食堂擁擠問題的方案及模型

食堂擁擠問題的方案及模型

張萌果

（河南師范大學 河南 新鄉 453000）

摘 要：本文針對我校每到中午放學時，食堂進門特別擁擠的問題，首先進行了實地考察，調查了我校食堂門口中午來往人流數隨時間的變化，以及食堂打飯的窗口數和打飯效率，然后對造成門口擁擠的因素以及各個因素之間的關系進行了分析，最后針對了各個問題進行了建模型求解。

針對問題

我們實地調查了中午學校餐廳門口的擁擠情況，建立了中午放學期間餐廳門口處每分鐘來往人數隨時間變化的序列模型，并對發生擁擠時每分鐘的來流人數進行了分析。

我們假設門口的寬度正好可以容下n個人并排行走，當同一時間門口來往人數大于等于這個限定的時候，門口就會發生擁擠。當打飯窗口都全部一刻不停地工作期間，單位時間內能讓多少人打完飯是固定值，打完飯的人又有一定比例的人選擇從對著教學區的門離開，這部分人與進門的人的總數與n進行對比，就可得出增加門的寬度對進門擁擠是否有改善的相關信息。

安置隔離欄后，人被隔成了單一人流，人流基本符合泊松分布，根據數據分析，對其建立了M＼M＼1模型，概括了學生排隊的人數，并且經由模型推算了發生擁擠的時候的條件，即每人進入餐廳的時間大于所需等待的時間，對學生進入餐廳的時間和等待所需的時間進行了數據概括，以及對比，把實際的問題公式化，從而最終得出擁擠的時候滿足的條件，進而清楚這個措施的有效程度。

關鍵詞：食堂門口；擁擠；排隊論

一、問題的重述

為了節約同學們的時間，避免同學們因擁擠而造成的心情煩躁，學校食堂必須進行改善。一種合理、簡化的策略就是：在不耽誤同學們正常飲食的前提下，盡量改善食堂的擁擠程度。

在理想情況下運用理想模型計算食堂門口可容納的人流量，而實際情況中常常在沒達到這個人流量食堂門口就開始擁擠。運用理想模型計算出將門口擴建一半后食堂門口可容納的人流量，再結合實際情況進行理性分析。第二個方案需結合食堂內部情況，考慮學生進出門問題結合各方面數據通過建立數學模型最后得出改善后可容納的人流量。注意結合實際情況。

二、模型的分析與建立

（一）問題分析及模型選取

根據實地調查中午學校餐廳門口擁擠情況，原本通暢的餐廳隨著午飯高峰期而變得擁擠。對于該橫斷面，通行能力受到嚴重限制。分析造成擁擠的原因：學校課表安排不合理，下課時段過于集中，導致就餐過于集中，造成餐廳擁擠，排長隊。由于進入餐廳與離開餐廳的人走的是同一個門，此時的理論通行能力下降，實際的通行能力也因此下降，出入困難，易于導致餐廳的擁擠。

為了正確估算中午放學期間，食堂門口發生擁擠時每分鐘的來流人數，為餐廳正確疏導人流提供理論依據，需要建立中午放學期間餐廳門口所處橫斷面每分鐘來往人數隨時間變化的序列模型，并分析發生擁擠時每分鐘的來流人數。

以下是收集的數據及簡單處理

（二）模型建立及求解

設y為每分鐘進入人數，x為每分鐘出門人數，假設理想條件下每分鐘有a次進出，餐廳門最多可以n個人同時進出。當發生擁擠時：

經實地考察，學校餐廳門口每分鐘達 80 人，會發生擁擠。

（三）問題分析及模型選取

當門口擴大50%之后，對食堂門口擁擠的情況是否有所改善。

門口的寬度限定了能同時進出的人的數量，經調查，一個人平均通過門口區域所花時間大概為10s，每分鐘可以認為有6次共同進出，設門口能同時容下n個人同時通過。

所有打飯窗口同時工作的時候工作的時候，每分鐘能讓m個人打完飯，其中m/a的人會選擇從對著教學區的門離開，記y=m/a。

（四）模型建立及求解

記每分鐘有x個人從門口進入，則當6n≤x+y時，即6n+y≤x時，會發生擁擠。

當門口擴寬50%后，n變為1.5n，條件變為9n+y≤x時，會發生擁擠。

對比可知，發生擁擠所需要的每分鐘通過人數增加了3n，故可得知，這一措施對緩解食堂門口擁擠有一定作用。

（五）問題分析及模型選取

把食堂對著教學區的門口裝置上隔離欄，由于對著教學區的餐廳門口距離教學區最近，大多數同學選擇正對教學區的門進入餐廳，人流量較大，易發生擁擠。安裝隔離欄，把進入餐廳的學生與離開餐廳的學生隔離開，把人隔成單一人流，起到強制排隊的作用，能有效的降低擁擠。人流基本符合泊松分布，根據數據分析，對其建立M＼M＼1模型，分析安裝隔離欄后，食堂門口發生擁擠時每分鐘的來流人數。

準確的分析和評價餐廳門口發生擁擠的情況，為餐廳的改進提出合理建立。用建立模型的方法，為餐廳的管理者提供有力決策。

我們假設下課期間學生到食堂就餐的時刻是隨機的，且從正對教學區的餐廳門進入餐廳的學生人數占總人數的比率是一定的，用N（t）表示[0，t）時間內到達該排隊系統的人數，用V（n）表示第n位學生真正進入餐廳所需要的時間，則有隨機變量{V（n），N=1，2，3，...}

根據排隊論相關知識，t時刻到達對著教學區門口排隊系統的人數為k的概率為：

P（N（t）=k）= ，k=1，2.....其中λ>0

第n位學生所需的等待進入餐廳時間不超過t的概率服從負指數分布：

其中>0.

第n位學生所需的等待進入餐廳時間不超過t的概率服從負指數分布：

其中μ>0