基于小波分析與數學形態學融合算法對地磁信號降噪處理的應用

汪偉明　賀巍

摘要：本文擬應用MATLAB軟件對容易受到外界環境干擾和由于儀器自身干擾的影響，對地磁信號進行降噪處理。通過小波分析和數學形態學融合算法，同時將該方法與數學形態學算法兩者進行對比分析，并且計算出降噪后信號相對于含噪信號的均方誤差的值，然后對其不同算法的降噪信號的處理結果與未受干擾的原始正常信號進行對比分析，分別求其信噪比的大小，綜合考慮兩種算法對地磁含噪信號處理的優勢和劣勢。進而得出小波分析與數學形態學算法對地磁信號的降噪處理，能最大化的減少信號的失真程度，保留其原始形態。為以后批量處理地磁觀測的干擾數據提供新方法和新思路，同時也能抑制對地磁信號的干擾和提高觀測數據的內在質量。

關鍵詞：MATLAB軟件；降噪處理；小波分析；數學形態學；均方誤差；信噪比

中圖分類號：TN911.4 文獻標識碼：A 文章編號：1007-9416（2018）02-0122-03

隨著數學信號處理技術的不斷提升，基于MATLAB軟件對地磁信號降噪處理的方法也越來越多，截止目前為止，降噪處理的方法主要有：基于fft硬件濾波法，信號相關法，自適應濾波法，圖譜識別法，有限沖激響應濾波法和小波變換法等等。對于先前已有的降噪方法，均有明顯的缺點，主要表現在對降噪信號處理不徹底，或者波形容易失真等。所以開始對地磁信號研究新的降噪方法非常重要。數學形態學算法其主要應用于算法開發、數據可視化、數據分析以及數值計算的高級技術計算語言和交互式環境[1]。該算法將一個含噪的信號分解成具有物理意義的各個部分，然后將其背景剝離，從而有效抑制含噪信號的毛刺和縫隙，保留原始信號的主要形態。應用數學形態學的算法處理含噪信號時，不容易發現本身微弱信號的尖峰和毛刺，同時由于含噪信號因其有振蕩衰減的特點，所以在含噪信號特別微弱的時候，數學形態學算法很難在形態上區分是振蕩衰減的信號還是信號的尖峰和毛刺。因此單純應用數學形態學算法對地磁信號的降噪處理無法取得理想效果。小波分析對地磁信號的研究較為廣泛，因其本身具有可以調整時間窗和頻率窗的特點，可以精確找到某一段地磁信號的突變點，對地磁信號的降噪算法研究具有深刻意義。通過小波分析，進行門限閾值量化處理后進行小波重構，進而抑制信號的噪聲。結合小波分析和數學形態學兩者算法的優點，將其兩者融合，來對地磁信號進行降噪處理，進而實現抑制地磁信號的干擾信息，最大化，最有效的恢復原始的地磁真實信號。

本文利用小波分析與數學形態學融合算法對地磁的高頻干擾信息進行降噪處理，同時將該方法與數學形態學算法進行對比分析，綜合分析兩者的濾波效果，達到消除地磁信號因外界環境受到的高頻干擾信息，兩者通過定量對比分析其均方誤差值和信噪比的大小，分析其優勢和劣勢，最大化的提取真實地磁信號的初步分析和探討。

1 基于數學形態學算法的混合濾波器設計

1.1 數學形態學算法介紹

數學形態學是積分幾何研究成果的基礎上創立的，是基于集合論的數學分支，它提供了非常有效的非線性濾波技術[2]。數學形態學的運算主要包括腐蝕Θ，膨脹，形態開OC和形態閉CO的級聯組合。對于地磁信號而言，以GM4儀器為例，記錄到的值屬于一維的離散信號f（j）。其主要包括地磁真實信號x（j）和含噪信號y（j），其表達式為：

所以對于地磁信號所有的高頻干擾含噪信號而言，其主要就是平滑和抑制峰值和谷底的噪聲，由此引出來開-閉OC濾波器和閉-開CO濾波器，兩者任意一個濾波器均可以實現對地磁信號高頻干擾的降噪處理。單個的濾波器雖然可以消除高頻干擾信息，但是開-閉OC濾波器和閉-開CO濾波器因分別具有開運算的收縮性和閉運算的擴張性，會使地磁信號的濾波輸出結果偏大或者偏小，進而影響其濾波效果。因此本文擬采用開-閉OC濾波器閉-開CO濾波器輸出結果的平均值來組成混合濾波器，通過混合濾波器的設計，對地磁信號進行降噪處理，可以更好地消除高頻干擾。得到的濾波效果會更接近真實信號，其表達式為：

1.3 結構元素的確定

設計好混合濾波器的算法后，組成混合濾波器的結構元素直接影響其地磁信號的濾波結果。常見的結構元素有余弦，直線，三角，半圓等。本文擬采用余弦結構和直線結構分別對高頻干擾信息進行消除。此余弦結構的的形狀由幅值S和寬度W共同決定，而直線結構的形狀僅有寬度W決定。所以應用表達式（8），選取不同結構元素的形狀，對于含有地磁行的高頻干擾進行消除，對地磁信號進行降噪處理。分析其不同種類的結構元素，對其濾波的效果。

2 小波分析與數學形態學算法的融合濾波器設計

基于數學形態學算法的混合濾波器設計后，接著開始設計小波分析與數學形態學算法相融合的濾波器，其主要包括以下幾個步驟：

①選擇合適的小波基db和尺度p，確定小波分解層數N，并將含有高頻信息的地磁信號f（j）分解，分解后提取每一層的小波系數WT（p1，k1）；

②然后利用已經設計好的混合濾波器對每一層的小波系數WT（p1，k1）濾波，得到新的小波系數WT”（pn，kn）；

③確定閾值的λp，對小波系數WT”（p，k）進行閾值處理。在閾值前乘系數k（0

λp是第p層小波分解的閾值；mp是第p層的小波分解系數的中值；np時第p層的小波系數的個數。

④重構第③步處理后的小波系數WT”（p，k），通過重構小波系數，還原濾波后的地磁信號。得到的結果即為小波分析與數學形態學融合濾波器的濾波結果。

3 基于兩種不同算法所設計濾波器濾波效果的衡量標準

對于含噪地磁信號分別通過基于數學形態學的混合濾波器和小波分析與數學形態學相融合算法的濾波器，輸出濾波結果，通過得到濾波后的曲線，計算其地磁信號濾波的均方誤差ESE的值和信噪比SNR的大小，進而綜合分析考慮兩者的濾波效果。其計算公式如下：

4 仿真分析

為驗證兩種算法所設計的濾波器對地磁高頻干擾信息的濾除效果，擬采用MATLAB軟件進行仿真分析。

4.1 不同結構元素選取對地磁信號降噪處理的仿真分析

如2017年11月1日榆林臺GM4-1儀器記錄到Z分量正常的地磁信號，選取世界時00時00分-16時00分時段的波形曲線，將該曲線加入高斯白噪聲干擾，然后分析余弦結構和直線結構兩種不同結構元素下，所設計的混合濾波器對榆林臺高斯白噪聲的降噪效果情況。對于兩種不同結構元素，最優的S和W組合時的濾波效果如表1可知，由此可知對于不同結構元素，余弦結構降噪后最大信噪比SNR=28.139dB，最小均方誤差ESE=2.523X10-2。而對于直線結構降噪后最大信噪比SNR=10.589dB，最小均方誤差ESE=1.492X10-2。同時由圖1可見對于高斯白噪聲而言，雖然余弦結構元素的混合濾波器能得到最大的信噪比，但是地磁信號嚴重失真，反而對于直線結構元素，均方誤差值較小，信噪比較大，最大化的還原真實的地磁信號，對高斯白噪聲的降噪效果較好。

4.2 兩種不同算法的濾波器對地磁信號降噪的仿真分析

松江佘山臺FGE[K]儀器記錄到的地磁信號的Z分量的變化，因受到地鐵高頻干擾，地磁信號嚴重失真。同樣選取2017年11月1日世界時00時00分-16時00分時段的波形曲線，因其榆林臺與松江佘山臺基本在同一緯度上，地磁的日變化曲線基本一致，但存在一定的相位差。如下圖2所示，松江佘山臺在該時間段內，Z分量受到高頻干擾，地磁信號曲線嚴重失真，而榆林臺地磁信號的Z分量未受干擾，能較好的還原地磁信號的真實形態。所以可以應用這兩種不同算法所設計的濾波器，對該臺的高頻干擾信息降噪處理，降噪處理的結果同榆林臺同時段的曲線做對比分析，最后通過仿真結果綜合分析兩種算法所設計的濾波器對高頻干擾的降噪效果情況。

由表2可知，對于高頻干擾信息的濾除，余弦結構的混合濾波器的信噪比明顯優于直線結構的混合濾波器，并且兩種結構的均方誤差比較接近。因此選余弦結構的數學形態學混合濾波器和小波分析與數學形態學相融合的濾波器兩者做對比分析，分析其降噪效果情況。

由表3可知，對于兩種不同算法所設計的濾波器，小波分析與數學形態學相融合所設計濾波器的降噪后最大信噪比SNR=250.621dB，最小均方誤差ESE=3.8519X10-2。而對于數學形態學混合濾波器的降噪后最大信噪比SNR=260.893dB，最小均方誤差ESE=3.8327X10-2。由此可見，小波分析與數學形態學融合算法的濾波器對高頻干擾信息的處理要優于數學形態學混合濾波器。同時由圖3可見，對于松江佘山臺受高頻干擾的處理結果而言，小波分析與數學形態學算法相融合的濾波器明顯最大化的保留地磁的原始形態，與榆林臺在同一時間段的地磁信號變化曲線基本一致。

5 結語

通過MATLAB軟件對兩種不同算法所設計的濾波器進行仿真測試，分析其地磁信號受到高頻干擾的外界環境干擾時，對其降噪處理，所得到的濾波結果明顯有差異，經分析，得出小波分析與數學形態學相融合算法的濾波器的明顯優于數學形態學算法的濾波器。小波分析與數學形態學算法相融合算法設計的濾波器能保證信號最大化且無失真還原地磁真實信號，其濾波得到的結果信噪比高，均方誤差值也小。為以后批量處理地磁干擾數據提供新思路和新方法，同時也有助于提高地磁相對觀測資料的內在質量。

參考文獻

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