未來圖像智能信息處理至關重要。

參考文獻

[1]M.N.Do， M.Vetterli. The contourlet transform： an efficient directional multiresolution image representation， IEEE Transactions Image on Processing.2005，14（12）：2091-2106.